Chapitre II – Les polynômes du second degré

Niveau : Première Difficulté du cours :

Qu'est-ce-qu'une fonction polynômiale du second degré ?

Définition

On appelle fonction polynômiale du second degré (ou encore fonction du second degré) une fonction $f$ de la forme :

$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$.

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d'arrivée $\mathbb{R}$ mais il faut savoir qu'il est possible d'en prendre d'autres.

Représentation graphique

Soit $f$ une fonction polynômiale. Alors :

La courbe représentative de $f$ (notée $\mathcal{C}_f$) est une parabole.

On sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : la fonction $f$ représentée est paire (i.e. pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = f(x)$).

Inversement si une fonction $f$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, elle est dite impaire (i.e. pour tout $x \in D_f$, $-f(x) = f(x)$).

Chaque coefficient de $f$ a un rôle dans le tracé de la parabole. Ainsi si $f$ est de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) :

  • $a$ contrôle l'allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
  • $b$ contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.
  • $c$ contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

Rien que le signe de $a$ peut changer toute l'allure de la courbe :

  • Si $a \lt 0$, la fonction est décroissante puis croissante.
  • Si $a \gt 0$, la fonction est croissante puis décroissante.

Recherche de racines

Qu'est-ce qu'une racine ?

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0 \in \mathbb{R}$ :

On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0) = 0$.

Autrement dit, résoudre l'équation $f(x) = 0$ revient à rechercher les racines de $f$. Pour cela il existe beaucoup de méthodes et nous en détaillerons certaines par la suite.

Discriminant

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels), on appelle discriminant de $f$ le réel suivant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

  • Si $\Delta \lt 0$ alors $f$ n'admet pas de racine réelle.
  • Si $\Delta = 0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}$.
  • Si $\Delta \gt 0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $x_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$.

Exemple : Résoudre l'équation $x^2 = 4$ pour $x \in \mathbb{R}$.

On a $x^2 = 4 \iff x^2 - 4 = 0$. Il s'agit en fait de chercher les racines de la fonction du second degré définie pour $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$.
On identifie les coefficients : $a = 1$, $b = 0$ et $c = -4$ ; puis on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \times 1 \times -4 = 16$.

Comme $\Delta \gt 0$, on a deux racines réelles :

$\displaystyle{x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4}{2} = -2}$
$\displaystyle{x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4}{2} = 2}$

D'où $S = \{-2; 2\}$.

Racines évidentes

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l'ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l'ensemble des diviseurs de $a$. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$, on calcule $\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)}$ (avec $p \in D_c$ et $q \in D_a$) jusqu'à tomber sur $0$.

Exemple : Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^2 - 1$.

On a ici $a = 2$, $b = 0$ et $c = -1$ ; la liste des diviseurs de $c$ est : $-1$ et $1$.
La liste des diviseurs de $a$ est : $4$, $2$, $1$, $-1$, $-2$ et $-4$.

Il ne reste qu'à tester :

$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{-4}\right) \neq 0}$
$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{-2}\right)=0}$ Une racine !
$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{1}\right)=f(-1) \neq 0}$
$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-1}\right)=f(1) \neq 0}$
$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0}$ Une racine !

On a deux racines rationnelles : $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ et $\displaystyle{\frac{1}{2}}$. Pas besoin d'aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n'admet que deux racines maximum.

Somme et produit de racines

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

  • La somme $S = x_1 + x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$.
  • Le produit $P = x_1 \times x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{\frac{c}{a}}$.

Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes !

Par exemple, cherchons les solutions de l'équation $x^2 + 2x + 1 = 0$.

Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 1$.

On a $a = 1$, $b = 2$ et $c = 1$. Avec la méthode des racines évidentes, on trouve une racine $x_1 = -1$.

Or, on a $\displaystyle{x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \iff x_2 = -1}$. La deuxième racine vaut aussi $-1$.

On dit que $-1$ est racine double.

Forme factorisée

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors $f$ admet une forme factorisée :

$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

Exemple : Chercher les racines de la fonction définie pour $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 9$.

Avec une identité remarquable, on factorise $f$ : $f(x) = (x - 3)^2$.

Cela correspond à la forme factorisée de $f$ et elle nous permet d'en déduire que $3$ est une racine double de $f$.

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si $c = 0$, alors $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ et $0$ sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. On suppose ici que $x_1 \lt x_2$, alors :

  • Si $a \lt 0$ : $f(x) \lt 0$ sur $]-\infty; x_1[ \cup ]x_2; +\infty[$ et $f(x) \gt 0$ sur $]x_1; x_2[$.
  • Si $a \gt 0$ : $f(x) \gt 0$ sur $]-\infty; x_1[ \cup ]x_2; +\infty[$ et $f(x) \lt 0$ sur $]x_1; x_2[$.

Si $x_1 = x_2$ ou si $f$ n'admet pas de racine, alors $f$ est du signe de $a$.

Variations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x \in \mathbb{R}$, on peut écrire $f$ de la forme :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}}$ et $\beta = f(\alpha)$.

Cette forme est appelée forme canonique de $f$. Avec cette forme on peut trouver le sommet $S$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ :

Les coordonnées de $S$ sont $(\alpha, \beta)$.
Si $a \lt 0$, ce sommet est un maximum et si $a \gt 0$, ce sommet est un minimum.

Cela veut tout simplement dire que :

  • Si $a \lt 0$, le maximum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq \beta$).
  • Si $a \gt 0$, le minimum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \geq \beta$).

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction $f$ :

  • Si $a \lt 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha; +\infty]$.
  • Si $a \gt 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement croissante sur $]\alpha; +\infty]$.

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels). On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Alors :

$\mathcal{C}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d'équation $\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}$.

En fait, $\mathcal{D}$ est juste la droite verticale passant par le sommet de la parabole.

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