I – Qu'est-ce-qu'une dérivée ?
1. Nombre dérivé
Définition
Soient
La fonction
Ou en posant
Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de
2. La tangente
Équation de la tangente
Soient
De plus,
3. Fonction dérivée
Définition
Soit
On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de
Très souvent, la fonction
II – Tables de dérivation
1. Dérivées usuelles
Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :
Soit
Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |
---|---|---|
2. Opérations sur les dérivées
Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :
Soient deux fonctions
Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |
---|---|---|
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où |
3. Dérivées de composées
Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e.
Soit
Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |
---|---|---|
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où |
Il est cependant possible de donner une formule plus générale.
Dérivée d'une composée
Soient
III – Étude des variations d'une fonction
1. Lien dérivée - variations d'une fonction
Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.
Variations d'une fonction
Soit une fonction
- Si
sur , alors est strictement croissante sur . - Si
sur , alors est strictement décroissante sur . - Si
sur , alors est constante sur .
2. Extrema
Étude des extrema
Soient
- Si
admet un extremum local en , alors on a . - Si
et que le signe de est différent avant et après , alors est un extremum local de . - Si
et qu'on est négatif avant et positif après, cet extremum local est un minimum local. - Si
et qu'on est positif avant et négatif après, cet extremum local est un maximum local.