Chapitre II - Continuité et dérivabilité

Continuité

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. La fonction $f$ est continue en $a$ si on a :

$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x) = f(a)$

$f$ est dite continue sur $I$, si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l'intervalle $I$.
On dit de manière générale qu'une fonction est continue sur un intervalle s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

  • Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s'annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.
  • Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n'est pas vraie cependant).

Exemple : la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue en tout point de son ensemble de définition ($\mathbb{R}^{*}$) mais n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient $f$ une fonction, $a$ et $b$ deux réels tels que $a \lt b$. Voici l'énonce du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f$ et à $a$ et $b$ :

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $y_0$ si on a $f(a) \lt y_0 \lt f(b)$ (ou $f(a) \gt y_0 \gt f(b)$), il existe au moins un réel $x_0 \in [a;b]$ tel que $f(x_0) = y_0$.

Ce théorème est très important !

Voici un exemple : prenons $f(x) = x^3+x^2-x$ et prouvons qu'il existe au moins un réel $x_0 \in [0;3]$ tel que $f(x_0) = 5$.

On a $f(0) = 0$ et $f(3) = 33$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $f$ est continue sur $[0;3]$ et que $0 \lt 5 \lt 33$, il existe un réel $x_0 \in [0,3]$ tel que $f(x_0) = 5$.

On peut encore tenter d'affiner la précision : $f(1) = 1$ et $f(2) = 10$. On a bien $1 \lt 5 \lt 10$ donc $x_0 \in [1;2]$, etc...

Une conséquence de ce théorème est que si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors la fonction $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et que $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel $y_0$ si on a $f(a) \lt y_0 \lt f(b)$ (ou $f(a) \gt y_0 \gt f(b)$), il existe un unique réel $x_0 \in [a;b]$ tel que $f(x_0) = y_0$.

La partie entière $[x]$

Soit $x \in \mathbb{R}$, la partie entière de $x$ notée $[x]$ (ou $E(x)$) est l'unique réel tel que :

$[x] \leq x \lt [x] + 1$

Exemple : $[1,216] = 1$ et $[-2,198] = -3$.

La fonction partie entière définie par $x \mapsto [x]$ n'est pas continue :

Dérivation

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq 0$ tel que $(a + h) \in I$.

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}$

Ou en posant $x = a + h$ :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$ noté $f'(a)$.

La tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $\mathcal{T}$ au point de coordonnées $(a;f(a))$. $f'(a)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$, et une équation de $\mathcal{T}$ est :

$y = f'(a)(x-a)+f(a)$

Soit $f(x) = e^x$ (voir cours sur la fonction exponentielle).

Cherchons une équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ :

On a $f'(0) = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ (voir paragraphe sur les limites de la fonction exponentielle).

Ainsi, $f'(0) = 1$. Une équation de la tangente est donc $y = f'(0)(x-0)+f(0) = x + 1$ : on retrouve ce qui a été constaté sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

Fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

On appelle fonction dérivée de $f$ sur $I$ la fonction qui a tout réel $x \in I$ y associe $f'(x)$.

Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Ainsi, avec le signe de la dérivée, il est possible d'obtenir le sens de variation de la fonction. Pour une fonction $f$ dérivable sur $I$ et de dérivée $f'$ :

  • Si $f' \gt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si $f' \lt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Il est également possible d'en déduire diverses propriétés sur les extremums dits locaux (sur un certain intervalle) d'une fonction. Soient $f$ dérivable sur $I$ de dérivée $f'$, et $a \in I$ :

  • Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors $f'(a) = 0$ et le signe de $f'$ est différent avant et après $a$ et la réciproque :
    si $f'(a) = 0$ et que le signe de $f'$ et différent avant et après $a$, alors $f'(a)$ est un extremum local de $f$.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée Domaine de définition Domaine de dérivabilité
$\lambda$ $0$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
$x^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ $nx^{n-1}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$ $\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}$ $\mathbb{R^*}$ $\mathbb{R^*}$
$\sqrt{x}$ $\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ $\mathbb{R^+}$ $\mathbb{R^+_*}$
$e^x$ $e^x$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
$ln(x)$ $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ $\mathbb{R^+_*}$ $\mathbb{R^+_*}$
$sin(x)$ $cos(x)$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
$cos(x)$ $-sin(x)$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions $u$ et $v$ :

Fonction Dérivée
$\lambda \times u$ $\lambda \times u'$
$u + v$ $u' + v'$
$u \times v$ $u' \times v + u \times v'$
$\displaystyle{\frac{1}{v}}$ (avec $v \neq 0$) $\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}}$
$\displaystyle{\frac{u}{v}}$ (avec $v \neq 0$) $\displaystyle{\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2}}$

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
$u^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ $nu'x^{n-1}$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\displaystyle{\frac{1}{u}}$ $\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}}$ En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$\sqrt{u}$ $\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$ En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^u$ $u'e^u$ En tout point où $u$ est dérivable.
$ln(u)$ $\displaystyle{\frac{u'}{u}}$ En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$sin(u)$ $u'cos(u)$ En tout point où $u$ est dérivable.
$cos(u)$ $u'-sin(u)$ En tout point où $u$ est dérivable.

De manière générale, soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $f(I)$. On a alors :

$(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'$

Annales en rapport avec le sujet

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