Chapitre V - La fonction logarithme népérien

Propriétés du logarithme népérien

Définition

Le logarithme népérien est une fonction qui est définie sur $]0;+\infty[$ par :

$x \mapsto ln(x)$

Et on a la relation fondamentale suivante pour tout $x$ et $y$ strictement positifs :

$ln(x) = y \iff x = e^y$

Ainsi, a tout réel strictement positif $x$, la fonction logarithme népérien y associe son unique antécédent $y$ par rapport à la fonction exponentielle.
De même pour la fonction exponentielle. On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de $sin(x)$ et $arcsin(x)$ ou $cos(x)$ et $arccos(x)$).

Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n'en est rien ! Prenons $x = 0$, on a :
$e^0 = 1$ (tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne $ln(1) = 0$.

Si on prend maintenant $x = 1$, on a :
$e^1 = e$, on a donc $ln(e) = 1$.

Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

$e^{ln(x)} = x$

Et pour tout réel $x$, on a :

$ln(e^x) = x$

Relations algébriques

Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu'il faut connaître. Ainsi, pour tout $a$ et $b$ strictement positifs :

  • $ln(a \times b) = ln(a) + ln(b)$
  • $ln(a^n) = n \times ln(a)$ pour $n \in \mathbb{Z}$
  • $\displaystyle{ln\left(\frac{a}{b}\right) = ln(a) - ln(b)}$
  • $\displaystyle{ln\left(\frac{1}{b}\right) = -ln(b)}$
  • $\displaystyle{ln(\sqrt[p]{a}) = \frac{1}{p} \times ln(a)}$ pour $p \in \mathbb{N}^*$

Certaines des ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :

On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment : $ln(1) = 0$ et $ln(e) = 1$ par exemple. On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace également la droite d'équation $y = x$ :

On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la droite $y = x$ et on voit que la fonction logarithme népérien croît moins vite que la fonction puissance qui elle même croît moins vite que la fonction exponentielle. Cette propriété est importante : c'est la croissance comparée.

Étude de la fonction

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

  • $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} ln(x) = -\infty$
  • $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} ln(x) = +\infty$

Il faut aussi savoir que la fonction puissance "l'emporte" sur le logarithme népérien (voir la partie Représentation graphique) :

  • $\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \frac{ln(x)}{x} = 0}$
  • $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} x \times ln(x) = 0$

Une autre limite est à connaître (ainsi que sa démonstration) :

Démonstration de $\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{ln(1 + x)}{x} = 1}$ :

La fonction logarithme népérien est définie et continue en $x = 1$, on peut donc écrire :
$\displaystyle{ln'(1) = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1}} \frac{ln(x) - ln(1)}{x - 1}}$
Ce qui est équivalent à (car on a $ln(1) = 0$ et $ln'(1) = 1$) :
$\displaystyle{1 = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1}} \frac{ln(x)}{x - 1}}$
On pose $y = x-1$ ce qui nous donne finalement :
$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{y \rightarrow 0}} \frac{ln(y - 1)}{y} = 1}$

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$\displaystyle{ln'(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$

Ainsi, si on a $u(x) = x$ (avec $x \in ]0;+\infty[$) :

$\displaystyle{ln'(x) = \frac{1}{x}}$

Variations

Avec la dérivée trouvée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction logarithme népérien :

Tableau de variation de la fonction logarithme népérien

On remarque qu'avec le tableau de variation, il est possible d'obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).
Ainsi, sur $]0;1[$, $ln(x)$ est strictement négative et sur $]1;+\infty[$, $ln(x)$ est strictement positive et, comme vu précédemment, $ln(1) = 0$.
On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.

Le logarithme décimal

Le logarithme décimal (principalement utilisé en physique-chimie) est défini sur $]0;+\infty[$ par :

$\displaystyle{log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)}}$

Et on a les propriétés suivantes :

  • $log(10) = 1$
  • $log(10^n) = n$ pour $n \in \mathbb{Z}$

Ces formules peuvent se retrouver très facilement ! En effet, pour la première :
$log(10) = \frac{ln(10)}{ln(10)} = 1$.

Et pour la seconde :
$log(10^n) = \frac{n \times ln(10)}{ln(10)} = n \times \frac{ln(10)}{ln(10)} = n$.

Annales en rapport avec le sujet

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