Chapitre VI – Les primitives de fonctions continues
Définition
Soit $f$ un fonction définie et continue sur un intervalle $I$, on appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ (parfois notée $\int f(x) \, \mathrm{d}x$) définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ :
$F'(x) = f(x)$
Note : Une primitive est toujours définie à une constante près.
En effet. Si on considère la fonction définie pour $x \in R$ : $f(x) = 2x$.
Alors, $F_{1}(x) = x^2 + 1$ est une primitive de la fonction $f$ (car $F'(x) = 2x = f(x)$).
Mais $F_{1}(x)$ n'est pas la seule primitive de $f$ !
On peut citer par exemple $F_{2}(x) = x^2 + 10$ et $F_{3}(x) = x^2 + 3$ qui sont également des primitives de $f$.
C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).
Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme suivante :
$x \mapsto F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$ avec $F$ une primitive de $f$.
Primitive de fonctions usuelles
Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
| Fonction | Primitive | Domaine de définition de la primitive |
|---|---|---|
| $k$ | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ | $\ln(x)$ | $\mathbb{R}^{*}_{+}$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ | $2\sqrt{x}$ | $\mathbb{R}^{*}_{+}$ |
| $x^a$ $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$ |
$\displaystyle{\frac{1}{a + 1} x^{a + 1}}$ | $\mathbb{R}^{*}_{+}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
Opérations sur les primitives
Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
| Fonction | Primitive | Domaine de définition de la primitive |
|---|---|---|
| $u'(x)e^{u(x)}$ | $e^{u(x)}$ | En tout point où $u$ est définie. |
| $\displaystyle{\frac{u'(x)}{u(x)}}$ | $\ln(|u(x)|)$ | En tout point où $u$ est définie. On peut retirer la valeur absolue si $u$ est positive. |
| $\displaystyle{\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}}$ | $2\sqrt{u(x)}$ | En tout point où $u$ est définie et est positive. |
| $u'(x)(u(x))^a$ $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$ |
$\displaystyle{\frac{1}{a + 1} (u(x))^{a + 1}}$ | En tout point où $u$ est définie. |
| $u'(x)\sin(u(x))$ | $-\cos(u(x))$ | En tout point où $u$ est définie. |
| $u'(x)\cos(u(x))$ | $\sin(u(x))$ | En tout point où $u$ est définie. |
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