Qu’est-ce-qu’une dérivée ?

Nombre dérivé

Définition

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et deux réels aIa \in I et h0h \neq 0 tels que (a+h)I(a + h) \in I.

La fonction ff est dérivable en aa si la limite ci-dessous existe et est finie :

limh0f(a+h)f(a)h\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}

Ou en posant x=a+hx = a + h :

limxaf(x)f(a)xa\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de ff en aa, noté f(a)f'(a).

La tangente

Équation de la tangente

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et un réel aIa \in I. Si ff est dérivable en aa, alors la courbe représentative de ff admet une tangente T\mathcal{T} au point de coordonnées (a;f(a))(a; f(a)).

De plus, f(a)f'(a) est le coefficient directeur de T\mathcal{T}, et une équation de T\mathcal{T} est y=f(a)(xa)+f(a)y = f'(a)(x-a)+f(a).

Fonction dérivée

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II de R\mathbb{R}.

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de ff la fonction gg qui à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f(x)f'(x) (i.e. g(x)=f(x)g(x) = f'(x)).

Très souvent, la fonction gg sera notée ff'.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
λ\lambda 00 R\mathbb{R}
xnx^n avec nNn \in \mathbb{N}^* nxn1nx^{n-1} R\mathbb{R}
1x\displaystyle{\frac{1}{x}} 1x2\displaystyle{-\frac{1}{x^2}} R\mathbb{R}^*
x\sqrt{x} 12x\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}} R+\mathbb{R}^+_*
exe^x exe^x R\mathbb{R}
sin(x)\sin(x) cos(x)\cos(x) R\mathbb{R}
cos(x)\cos(x) sin(x)-\sin(x) R\mathbb{R}

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :

Soient deux fonctions uu et vv et soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
λ×u\lambda \times u λ×u\lambda \times u' En tout point où uu est dérivable.
u+vu + v u+vu' + v' En tout point où uu et vv sont dérivables.
u×vu \times v u×v+u×vu' \times v + u \times v' En tout point où uu et vv sont dérivables.
1v\displaystyle{\frac{1}{v}} vv2\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}} En tout point où vv est dérivable et non nulle.
uv\displaystyle{\frac{u}{v}} u×vu×vv2\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2} En tout point où uu et vv sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. ff de gg de xx) :

Soit uu une fonction.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
unu^n avec nNn \in \mathbb{N}^* nuun1nu'u^{n-1} En tout point où uu est dérivable.
1u\displaystyle{\frac{1}{u}} uu2\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}} En tout point où uu est dérivable et non nulle.
u\sqrt{u} u2u\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}} En tout point où uu est dérivable et strictement positive.
eue^u ueuu'e^u En tout point où uu est dérivable.
sin(u)\sin(u) ucos(u)u'\cos(u) En tout point où uu est dérivable.
cos(u)\cos(u) usin(u)-u'\sin(u) En tout point où uu est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient ff dérivable sur II et gg dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par ff sur II. On a alors (gf)=(gf)×f(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'.

Étude des variations d’une fonction

Lien dérivée - variations d’une fonction

Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction ff dérivable sur un intervalle II.

  • Si f>0f' > 0 sur II, alors ff est strictement croissante sur II.

  • Si f<0f' < 0 sur II, alors ff est strictement décroissante sur II.

  • Si f=0f' = 0 sur II, alors ff est constante sur II.

Extrema

Étude des extrema

Soient ff dérivable sur un intervalle II, et aIa \in I :

  • Si ff admet un extremum local en aa, alors on a f(a)=0f'(a) = 0.

  • Si f(a)=0f'(a) = 0 et que le signe de ff' est différent avant et après aa, alors f(a)f'(a) est un extremum local de ff.

  • Si f(a)=0f'(a) = 0 et qu’on est négatif avant aa et positif après, cet extremum local est un minimum local.

  • Si f(a)=0f'(a) = 0 et qu’on est positif avant aa et négatif après, cet extremum local est un maximum local.