Chapitre IV - La fonction exponentielle

Difficulté du cours :

Propriétés de la fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle notée $e^x$ (ou parfois $exp(x)$) est l'unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ remplissant les critères suivants :

  • $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ = $f$
  • $f \gt 0$ sur $\mathbb{R}$
  • $f(0) = e^0 = 1$

Comme la fonction exponentielle est composé d'un réel ($e \approx 2,718 $) et d'un exposant ($x$), les opérations sur les exposants sont disponibles, comme par exemple pour $x, y \in \mathbb{R}$ :

  • $e^{x+y} = e^x \times e^y$
  • $e^{x-y} = \displaystyle{\frac{e^x}{e^y}}$
  • $e^{-x} = \displaystyle{\frac{1}{e^x}}$
  • $(e^x)^y = e^{x \times y}$

Et bien entendu, $e^0 = 1$.

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :

  • $e^x = e^y \iff x = y$
  • $e^x \lt e^y \iff x \lt y$

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d'abscisse $0$ :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : la fonction est strictement positive, $e^0 = 1$, etc... Mais également d'autres propriétés que verrons par la suite comme les limites aux bornes de l'ensemble de définition. La tangente en $x = 0$ est $y = x + 1$.

Étude de la fonction

Limites

Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition sont :

  • $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} e^x = 0$
  • $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} e^x = +\infty$

Il faut aussi savoir que la fonction exponentielle l'emporte sur (elle croît plus vite que) la fonction puissance :

  • $\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \frac{e^x}{x} = +\infty}$
  • $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow -\infty}} x \times e^x = 0$
  • $\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}}\frac{e^x - 1}{x} = exp'(0) = e^0 = 1}$

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$

Ainsi, si on a $u(x) = x$ (avec $x \in \mathbb{R}$) :

$({e^x})' = e^x$

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

Variations

Avec la dérivée trouvée précédemment, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction exponentielle :

Tableau de variation de la fonction logarithme exponentielle

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $\mathbb{R}$.

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