I – Qu'est-ce qu'une fonction polynômiale du second degré ?

1. Définition

Définition

Soit une fonction. est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme avec , et réels qui sont les coefficients de .

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d'arrivée mais il faut savoir qu'il est possible d'en prendre d'autres.

2. Représentation graphique

Parabole

Soit une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de (notée ) est une parabole.

Parité d'une fonction

On voit sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : la fonction représentée est paire (i.e. pour tout , ).

Inversement si une fonction est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, elle est dite impaire (i.e. pour tout , ).

Chaque coefficient d'une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit de la forme (avec , et réels). Alors on a que :

  • et contrôlent l'allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
  • contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

Rien que le signe de peut changer toute l'allure de la courbe :

  • Si , la fonction est décroissante puis croissante.
  • Si , la fonction est croissante puis décroissante.

II – Recherche de racines

1. Qu'est-ce qu'une racine ?

Définition

Soient une fonction polynômiale du second degré et . On dit que est une racine de si .

Autrement dit, résoudre l'équation revient à rechercher les racines de . Pour cela il existe beaucoup de méthodes et nous en détaillerons certaines par la suite.

2. Discriminant

Définition

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) . On appelle discriminant de le réel suivant : .

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de :

  • Si alors n'admet pas de racine réelle.
  • Si alors admet une unique racine réelle : .
  • Si alors admet deux racines réelles : et .

Exemple

Résolvons l'équation pour .

On a . Il s'agit en fait de chercher les racines de la fonction du second degré définie pour tout par .

On identifie les coefficients : , et ; puis on calcule le discriminant .

Comme , on a deux racines réelles :

et .

Donc l'ensemble des solutions est .

3. Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels). On note l'ensemble des diviseurs de et l'ensemble des diviseurs de . Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de , on calcule pour tout et , jusqu'à tomber sur .

Exemple

Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction définie sur par .

On a ici , et ; la liste des diviseurs de est : et .

La liste des diviseurs de est : , , , , et .

Il ne reste qu'à tester :

Une racine !

Une racine !

On a deux racines rationnelles : et .

Pas besoin d'aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n'admet que deux racines maximum.

Signalons de plus que l'on aurait pu s'arrêter après avoir trouvé la première racine car est une fonction paire.

4. Somme et produit de racines

Relations

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) admettant deux racines réelles et . Alors :

  • La somme des racines vaut également .
  • Le produit des racines vaut également .

Exemple

Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes !

Par exemple, cherchons les solutions de l'équation .

Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour tout par .

On a , et . Avec la méthode des racines évidentes, on trouve une racine .

Or, on a . La deuxième racine vaut aussi .

On dit que est racine double.

5. Forme factorisée

Définition

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) admettant deux racines réelles et . Alors :

admet une forme factorisée qui vaut pour tout .

Exemple

Chercher les racines de la fonction définie pour tout par .

Avec une identité remarquable, on factorise : .

Cela correspond à la forme factorisée de et elle nous permet d'en déduire que est une racine double de .

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si , alors et sont racines.

III – Étude des fonctions polynômiales du second degré

1. Signe

Signe d'une fonction du second degré

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) admettant deux racines réelles et . On suppose ici que , alors :

  • Si : sur et sur .
  • Si : sur et sur .

Si ou si n'admet pas de racine, alors est du signe de .

2. Variations

Forme canonique

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels), alors pour tout , on peut écrire de la forme :

avec et .

Cette forme est appelée forme canonique de et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit le sommet de la parabole . Alors les coordonnées de sont .

Si , ce sommet est un maximum et si , ce sommet est un minimum.

Cela veut tout simplement dire que :

  • Si , le maximum de est atteint en et vaut (donc pour tout , ).
  • Si , le minimum de est atteint en et vaut (donc pour tout , ).

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction .

Sens de variation

  • Si : est strictement croissante sur et est strictement décroissante sur .
  • Si : est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur .

3. Axe de symétrie

Axe de symétrie

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels). On note sa courbe représentative. Alors :

possède un axe de symétrie : la droite d'équation .

En fait, est juste la droite verticale passant par le sommet de la parabole.

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