Chapitre VI - Les primitives de fonctions continues

Définition

Soit $f$ un fonction définie sur un intervalle $I$, on appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ (parfois notée $\int f(x) \, \mathrm{d}x$) définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ :

$F'(x) = f(x)$

Note : Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. Si on considère la fonction définie pour $x \in R$ : $f(x) = 2x$.
Alors, $F_{1}(x) = x^2 + 1$ est primitive de la fonction $f$ (car $F'(x) = 2x = f(x)$).

Mais $F_{1}(x)$ n'est pas la seule primitive de $f$ !
On peut citer par exemple $F_{2}(x) = x^2 + 10$ et $F_{3}(x) = x^2 + 3$ qui sont également des primitives de $f$.

C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme suivante :

$x \mapsto F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$ (voir l'encadré précédent pour plus de détails)

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Domaine de définition Fonction Primitive
$x \in \mathbb{R}$ $f(x) = k$, $k \in \mathbb{R}$ $F(x) = kx$
$x \in \mathbb{R}$ $g(x) = e^x$ $G(x) = e^x$
$x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ $\displaystyle{h(x) = \frac{1}{x}}$ $H(x) = ln(x)$
$x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ $\displaystyle{i(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}}$ $I(x) = 2\sqrt{x}$
$x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ $j(x) = x^a$, $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$ $\displaystyle{J(x) = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1}}$
$x \in \mathbb{R}$ $k(x) = sin(x)$ $K(x) = -cos(x)$
$x \in \mathbb{R}$ $l(x) = cos(x)$ $L(x) = sin(x)$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Notes Fonction Primitive
$f(x) = u'(x)e^{u(x)}$ $F(x) = e^{u(x)}$
On peut retirer la valeur absolue si $u(x) \gt 0$ sur son intervalle de définition. $\displaystyle{g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$ $G(x) = ln(|u(x)|)$
$u(x) \gt 0$ $\displaystyle{h(x) = \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}}$ $H(x) = 2\sqrt{u(x)}$
$a \in \mathbb{R}$, $a \neq -1$ $i(x) = u'(x)(u(x))^a$ $\displaystyle{I(x) = \frac{1}{a + 1} (u(x))^{a + 1}}$
$j(x) = u'(x)sin(u(x))$ $J(x) = -cos(u(x))$
$k(x) = u'(x)cos(u(x))$ $K(x) = sin(u(x))$

Annales en rapport avec le sujet

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