Chapitre VI – Les primitives de fonctions continues

Niveau : Terminale S Difficulté du cours :

Chapitre VI – Les primitives de fonctions continues – Fiche résumée

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Définition

Soit $f$ un fonction définie et continue sur un intervalle $I$, on appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ (parfois notée $\int f(x) \, \mathrm{d}x$) définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ :

$F'(x) = f(x)$

Note : Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. Si on considère la fonction définie pour $x \in R$ : $f(x) = 2x$.
Alors, $F_{1}(x) = x^2 + 1$ est une primitive de la fonction $f$ (car $F'(x) = 2x = f(x)$).

Mais $F_{1}(x)$ n'est pas la seule primitive de $f$ !
On peut citer par exemple $F_{2}(x) = x^2 + 10$ et $F_{3}(x) = x^2 + 3$ qui sont également des primitives de $f$.

C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme suivante :

$x \mapsto F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$ avec $F$ une primitive de $f$.

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$k$	$kx$	$\mathbb{R}$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$	$\ln(x)$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$	$2\sqrt{x}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$x^a$ $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$	$\displaystyle{\frac{1}{a + 1} x^{a + 1}}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$u'(x)e^{u(x)}$	$e^{u(x)}$	En tout point où $u$ est définie.
$\displaystyle{\frac{u'(x)}{u(x)}}$	$\ln(|u(x)|)$	En tout point où $u$ est définie. On peut retirer la valeur absolue si $u$ est positive.
$\displaystyle{\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}}$	$2\sqrt{u(x)}$	En tout point où $u$ est définie et est positive.
$u'(x)(u(x))^a$ $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$	$\displaystyle{\frac{1}{a + 1} (u(x))^{a + 1}}$	En tout point où $u$ est définie.
$u'(x)\sin(u(x))$	$-\cos(u(x))$	En tout point où $u$ est définie.
$u'(x)\cos(u(x))$	$\sin(u(x))$	En tout point où $u$ est définie.