Chapitre VI - Les primitives de fonctions continues
Définition
Soit $f$ un fonction définie sur un intervalle $I$, on appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ (parfois notée $\int f(x) \, \mathrm{d}x$) définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ :
$F'(x) = f(x)$
Note : Une primitive est toujours définie à une constante près.
En effet. Si on considère la fonction définie pour $x \in R$ : $f(x) = 2x$.
Alors, $F_{1}(x) = x^2 + 1$ est primitive de la fonction $f$ (car $F'(x) = 2x = f(x)$).
Mais $F_{1}(x)$ n'est pas la seule primitive de $f$ !
On peut citer par exemple $F_{2}(x) = x^2 + 10$ et $F_{3}(x) = x^2 + 3$ qui sont également des primitives de $f$.
C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).
Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme suivante :
$x \mapsto F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$ (voir l'encadré précédent pour plus de détails)
Primitive de fonctions usuelles
Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
| Domaine de définition | Fonction | Primitive |
|---|---|---|
| $x \in \mathbb{R}$ | $f(x) = k$, $k \in \mathbb{R}$ | $F(x) = kx$ |
| $x \in \mathbb{R}$ | $g(x) = e^x$ | $G(x) = e^x$ |
| $x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ | $\displaystyle{h(x) = \frac{1}{x}}$ | $H(x) = ln(x)$ |
| $x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ | $\displaystyle{i(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}}$ | $I(x) = 2\sqrt{x}$ |
| $x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ | $j(x) = x^a$, $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$ | $\displaystyle{J(x) = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1}}$ |
| $x \in \mathbb{R}$ | $k(x) = sin(x)$ | $K(x) = -cos(x)$ |
| $x \in \mathbb{R}$ | $l(x) = cos(x)$ | $L(x) = sin(x)$ |
Opérations sur les primitives
Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
| Notes | Fonction | Primitive |
|---|---|---|
| $f(x) = u'(x)e^{u(x)}$ | $F(x) = e^{u(x)}$ | |
| On peut retirer la valeur absolue si $u(x) \gt 0$ sur son intervalle de définition. | $\displaystyle{g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$ | $G(x) = ln(|u(x)|)$ |
| $u(x) \gt 0$ | $\displaystyle{h(x) = \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}}$ | $H(x) = 2\sqrt{u(x)}$ |
| $a \in \mathbb{R}$, $a \neq -1$ | $i(x) = u'(x)(u(x))^a$ | $\displaystyle{I(x) = \frac{1}{a + 1} (u(x))^{a + 1}}$ |
| $j(x) = u'(x)sin(u(x))$ | $J(x) = -cos(u(x))$ | |
| $k(x) = u'(x)cos(u(x))$ | $K(x) = sin(u(x))$ |