Chapitre X - Lois de probabilité

Lois de probabilité discrètes

Probabilités conditionnelles

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $A$ de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de B sachant que est A réalisé est :

$\displaystyle{p_{A}(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}}$

En réalité, lorsque l'on dessine un arbre de probabilité (vu en classe de Première), $p_{A}{B}$ se lit sur les branches de l'arbre :

Arbre de probabilité

Ici, on a $p_{A}{B} = \frac{6}{9}$.

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune incidence sur la réalisation de l'autre et réciproquement. C'est à dire :

$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$

Pour deux événements indépendants $A$ et $B$, on a les relations suivantes :

  • $p_{A}{B} = p(B)$
  • $p_{B}{A} = p(A)$

Formule des probabilités totales

Soient $A_1, A_2, ..., A_n$ des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l'univers $\Omega$, alors pour tout événement $B$ :

$p(B) = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2) + \text{ ... } + p(B \cap A_n)$

En reprenant l'arbre précédent, calculons $p(B)$ :

Arbre de probabilité

D'après la formule des probabilités totales, $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = \frac{38}{63}$.

Variables aléatoires

Une variable aléatoire $X$ est une fonction (et plus précisément une application) qui, à chaque événement élémentaire de l'univers $\Omega$ y associe un nombre réel. C'est à dire : $X : \Omega \mapsto \mathbb{R}$. L'ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega)$.

La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i = p(X = x_i)$ de l'événement $X = x_i$ constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par $X$ est $x_i$. Cette loi est généralement représentée dans un tableau :

$x_i$ $x_1$ $x_2$ ... $x_n$
$p(X = x_i)$ $p(X = x_1)$ $p(X = x_2)$ ... $p(X = x_n)$

On a $p(X = x_1) + p(X = x_2) + \text{ ... } + p(X = x_n) = 1$.

L'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est un réel :

$E(X) = x_i \times p_i$

La variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$ sont les réels positifs :

  • $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
  • $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Exemple : Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type. On donne la loi de probabilité suivante :

$x_i$ $-1$ $0$ $2$ $6$
$p(X = x_i)$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$

On a :

  • $E(X) = -1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$
  • $V(X) = ((-1)^2 \times \frac{1}{4} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{8} + 6^2 \times \frac{1}{8}) - (\frac{3}{4})^2 = \frac{75}{16}$
  • $\sigma(X) = \sqrt{\frac{75}{16}} \approx 2.165$

Épreuve et loi de Bernoulli

Soit $p \in \mathbb{R}$ compris entre $0$ et $1$. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

  • Succès, obtenu avec la probabilité $p$.
  • Échec, obtenu avec la probabilité $1-p$.

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ si :

  • $X(\Omega) = {0;1}$
  • $p(X = 1) = p$ et $p(X = 0) = 1-p$
  • Remarque : On voit que $0$ correspond à l'échec et que $1$ correspond au succès.

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, on a les propriétés suivantes :

  • $E(X) = p$
  • $V(X) = p(1-p)$

Loi binomiale

On répète $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve et $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves.

La loi de probabilité de $X$ est appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ et est notée $\operatorname{B}(n; p)$.

Ainsi, pour $X$ variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, on a :

  • $\displaystyle{p(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}$ pour tout $0 \leq k \leq n$, avec $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ coefficient binomial (se lit $k$ parmi $n$)
  • $E(X) = n \times p$
  • $V(X) = np(1-p)$

Lois de probabilités continues

Différence discret / continu

Une variable aléatoire est dite discrète s'il est possible d'énumérer le nombre de valeurs prises par cette variable. Dès lors qu'une variable aléatoire peut prendre comme valeur tous les nombres réels d'un certain intervalle de $\mathbb{R}$, il devient impossible de compter le nombre de valeurs prises par cette variable et on parle alors de variable aléatoire continue.

Densité de probabilité

Soit $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, $f$ est une fonction densité de probabilité si les conditions suivantes sont respectées :

  • $f$ est positive sur $\mathbb{R}$.
  • $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (sauf peut-être en certain points).
  • L'aire du domaine délimitée par la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses est égale à 1.

Soient $X$ une variable aléatoire admettant une densité de probabilité et $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leq b$, alors on a :

  • $p(X \in [a;b]) = p(X \in [a;b[) = p(X \in ]a;b]) = p(X \in ]a;b[)$
  • $p(X = x) = 0$ pour tout réel $x$
  • $p(a \leq X \leq b) = p(X \leq b) - p(X \leq a)$
  • $p(X \leq a) + p(X \gt a) = 1$

On peut calculer l'espérance d'une variable aléatoire $X$ de densité $f$ sur un intervalle $[a;b]$ :

$\displaystyle{E(X) = \int_{a}^{b} xf(x) \, \mathrm{d}x}$

Loi uniforme

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[a;b]$ (avec $a$ et $b$ réels tels que $a \lt b$) si elle admet pour densité la fonction $f$ définie sur $[a;b]$ par :

$f(x) : \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{b-a} \text{ si } x \in [a;b] \\ 0 \text{ sinon} \end{array} \right.$

Si $X$ suit la loi uniforme énoncée précédemment, alors :

$\displaystyle{p(c \leq X \leq d) = \int_{d}^{c} \frac{1}{b-a} \, \mathrm{d}x = \frac{d-c}{b-a}}$ avec $c$ et $d$ réels tels que $a \leq c \leq d \leq b$

L'espérance de cette loi uniforme est :

$\displaystyle{E(X) = \frac{a+b}{2}}$

Loi exponentielle

Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle (ou loi de durée de vie sans vieillissement) de paramètre $\lambda$ (avec $\lambda$ réel et positif) si elle admet pour densité la fonction $f$ définie par :

$f(x) : \left\{ \begin{array}{ll} 0 \text{ si } x \lt 0 \\ \lambda e^{-\lambda x} \text{ si } x \geq 0 \end{array} \right.$

Si $X$ suit la loi exponentielle énoncée précédemment, alors :

$\displaystyle{p(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} \lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x}$ avec $a$ et $b$ réels tels que $a \leq b$

Les propriétés suivantes sont par conséquent disponibles :

  • $\displaystyle{p(X \leq a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x = 1 - e^{-\lambda a}}$
  • $p(X \gt a) = 1 - p(X \leq a) = e^{-\lambda a}$

L'espérance de cette loi exponentielle est :

$\displaystyle{E(X) = \frac{1}{\lambda}}$

La loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est dite "sans vieillissement" :

$p_{X \geq x}(X \geq x + s) = p(X \geq s)$ avec $x$ et $s$ réels positifs

Ceci montre que la durée de vie $X$ sur un laps de temps $s$ ne dépend pas de l'âge $x$ à partir duquel on considère cet événement.

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite (notée $\mathcal{N}(0;1)$) si elle admet pour densité la fonction $f$ définie par :

$\displaystyle{f(x) : \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}$

Si $X$ suit la loi exponentielle énoncée précédemment, alors pour tout réel $\alpha \in [0;1]$ il existe $u_{\alpha}$ tel que :

$p(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}) = 1-\alpha$

Valeurs particulières :

  • $u_{0,05} \approx 1,959$
  • $u_{0,01} \approx 2,575$

L'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ de la loi normale centrée réduite sont :

  • $E(X) = 0$
  • $V(X) = \sigma(X) = 1$

La fonction densité de probabilité de la loi normale centrée réduite n'admet pas de primitive avec les moyens usuels. Il faut donc utiliser la calculatrice pour déterminer les probabilités d'événements.

Loi normale générale

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$, $\sigma$ (notée $\mathcal{N}(\mu; \sigma^2)$ avec $\mu \in \mathbb{R}$ et $\sigma \in \mathbb{R}^{+}_{*}$) si $\displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}$ suit la loi normale centrée réduite.

Si $X$ suit la loi normale énoncée précédemment, alors on a les valeurs remarquables suivantes :

  • $p(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,683$
  • $p(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,954$
  • $p(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$

L'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ de cette loi normale sont :

  • $E(X) = \mu$
  • $V(X) = \sigma^2$

Comme pour la loi normale centrée réduite, il faut utiliser la calculatrice pour déterminer les probabilités d'événements.

Annales en rapport avec le sujet

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