Chapitre XIV - Les matrices (Spécialité)

Difficulté du cours :

Les matrices

Définition

Soient $m$ et $n$ deux entiers non nuls. Une matrice $A$ de taille $(m;n)$ est un tableau de réels tel que :

$\displaystyle{A = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \text{...} & a_{1,n} \cr a_{2,1} & a_{2,2} & \text{...} & a_{2,n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr a_{m,1} & a_{m,2} & \text{...} & a_{m,n}\end{pmatrix}}$

Avec $a_{1,1}$, $a_{1,2}$, $a_{2,1}$, ..., $a_{m,n}$ coefficients réels de la matrice.

Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :

  • Une matrice $(1;n)$ est une matrice ligne.
  • Une matrice $(m;1)$ est une matrice colonne.
  • Une matrice $A$ de taille $(n;n)$ est une matrice carrée d'ordre $n$ et est notée $A_n$.
  • Une matrice $(m;n)$ dont tous les termes sont nuls est une matrice nulle et est notée $0_{\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})}$ (ou plus simplement $0_{m,n}$).
  • Une matrice $(1;1)$ est un réel.

Types de matrices carrées

Il existe différentes matrices carrées remarquables outre celles données ci-dessus (on rappelle qu'une diagonale d'une matrice carrée d'ordre $n$ représente l'ensemble des coordonnées $(i;i)$ pour $i$ variant de $0$ à $n$) :

  • Une matrice carrée dont tous les termes en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.
  • Une matrice carrée dont tous les termes au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.
  • Si en plus les termes de la diagonale sont nuls, cette matrice est une matrice triangulaire inférieure stricte (ou matrice triangulaire supérieure stricte).
  • Une matrice carrée dont tous les termes qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale.
  • Une matrice carrée dont tous les termes qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls et qui sont égaux à $1$ sur la diagonale est une matrice identité.

Expression d'un système

Soient quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ et deux autres réels $\alpha$ et $\beta$. Le système $\displaystyle{\begin{cases}ax + by = \alpha \cr cx + dy = \beta\end{cases}}$ d'inconnues $x$ et $y$ peut s'écrire matriciellement :

$\displaystyle{\underbrace{\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}}_{X} = \underbrace{\begin{pmatrix}\alpha \cr \beta\end{pmatrix}}_{B}}$

Avec les écritures données ci-dessus ($A$ la première matrice, $X$ la deuxième et $B$ la dernière), on la relation suivante :

Si $A$ est inversible (voir les paragraphes suivants) alors $AX = B$ admet une unique solution $X = A^{-1}B$.

Cela peut sembler compliqué à appliquer, il n'en est rien !

Par exemple, transformons le système $\displaystyle{\begin{cases}2x + y = 1 \cr 4x + 3y = 4\end{cases}}$ en une égalité de matrices.

D'après les formules suivantes :

$\displaystyle{\begin{cases}2x + y = 1 \cr 4x + 3y = 4\end{cases} \iff \begin{pmatrix}2 & 1 \cr 4 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cr 4\end{pmatrix}}$

Or l'inverse de $\displaystyle{\begin{pmatrix}2 & 1 \cr 4 & 3\end{pmatrix}}$ est $\displaystyle{\begin{pmatrix}\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \cr -2 & 1\end{pmatrix}}$.

D'où $\displaystyle{\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \cr -2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \cr 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \cr 2\end{pmatrix}}$.

Par égalité, on a $x = -\frac{1}{2}$ et $y = 2$.

Opérations

Somme

Soient $A$ et $B$ deux matrices de même taille. La somme de ces deux matrices (notée $A+B$) est une matrice telle que :

$A+B$ est la matrice de même taille dont les coefficients représentent la somme des coefficients de $A$ aux coefficients de $B$ qui ont les mêmes coordonnées.

Attention ! Il n'est possible d'additionner que deux matrices de même taille.

Produits

Soient $A$ une matrice et $\lambda$ un réel. Le produit de $A$ par $\lambda$ (noté $\lambda A$) est une matrice telle que :

$\lambda A$ est la matrice de même taille que $A$ dont les coefficients sont tous multipliés par $\lambda$.

Note : Pour soustraire deux matrices $A$ et $B$, on multiplie $B$ par $-1$ et on y ajoute $A$.

Soient $L = \begin{pmatrix}l_1 & \text{...} & l_n\end{pmatrix}$ une matrice ligne et $C = \begin{pmatrix}c_1 \cr \vdots \cr c_n\end{pmatrix}$ une matrice colonne. Le produit de ces deux matrices (noté $LC$) est le réel :

$LC = l_1 \times c_1 + \text{ ... } + l_n \times c_n$

Plus généralement, soient $A$ de taille $(m;n)$ et $B$ de taille $(n;p)$ deux matrices (dont le nombre de lignes de $A$ est égal au nombre de colonnes de $B$). Le produit de ces deux matrices (notée $AB$) est une matrice telle que :

$AB$ est la matrice de taille $(m;p)$ dont le coefficient à la position $(i;j)$ est égal au produit de la $i$-ième ligne de $A$ par la $j$-ième colonne de $B$.

Attention ! Le produit matriciel n'est pas commutatif ! Donc bien souvent $AB \neq BA$.

Si $A$ et $B$ sont deux matrices diagonales, leur produit est une matrice de même taille dont le coefficient à la position $(i;j)$ est égal au produit du coefficient à la position $(i,j)$ de $A$ par celui à la position $(i;j)$ de $B$. De plus, on aura $AB = BA$.

Puissance

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ et $i$ un entier naturel :

$\displaystyle{A^i = \underbrace{ A \times \text{ ... } \times A }_{i \text{ fois}} = A^{i-1} \times A}$

De plus, si $i = 0$, on a :

$A^i = A^0 = I_n$

Et, si on pose $k$ entier, on a la relation suivante :

$A^k \times A^i = A^{k+i}$

Si $A$ est une matrice diagonale, alors $A^i$ représente simplement une matrice de même taille avec tous les termes mis à la puissance $i$ (cela vaut aussi si $i = -1$).

Inverse

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. $A$ est dite inversible s'il existe une matrice inverse de $A$ (notée $A^{-1}$) telle que :

$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n$

Si cette matrice existe, elle est unique.

Exemple : Calculez le produit de $\displaystyle{A = \begin{pmatrix}2 & 1 \cr 6 & 4\end{pmatrix}}$ par $\displaystyle{B = \begin{pmatrix}4 & -1 \cr -6 & 2\end{pmatrix}}$, en déduire que $A$ est inversible et donnez $A^{-1}$.

Le produit nous donnera une matrice carrée d'ordre $2$ car on multiplie deux matrices carrées d'ordre $2$ :

$\displaystyle{\begin{pmatrix}2 & 1 \cr 6 & 4\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}4 & -1 \cr -6 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8-6 & -2+2 \cr 24-24 & -6+8\end{pmatrix}}$

En multipliant $A$ par $B$, on obtient $2I_2$. Donc $A$ est inversible et $A^{-1} = \frac{1}{2} B$.

Plus généralement, l'inverse d'une matrice $A$ carrée d'ordre $2$, de coefficients $a$ et $b$ sur la ligne $1$ et de coefficients $c$ et $d$ sur la ligne $2$ est donné par la formule suivante :

$\displaystyle{A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d & -b \cr -c & a\end{pmatrix}}$

$A$ n'est donc pas inversible si $ad - bc = 0$.

Priorités et opérations

Soient trois matrices carrées $A$, $B$ et $C$ d'ordre $n$ et un réel $\lambda$, les égalités suivantes sont disponibles :

  • $A(BC) = (AB)C$ (associativité)
  • $A(B + C) = AB + AC$ (distributivité)
  • $AI_n = I_nA = A$
  • $A0_n = 0_nA = 0_n$
  • $\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$

Attention !

Si on a une égalité du type $A \times B = 0$, cela n'implique pas forcément que $A = 0$ ou $B = 0$ !

De plus, si on a $AB = AC$, on n'a pas forcément $B = C$.

Les priorités opératoires sont les mêmes que dans les ensembles de nombres classiques (la multiplication prime sur l'addition, etc...).

Étude asymptotique d’une marche aléatoire

Suites de matrices colonnes

Soit $U_n$ une suite de matrices colonnes de taille $(m;1)$. On a la propriété suivante :

$U_n$ converge vers une matrice $U$ si chacune des suites formées par les coefficients de $U_n$ convergent. Les limites de ces suites forment alors les coefficients de $U$.

Soient $A$ une matrice carrée d'ordre $m$, $B$ et $U_0$ deux matrices colonnes de taille $(m;1)$. Il existe une unique suite $U_n$ de matrices colonnes de taille $(m;1)$, définie par son premier terme $U_0$ et par la relation de récurrence :

$U_{n+1} = AU_n + B$

Si la suite $U_n$ converge, alors elle converge vers une matrice colonne $U$ de taille $(m;1)$ telle que :

$U = AU + B$

Définitions

Voici quelques définitions qu'il faut maîtriser pour la suite :

  • Une marche aléatoire représente l'évolution d'un système qui, au cours du temps, peut-être dans un certain nombre fini d'état.
  • Une matrice de transition est une matrice carrée dont le coefficient situé à la position $(i;j)$ est la probabilité que le système soit, à un instant, dans l'état $j$ sachant qu'il était dans l'état $i$ à l'instant précédent.
  • La matrice colonne des états de la marche aléatoire après $n$ étapes est la matrice colonne dont les coefficients sont les probabilités que le système soit à l'état $i$ à l'instant $n$.

Exemple : On souhaite étudier les passes que se font les trois attaquants $A$, $B$ et $C$. Au départ, le ballon est dans les pieds de $A$ et circule entre les trois attaquants :

  • La probabilité que $A$ passe à $B$ est de $\frac{1}{3}$ et la probabilité qu'il passe à $C$ est de $\frac{2}{3}$.
  • La probabilité que $B$ passe à $A$ est de $\frac{1}{4}$ et la probabilité qu'il passe à $C$ est de $\frac{3}{4}$.
  • La probabilité que $C$ passe à $A$ est de $\frac{1}{2}$ et la probabilité qu'il passe à $B$ est de $\frac{1}{2}$.

La marche aléatoire de ce système est un attaquant reçoit le ballon depuis un autre attaquant.

La matrice de transition est la matrice $\displaystyle{T = \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \cr \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{2} \cr \frac{2}{3} & \frac{3}{4} & 0\end{pmatrix}}$. On y trouve par exemple en position $(1;2)$ la probabilité le ballon arrive dans les pieds de $A$ sachant qu'il se trouvait dans ceux de $B$.

La matrice colonne des états de la marche aléatoire après $n$ étapes est la matrice $\displaystyle{P_n = \begin{pmatrix}a_n \cr b_n \cr c_n\end{pmatrix}}$ avec les suites : $\displaystyle{\begin{cases} a_{n+1} = \frac{1}{4} b_n + \frac{1}{2} c_n\\ b_{n+1} = \frac{1}{3} a_n + \frac{1}{2} c_n \\ c_{n+1} = \frac{2}{3} a_n + \frac{3}{4} b_n\end{cases}}$.

On remarque que $P_{n+1} = TP_n$ (ceci peut être démontré grâce à la formule des probabilités totales appliquée au système à l'instant $n$).

Propriétés

Soient une marche aléatoire qui admet une matrice de transition $T$ ainsi qu'une matrice colonne de ses états après $n$ étapes $P_n$. On a alors la relation de récurrence suivante (voir exemple précédent pour plus d'explications) :

$P_{n+1} = TP_n$

De plus, le terme général d'une telle suite de matrices est :

$P_{n} = T^nP_0$

Il faut savoir démontrer cette dernière formule. Pour cela procédons par récurrence :

Soit $H_n$ la propriété définie par $H_n : P_{n} = T^nP_0$

Initialisation : $P_0 = T^0P_0$ ce qui est vrai car une matrice à la puissance $0$ donne la matrice identité.

Hérédité : Montrons que $H_{n+1}$ est vraie :
$P_{n+1} = TP_n$ (d'après la première formule)
$\iff P_{n+1} = T \times (T^nP_0)$ (d'après l'hypothèse de récurrence)
$\iff P_{n+1} = (T \times T^n)P_0 = T^{n+1}P_0$

Conclusion : La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, $H_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Étude d'une marche aléatoire

Une marche aléatoire qui admet une matrice de transition $T$ ainsi qu'une matrice colonne de ses états après $n$ étapes $P_n$ converge si :

$P_n$ converge vers une matrice $P$. Si $P$ existe, elle est appelée état stable de la marche aléatoire.

Si $P_n$ converge vers $P$, alors l'équation suivante doit être vérifiée :

$P = TP$

Si la marche aléatoire n'a que deux états et que $T$ ne comporte pas de $0$, alors cette marche aléatoire converge vers un état stable unique $P = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ tel que :

$P = TP$ avec $a + b = 1$.

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