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Nombre dérivé

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq = 0$ tels que $(a + h) \in I$ .

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie : $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ Ou en posant $x = a + h$ : $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ .

Tangente en un point

Équation de la tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . Si $f$ est dérivable en $a$ , alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $T$ au point de coordonnées $(a; f (a))$ .

De plus, $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de $T$ , et une équation de $T$ est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $R$ .

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ (i.e. $g (x) = f^{'} (x)$ ).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f^{'}$ .

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soient $λ$ une constante réelle et $n$ un entier.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$x \mapsto λ$	$x \mapsto 0$	$R$
$x \mapsto x^{n}$	$x \mapsto n x^{n - 1}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto - \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x \mapsto x$	$x \mapsto \frac{1}{2 x}$	$R_{*}^{+}$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto sin (x)$	$x \mapsto cos (x)$	$R$
$x \mapsto cos (x)$	$x \mapsto - sin (x)$	$R$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $λ$ une constante réelle.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$λ \times u$	$λ \times u^{'}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$	$u^{'} \times v + u \times v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} \times v - u \times v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. $f$ de $g$ de $x$ ) :

Soit $u$ une fonction.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$u^{n}$ avec $n \in N^{*}$	$n u^{'} u^{n - 1}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$sin (u)$	$u^{'} cos (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.
$cos (u)$	$- u^{'} sin (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$ . On a alors $(g \circ f)^{'} = (g^{'} \circ f) \times f^{'}$ .

Lien dérivée - variations d’une fonction

Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Extrema

Étude des extrema

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , et $a \in I$ :

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors on a $f^{'} (a) = 0$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et que le signe de $f^{'}$ est différent avant et après $a$ , alors $f^{'} (a)$ est un extremum local de $f$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Nombre et fonction dérivés

Nombre dérivé

Définition

Tangente en un point

Équation de la tangente

Fonction dérivée

Définition

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Opérations sur les dérivées

Dérivées de composées

Dérivée d’une composée

Étude des variations d’une fonction

Lien dérivée - variations d’une fonction

Variations d’une fonction

Extrema

Étude des extrema