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Nombre et fonction dérivés

Nombre dérivé

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq = 0$ tels que $(a + h) \in I$ .

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie : $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ Ou en posant $x = a + h$ : $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ .

Tangente en un point

Équation de la tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . Si $f$ est dérivable en $a$ , alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $T$ au point de coordonnées $(a; f (a))$ .

De plus, $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de $T$ , et une équation de $T$ est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $R$ .

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ (i.e. $g (x) = f^{'} (x)$ ).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f^{'}$ .

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soient $λ$ une constante réelle et $n$ un entier.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$x \mapsto λ$	$x \mapsto 0$	$R$
$x \mapsto x^{n}$	$x \mapsto n x^{n - 1}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto - \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x \mapsto x$	$x \mapsto \frac{1}{2 x}$	$R_{*}^{+}$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto sin (x)$	$x \mapsto cos (x)$	$R$
$x \mapsto cos (x)$	$x \mapsto - sin (x)$	$R$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $λ$ une constante réelle.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$λ \times u$	$λ \times u^{'}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$	$u^{'} \times v + u \times v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} \times v - u \times v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. $f$ de $g$ de $x$ ) :

Soit $u$ une fonction.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$u^{n}$ avec $n \in N^{*}$	$n u^{'} u^{n - 1}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$sin (u)$	$u^{'} cos (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.
$cos (u)$	$- u^{'} sin (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$ . On a alors $(g \circ f)^{'} = (g^{'} \circ f) \times f^{'}$ .

Étude des variations d’une fonction

Lien dérivée - variations d’une fonction

Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Extrema

Étude des extrema

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , et $a \in I$ :

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors on a $f^{'} (a) = 0$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et que le signe de $f^{'}$ est différent avant et après $a$ , alors $f^{'} (a)$ est un extremum local de $f$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.