I – Qu'est-ce-qu'une dérivée ?

1. Nombre dérivé

Définition

Soient une fonction définie sur un intervalle et deux réels et tels que .

La fonction est dérivable en si la limite ci-dessous existe et est finie :

Ou en posant :

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de en , noté .

Limite d'une fonction

La notation veut simplement dire que l'on rend aussi proche de que possible (sans pour autant que soit égal à ). On dit que l'on fait tendre vers et on appelle cela une limite.

Attention ! Il arrive que cette limite n'existe pas ou ne soit pas finie. Dans ce cas-là n'existe pas et on dit que n'est pas dérivable en .

2. La tangente

Équation de la tangente

Soient une fonction définie sur un intervalle et un réel . Si est dérivable en , alors la courbe représentative de admet une tangente au point de coordonnées .

De plus, est le coefficient directeur de , et une équation de est .

Démonstration

3. Fonction dérivée

Définition

Soit une fonction dérivable sur un intervalle de .

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de la fonction qui à tout réel de , associe le nombre dérivé (i.e. ).

Très souvent, la fonction sera notée .

II – Tables de dérivation

1. Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit une constante réelle.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
avec

2. Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur certaines fonctions :

Soient deux fonctions et et soit une constante réelle.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
En tout point où est dérivable.
En tout point où et sont dérivables.
En tout point où et sont dérivables.
En tout point où est dérivable et non nulle.
En tout point où et sont dérivables et non nulles.

3. Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. de de ) :

Soit une fonction.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
avec En tout point où est dérivable.
En tout point où est dérivable et non nulle.
En tout point où est dérivable et strictement positive.
En tout point où est dérivable.
En tout point où est dérivable.
En tout point où est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d'une composée

Soient dérivable sur et dérivable sur l'ensemble des valeurs prises par sur . On a alors .

Fonction composée

On rappelle que la fonction est la fonction définie pour tout par .

III – Étude des variations d'une fonction

1. Lien dérivée - variations d'une fonction

Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d'une fonction

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

  • Si sur , alors est strictement croissante sur .
  • Si sur , alors est strictement décroissante sur .
  • Si sur , alors est constante sur .

2. Extrema

Étude des extrema

Soient dérivable sur un intervalle , et :

  • Si admet un extremum local en , alors on a .
  • Si et que le signe de est différent avant et après , alors est un extremum local de .
  • Si et qu'on est négatif avant et positif après, cet extremum local est un minimum local.
  • Si et qu'on est positif avant et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Avec ceci, il est possible de retrouver la plupart des formules que nous avons vues sur les fonctions du second degré (sens de variation, sommet de la parabole, ...).

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