Chapitre I - Les suites

Qu'est-ce-que qu'une suite ?

Définition

On appelle suite une fonction (et plus précisément application) de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : cette fonction va prendre des éléments d'un ensemble de départ $\mathbb{N}$ et va les amener dans un ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$.

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
  • Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Exemple : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on définit les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ainsi :

$u_n = n$

$v_n : \left\{ \begin{array}{ll} v_0 = 0 \\ v_{n+1} = v_n + 1 \end{array} \right.$.

On remarque que bien que définies différemment, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont égales.

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmétique si elle est de la forme :

$u_{n+1} = u_n + r$ avec $r \in \mathbb{R}$.

Le réel $r$ est la raison de la suite (si $r \gt 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, si $r \lt 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et si $r = 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante). Il est possible de trouver le terme général d'une suite arithmétique :

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

$u_n = u_p + (n-p) \times r$

Et si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :

$u_n = u_0 + (n-0) \times r = u_0 + n \times r$

La somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante (on note $S_n$ cette somme) :

$\displaystyle{S_n = \frac{(\text{Premier terme } + \text{ Dernier terme}) \times (\text{Nombre de termes})}{2}}$

Astuce : Pour trouver le nombre de termes, on prend le rang jusqu'auquel on souhaite calculer cette somme, on y soustrait l'indice du premier terme et on y ajoute $1$.

Exemple : Soit une suite $(u_n)_{n \geq 1}$ définie par $u_n$ : $\begin{cases} u_1 = 10\\ u_{n+1} = u_n + 5\end{cases}$ pour $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 1$.

La raison $r$ est égale à $5$. Le premier terme est $u_1 = 10$ d'indice $p = 1$. Le terme général de cette suite est donc $u_n = u_1 + (n-1) \times r$.

Par conséquent, on a : $u_n = 10 + (n-1) \times 5$. On souhaite calculer la somme des termes de cette suite jusqu'au rang $n$. Par l'astuce précédente, il y a $n-1+p = n$ termes. On peut calculer la somme $S_n$ :

$S_n = \frac{(u_1 + u_n) \times (n)}{2} = \frac{(20 + (n-1) \times 5)(n)}{2} = \frac{5n^2 + 15n}{2}$.

Suites géométriques

Une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite géométrique si elle est de la forme :

$v_{n+1} = v_n \times q$ avec $q \in \mathbb{R}$.

Le réel $q$ est la raison de la suite (si $q \gt 1$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, si $0 \lt q \lt 1$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante). Il est possible de trouver le terme général d'une suite géométrique :

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

$v_n = v_p \times q^{n-p}$

Et si $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :

$v_n = v_0 \times q^{n-0} = v_0 \times q^n$

La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante (on note $S_n$ cette somme) :

$\displaystyle{S_n = (\text{Premier terme}) \times \frac{1 - q^\text{Nombre de termes}}{1 - q}}$

Astuce : Pour trouver le nombre de termes, on prend le rang jusqu'auquel on souhaite calculer cette somme. On y soustrait l'indice du premier terme et on y ajoute $1$.

Exemple : Soit une suite $(v_n)_{n \geq 2}$ définie par $v_n$ : $\begin{cases} v_2 = 1\\ v_{n+1} = v_n \times 2\end{cases}$ pour $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$.

La raison $q$ est égale à $2$. Le premier terme est $v_2 = 1$ d'indice $p = 2$. Le terme général de cette suite est donc $v_n = v_2 \times q^{n-2}$.

Par conséquent, on a : $v_n = 2^{n-2}$. On souhaite calculer la somme des termes de cette suite jusqu'au rang $n$. Par l'astuce précédente, il y a $n-1+p = n + 1$ termes. On peut calculer la somme $S_n$ :

$S_n = v_2 \times \frac{1 - q^{n-1}}{1 - q} = -(1 - 2^{n-1}) = 2^{n-1} - 1$.

Étude des suites

Sens de variation

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si on a :

$u_{n+1} \geq u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \geq 0$

À l'inverse, une suite $u_n$ est décroissante si on a :

$u_{n+1} \leq u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \leq 0$

Une suite est dite constante si on a pour $c \in \mathbb{R}$ :

$u_{n} = u_{n+1} = c$

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Limites

On dit qu'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite finie $l$ si pour tout $\epsilon \gt 0$, on a $|u_n - l| \lt \epsilon$. Cette définition est un peu technique mais elle signifie qu'il existe une infinité de réels entre $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $l$. On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente et on note alors :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = l$

Attention ! On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $l$ mais jamais $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'atteindra $l$ quand $n$ tend vers +$\infty$.

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ peut également diverger vers une limite infinie. On dit à ce moment là que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est divergente. On note ainsi :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \pm \infty$

Il est possible d'écrire une définition semblable à celle de la convergence.

Ainsi, si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers +$\infty$, cela signifie que pour tout réel $h$ et à partir d'un certain rang $M$, on aura $u_M \gt h$.

Et si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$ quand $n$ tend vers +$\infty$, cela signifie que pour tout réel $h$ et à partir d'un certain rang $m$, on aura $u_m \lt h$.

Limite d'une suite géométrique
Si on a pour $q \in \mathbb{R}$... $-1 \lt q \lt 1$ $1 \lt q$ $q \leq -1$ $q = 1$
La suite $q^n$ a pour limite... $0$ $+\infty$ Pas de limite $1$

À savoir que si une suite à une limite, alors cette limite est unique.

Opérations sur les limites

Dans tout ce qui suit, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont deux suites. Ces tableaux sont à connaître et sont requis pour pouvoir travailler sur les limites.

Limite d'une somme
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_n + v_n)$ $l + l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ ?
Limite d'un produit
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n$ $l$ $l \gt 0$ $l \gt 0$ $l \lt 0$ $l \lt 0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n$ $l'$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm \infty$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (u_n \times v_n)$ $l \times l'$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ ?
Limite d'un quotient
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm \infty$ $l$ $0$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n$ $l' \neq 0$ $\pm \infty$ $l' \gt 0$ $l' \lt 0$ $l' \gt 0$ $l' \lt 0$ $\pm \infty$ $0^+_-$ $0$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (\frac{u_n}{v_n})$ $\displaystyle{\frac{l}{l'}}$ $0$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ ? $\pm \infty$ ?

Majoration, minoration et bornes

Soient une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et deux réels $m$ et $M$ :

  • On dit que que $m$ est un minorant de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ si pour tout $n$ : $u_n \gt m$.
  • On dit que que $M$ est un majorant de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ si pour tout $n$ : $u_n \lt M$.
  • On dit que que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
  • Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas majorée, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.
  • Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n'est pas minorée, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $-\infty$.

Toute suite convergente est également bornée.

Encadrement

Soient deux suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que $u_n \lt v_n$ à partir d'un certain rang. On a :

  • Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty$.
  • Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = -\infty$.
  • Si $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = l$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = l'$ alors $l \lt l'$.

Soient trois suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que $u_n \lt v_n \lt w_n$ à partir d'un certain rang et que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers le réel $l$. Alors :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = l$

Ce théorème est appelé théorème des gendarmes.

Raisonnement par récurrence

Si on souhaite montrer qu'une propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ à partir d'un certain rang $p$ :

Initialisation : On teste la propriété au rang $p$. Si elle est vérifiée, on passe à l'étape suivante.

Hérédité : On démontre que si la propriété est vraie au rang $p$, alors elle est vraie au rang $p+1$.

Conclusion : On explique que l'on vient de démontrer la propriété au rang $p+1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir de ce rang $p$ et pour tout $n \geq p$.

Exemple : Soit une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n$ : $\begin{cases} u_0 = 4\\ u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4}\end{cases}$. On souhaite montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $4 \leq u_n \leq 5$.

On note $P_n$ la propriété $P_n$ : $4 \leq u_n \leq 5$.

On constate également que $u_{n+1} = \frac{4u_n + 17}{u_n + 4} = \frac{4(u_n + 4) + 1}{u_n + 4} = 4 + \frac{1}{u_n + 4}$.

Initialisation : On teste la propriété au rang $0$ :

$P_0$ : $4 \leq u_0 \leq 5 \iff 4 \leq 4 \leq 5$. C'est vrai.

La propriété est vraie au rang $0$, on souhaite vérifier que la propriété est vraie au rang $n+1$.

Hérédité :

D'après $P_n$ : $4 \leq u_n \leq 5$. Donc on a :

$\iff 4 \leq u_n \leq 5$

$\iff 4 + 4 \leq u_n + 4 \leq 5 + 4$

$\iff \frac{1}{9} \leq \frac{1}{u_n + 4} \leq \frac{1}{8}$ (la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^+$ donc on change l'inégalité)

$\iff 4 + \frac{1}{9} \leq 4 + \frac{1}{u_n + 4} \leq 4 + \frac{1}{8}$

Or $4 + \frac{1}{9} \approx 4.111 \gt 4$ et $4 + \frac{1}{8} = 4.125 \lt 5$. On a donc bien :

$4 \leq u_{n+1} \leq 5$

Conclusion :

La propriété est initialisée au rang $0$ et est héréditaire. Ainsi, $P_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Le raisonnement par récurrence est très utilisé en mathématiques et ne se limite pas qu'à l'étude des suites.

Annales en rapport avec le sujet

Sujets et corrigés fournis par Math France.