Chapitre III – Dérivation

Niveau : Première Difficulté du cours :

Qu'est-ce-qu'une dérivée ?

Nombre dérivé

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq 0$ tels que $(a + h) \in I$.

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}$

Ou en posant $x = a + h$ :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$ noté $f'(a)$.

La notation $\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}}}$ veut simplement dire que l'on rend $h$ aussi proche de $0$ que possible (sans pour autant que $h$ soit égal à $0$). On dit que l'on fait tendre $h$ vers $0$ et on appelle cela une limite.

Attention ! Il arrive que cette limite n'existe pas ou ne soit pas finie. Dans ce cas là, $f'(a)$ n'existe pas et on dit que $f$ n'est pas dérivable en $a$.

La tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $\mathcal{T}$ au point de coordonnées $(a; f(a))$. $f'(a)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$, et une équation de $\mathcal{T}$ est :

$y = f'(a)(x-a)+f(a)$

La tangente $\mathcal{T}$ en un point d'une courbe est une droite. Une équation de droite est de la forme $y = mx + p$ avec $m$ le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.

On a déjà le coefficient directeur de $\mathcal{T}$ par la propriété précédente : $m = f'(a)$. De plus, on sait que $\mathcal{T}$ passe par le point $(a, f(a))$ (car c'est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$).

Donc l'équation de droite vérifie $f(a) = f'(a)a + p$. Ce qui donne $p = f(a) - af'(a)$.
Au final notre équation est la suivante : $y = xf'(a) + f(a) - af'(a) \iff y = f(a) + (x - a)f'(a)$.

Fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Alors on appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ suivante :

Pour tout $x \in I$, $g(x) = f'(x)$ (à tout réel $x$ de $I$, $g$ y associe le nombre dérivé $f'(x)$)

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f'$.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
$\lambda$ $0$ $\mathbb{R}$
$x^n$
$n \in \mathbb{N}^*$
$nx^{n-1}$ $\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$ $\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}$ $\mathbb{R^*}$
$\sqrt{x}$ $\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ $\mathbb{R^+_*}$
$e^x$ $e^x$ $\mathbb{R}$
$\sin(x)$ $\cos(x)$ $\mathbb{R}$
$\cos(x)$ $-\sin(x)$ $\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions $u$ et $v$ :

Fonction Dérivée
$\lambda \times u$ $\lambda \times u'$
$u + v$ $u' + v'$
$u \times v$ $u' \times v + u \times v'$
$\displaystyle{\frac{1}{v}}$ (avec $v \neq 0$) $\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}}$
$\displaystyle{\frac{u}{v}}$ (avec $v \neq 0$) $\displaystyle{\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2}}$

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles (i.e. $f$ de $g$ de $x$) :

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
$u^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ $nu'u^{n-1}$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\displaystyle{\frac{1}{u}}$ $\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}}$ En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$\sqrt{u}$ $\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$ En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^u$ $u'e^u$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\sin(u)$ $u'\cos(u)$ En tout point où $u$ est dérivable.
$\cos(u)$ $-u'\sin(u)$ En tout point où $u$ est dérivable.

De manière générale, soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $f(I)$. On a alors :

$(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'$

Étude des variations d'une fonction

Lien dérivée - variations d'une fonction

Avec le signe de la dérivée, il est possible d'obtenir le sens de variation de la fonction. Pour une fonction $f$ dérivable sur $I$ et de dérivée $f'$ :

  • Si $f' \gt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si $f' \lt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Extrema

Soient $f$ dérivable sur $I$ de dérivée $f'$, et $a \in I$ :

  • Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors on a $f'(a) = 0$.
  • Si $f'(a) = 0$ et que le signe de $f'$ est différent avant et après $a$, alors $f'(a)$ est un extremum local de $f$.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Avec ceci, il est possible de retrouver la plupart des formules que nous avons vu sur les fonctions du second degré (sens de variation, sommet de la parabole, ...).

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