Chapitre VII - Les intégrales

Difficulté du cours :

Calcul d'aire

Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Dans un repère orthogonal, on prend un point A(1; 1) et on appelle Unité d'Aire (U.A.) l'aire du rectangle formée par les points OIA et J.

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et $f$ une fonction continue sur $[a;b]$. L'intégrale de la fonction $f$ sur $[a;b]$ notée $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$ représente l'aire entre la courbe de $f$ et l'axe des abscisses délimitée par les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ et est exprimée en U.A..

On dit que les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.

Comment calculer une intégrale ?

Pour connaître une intégrale, il faut savoir calculer la primitive d'une fonction donnée (voir le cours sur les Primitives). Soient deux réels $a$ et $b$ avec une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ (on note $F$ la primitive de cette fonction). Alors l'intégrale de la fonction $f$ entre les bornes $a$ et $b$ est donnée par la formule suivante :

$\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)}$

Exemple : On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 1$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[1;4]$ :

1ère étape : On cherche une primitive de $f$. On trouve $F(x) = x^2 + x = x(x + 1)$.

2nde étape : On calcule l'intégrale. On a $\displaystyle{\int_{1}^{4} 2x + 1 \, \mathrm{d}x} = \left[ x(x + 1) \right]_1^4 = 4(4 + 1) - 1(1 + 1) = 3 - 20 = 18$ U.A.

Positivité de l'intégrale

Soient deux réels $a$ et $b$ et une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$. De manière générale, le signe de l'intégrale de $f$ sur $[a;b]$ dépend du signe de $f$. Ainsi :

  • Si $f \gt 0$ sur $[a; b]$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \gt 0}$.
  • Si $f \lt 0$ sur $[a; b]$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \lt 0}$.
  • Soit $c \in \mathbb{R}$ avec $a \lt c \lt b$. Si $f \gt 0$ sur $[a;c]$ et si $f \lt 0$ sur $[b;c]$ (ou inversement si $f \lt 0$ sur $[a;c]$ et si $f \gt 0$ sur $[b;c]$), on ne connaît pas le signe de l'intégrale. Le signe dépend de l'aire qui sera la plus "grande".
  • Si $a = b$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}$.
  • Soit $g$ une fonction définie sur $I$ avec $f \gt g$ sur $I$, alors $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x \gt \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x}$.

Exemple : On veut calculer l'aire sous la courbe d'une fonction $f$ définie par $f(x) = x$ sur l'intervalle $[-2;2]$ :

1ère étape : On cherche une primitive de $f$. On trouve $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

2nde étape : On calcule l'intégrale. On a $\int_{-2}^{2} x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^2 = \frac{4}{2} - \frac{4}{2} = 0$ U.A. (logique car l'aire au dessus de la courbe de la fonction $f$ sur $[-2;0]$ est égale à l'aire sous la courbe de $f$ sur $[0;2]$, voir propriétés sur les intégrales des fonctions paires).

Ainsi, cette intégrale sera positive :

Et cette intégrale sera négative :

Propriétés de l'intégrale

Propriétés algébriques

Soient deux réels $a$ et $b$ et une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$. $k$ est un réel quelconque. On a les propriétés suivantes :

  • $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}$
  • $\displaystyle{\int_{a}^{b} k \times f(x) \, \mathrm{d}x = k \times \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Linéarité

Soient deux réels $a$ et $b$ et deux fonction $f$ et $g$ continues sur un intervalle $I$. $k$ et $l$ sont deux réels quelconques :

  • $\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \, \mathrm{d}x = \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{b}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x}$
  • $\displaystyle{\int_{a}^{b} k \times f(x) + l \times g(x) \, \mathrm{d}x = k \times \int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x + l \times \int_{b}^{a} g(x) \, \mathrm{d}x}$

Relation de Chasles

Soient trois réels $a$, $b$, $c$ et une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$. La relation de Chasles nous donne la propriété suivante :

$\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Exemple : On veut calculer l'aire entre la courbe d'une fonction $f$ définie par $f(x) = |x|$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-2;4]$ (Rappel : la fonction valeur absolue est définie par $x \mapsto -x$ sur $]-\infty;0]$ et par $x \mapsto x$ sur $[0;+\infty[$).

1ère étape : On sépare l'intégrale à l'aide de la relation de Chasles : $I = \int_{-2}^{4} |x| \, \mathrm{d}x = \int_{-2}^{0} -x \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{4} x \, \mathrm{d}x$.

2nde étape : On calcule l'intégrale. On a $I = \int_{-2}^{0} -x \, \mathrm{d}x + \int_{0}^{4} x \, \mathrm{d}x = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 0 - (-\frac{2^2}{2}) + ((\frac{4^2}{2}) - 0) = 10$ U.A.

Calculs particuliers

Intégrales de fonctions paires et impaires

Soit $f$ une fonction paire (comme $x \mapsto x^2$) définie sur $I$, on a la relation suivante pour tout $a \in I$ ($-a$ doit être dans $I$) :

$\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \times \int_{-a}^{0} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Si $f$ est une fonction impaire (comme $x \mapsto x^3$), on a la relation suivante :

$\displaystyle{\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 0}$

Ces deux relations peuvent se retrouver visuellement, pour les fonctions paires (l'aire du côté gauche par rapport à $(Oy)$ est égale à l'aire de l'autre côté de $(Oy)$, et les deux sont positives; on peut donc les additionner pour retrouver l'aire totale) :

Et pour les fonctions impaires (l'aire du côté gauche par rapport à $(Oy)$ est négative et égale à l'aire de l'autre côté de $(Oy)$ qui est positive, les deux s'annulent donc) :

Intégrales de fonctions périodiques

Soit $f$ une fonction périodique de période $k$ (comme $x \mapsto cos(x)$ avec $k = 2\pi$) définie sur $I$, on a la relation suivante pour tout $a \in I$ ($a + k$ doit être dans $I$) :

$\displaystyle{\int_{0}^{k} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{a + k} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Valeur moyenne d'une fonction

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et $f$ une fonction continue sur $[a;b]$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est donnée par la formule suivante :

$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Aire entre deux courbes

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \leq b$ et deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$. Si on $f \gt g$ sur cet intervalle, alors l'aire entre les deux courbes est donnée par la relation suivante :

$\displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) - g(x) \, \mathrm{d}x}$

Primitive s'annulant en $a$

Soient une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et un réel $a \in \mathbb{R}$. La primitive de $f$ (notée $F$) qui vaut $0$ quand $x = a$ est donnée par la formule :

$\displaystyle{F(x) = \int_{a}^{x} f(x) \, \mathrm{d}x}$

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