Chapitre VI - Les primitives de fonctions continues

Difficulté du cours :

Définition

Soit $f$ un fonction définie sur un intervalle $I$, on appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ (parfois notée $\int f(x) \, \mathrm{d}x$) définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ :

$F'(x) = f(x)$

Note : Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. Si on considère la fonction définie pour $x \in R$ : $f(x) = 2x$.
Alors, $F_{1}(x) = x^2 + 1$ est primitive de la fonction $f$ (car $F'(x) = 2x = f(x)$).

Mais $F_{1}(x)$ n'est pas la seule primitive de $f$ !
On peut citer par exemple $F_{2}(x) = x^2 + 10$ et $F_{3}(x) = x^2 + 3$ qui sont également des primitives de $f$.

C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme suivante :

$x \mapsto F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$ (voir l'encadré précédent pour plus de détails)

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Domaine de définition Fonction Primitive
$x \in \mathbb{R}$ $f(x) = k$, $k \in \mathbb{R}$ $F(x) = kx$
$x \in \mathbb{R}$ $g(x) = e^x$ $G(x) = e^x$
$x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ $\displaystyle{h(x) = \frac{1}{x}}$ $H(x) = ln(x)$
$x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ $\displaystyle{i(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}}$ $I(x) = 2\sqrt{x}$
$x \in \mathbb{R}^{*}_{+}$ $j(x) = x^a$, $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$ $\displaystyle{J(x) = \frac{1}{a + 1} x^{a + 1}}$
$x \in \mathbb{R}$ $k(x) = sin(x)$ $K(x) = -cos(x)$
$x \in \mathbb{R}$ $l(x) = cos(x)$ $L(x) = sin(x)$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Notes Fonction Primitive
$f(x) = u'(x)e^{u(x)}$ $F(x) = e^{u(x)}$
On peut retirer la valeur absolue si $u(x) \gt 0$ sur son intervalle de définition. $\displaystyle{g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$ $G(x) = ln(|u(x)|)$
$u(x) \gt 0$ $\displaystyle{h(x) = \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}}$ $H(x) = 2\sqrt{u(x)}$
$a \in \mathbb{R}$, $a \neq -1$ $i(x) = u'(x)(u(x))^a$ $\displaystyle{I(x) = \frac{1}{a + 1} (u(x))^{a + 1}}$
$j(x) = u'(x)sin(u(x))$ $J(x) = -cos(u(x))$
$k(x) = u'(x)cos(u(x))$ $K(x) = sin(u(x))$

Annales en rapport avec le sujet

Sujets et corrigés fournis par Math France.

Vous souhaitez avoir tous les cours en version papier, pour réviser tranquillement dans votre lit ou au coin de la cheminée ? Achetez le livre physique dès maintenant !