Chapitre III - Les fonctions trigonométriques

Difficulté du cours :

Sinus et cosinus

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé $(O,\ \vec\imath ;\ \vec\jmath)$. Il sera également muni d'un cercle appelé cercle trigonométrique $\cal{C}$ de centre $O$ et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est le sens direct) :

Soit $M$ un point quelconque d'abscisse $x$ et d'ordonnée $y$ situé sur le cercle $\cal{C}$. Les coordonnées de $M$ sont :

  • L'abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $cos(x)$.
  • L'ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $sin(x)$.
  • Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on aura $-1 \leq cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq sin(x) \leq 1$.

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$. Ainsi pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

  • $cos(x) = cos(x + 2k\pi)$
  • $sin(x) = sin(x + 2k\pi)$

Concrètement, cela signifie que $cos(x) = cos(x + 2\pi) = cos(x + 4\pi) = \text{ ... } = cos(x + 2k\pi)$ et idem pour $sin(x)$.

Formules de trigonométrie

On a les relations suivantes pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

  • $cos(-x) = cos(x)$ (la fonction cosinus est paire)
  • $sin(-x) = -sin(x)$ (la fonction sinus est impaire)
  • $cos(x + \pi) = -cos(x)$
  • $sin(x + \pi) = -sin(x)$
  • $cos(x - \pi) = -cos(x)$
  • $sin(x - \pi) = sin(x)$
  • $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$
  • $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$
  • $cos(x + \frac{\pi}{2}) = -sin(x)$
  • $sin(x + \frac{\pi}{2}) = cos(x)$
  • $cos(x + y) = cos(x) \times cos(y) - sin(x) \times sin(y)$
  • $sin(x + y) = sin(x) \times cos(y) + cos(x) \times sin(y)$
  • $cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1$

Il n'est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l'aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l'exemple de $cos(x + \pi)$ :

On remarque que l'ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule $cos(x + \pi) = -cos(x)$.

Résolution d'équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus. Ainsi, soient $x$ et $y$ deux réels et $k$ un entier relatif. On a les relations suivantes :

  • $cos(x) = cos(y) \iff \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ ou \\ y = -x + 2k\pi\end{cases}$
  • $sin(x) = sin(y) \iff \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ ou \\ y = \pi - x + 2k\pi\end{cases}$

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l'aide du cercle trigonométrique.

Fonctions réciproques

Soient $x$, $y$ $\in \mathbb{R}$, on admettra qu'il existe une fonction réciproque à $cos(x)$ (notée $arccos(x)$) et une fonction réciproque à $sin(x)$ (notée $arcsin(x)$). On a les relations suivantes :

  • $cos(x) = y \iff x = arccos(y)$
  • $sin(x) = y \iff x = sin(y)$

Cela signifie qu'à tout réel $x$, la fonction $arccos(x)$ y associe son antécédent $y$ par rapport à $cos(x)$ (pareil pour $arcsin(x)$ avec $sin(x)$).

Exemples :

  • $cos(0) = 1$, $arccos(1) = 0$
  • $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

Étude des fonctions trigonométriques

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

  • $cos'(u(x)) = u'(x) * -sin(u(x))$
  • $sin'(u(x)) = u'(x) * cos(u(x))$

Ainsi, si on a $u(x) = x$ :

  • $cos'(x) = -sin(x)$
  • $sin'(x) = cos(x)$

Signe et variations

L'étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d'obtenir les variations de celles-ci. Voici donc le signe et la variation de ces fonctions. Tout d'abord celui de la fonction cosinus :

Tableau de variation de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$.

Voici maintenant celui de la fonction sinus :

Tableau de variation de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$.

Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en $\pm\infty$. Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre $-1$ et $1$.

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de $x$ (à $2k\pi$ près, $k \in \mathbb{Z}$) Valeur de $cos(x)$ Valeur de $sin(x)$
$0$ $1$ $0$
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$ $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ $0$ $1$
$\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}$ $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{3\pi}{4}}$ $\displaystyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{5\pi}{6}}$ $\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\pi$ $-1$ $0$

Représentation graphique

À l'aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d'établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc...

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