Qu'est-ce-qu'une dérivée ?

Nombre dérivé

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq 0$ tels que $(a + h) \in I$.

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}$

Ou en posant $x = a + h$ :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

La tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $\mathcal{T}$ au point de coordonnées $(a; f(a))$.

De plus, $f'(a)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$, et une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.

Fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ (i.e. $g(x) = f'(x)$).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f'$.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit $\lambda$ une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
$\lambda$ $0$ $\mathbb{R}$
$x^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ $nx^{n-1}$ $\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$ $\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}$ $\mathbb{R^*}$
$\sqrt{x}$ $\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ $\mathbb{R^+_*}$
$e^x$ $e^x$ $\mathbb{R}$
$\sin(x)$ $\cos(x)$ $\mathbb{R}$
$\cos(x)$ $-\sin(x)$ $\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $\lambda$ une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
$\lambda \times u$ $\lambda \times u'$ En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$ $u' + v'$ En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$ $u' \times v + u \times v'$ En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\displaystyle{\frac{1}{v}}$ $\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}}$ En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\displaystyle{\frac{u}{v}}$ $\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$ En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. $f$ de $g$ de $x$) :

Soit $u$ une fonction.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
$u^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ $nu'u^{n-1}$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\displaystyle{\frac{1}{u}}$ $\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}}$ En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$\sqrt{u}$ $\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$ En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^u$ $u'e^u$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\sin(u)$ $u'\cos(u)$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\cos(u)$ $-u'\sin(u)$ En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$. On a alors $(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'$.

Étude des variations d'une fonction

Lien dérivée - variations d'une fonction

Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

  • Si $f' \gt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si $f' \lt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Extrema

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$, et $a \in I$ :

  • Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors on a $f'(a) = 0$.
  • Si $f'(a) = 0$ et que le signe de $f'$ est différent avant et après $a$, alors $f'(a)$ est un extremum local de $f$.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.