Première > Chapitre II – Les polynômes du second degré

Fonctions polynômiales du second degré ?

Définition

Soit $f$ une fonction. $f$ est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$ .

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d’arrivée $\mathbb{R}$ mais il faut savoir qu’il est possible d’en prendre d’autres.

Représentation graphique

Parabole

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de $f$ (notée $\mathcal{C}_f$ ) est une parabole.

Parité d’une fonction

On voit sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : la fonction $f$ représentée est paire (i.e. pour tout $x \in D_f$ , $f(-x) = f(x)$ ).

Inversement si une fonction $f$ est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, elle est dite impaire (i.e. pour tout $x \in D_f$ , $-f(x) = f(x)$ ).

Chaque coefficient d’une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit $f$ de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). Alors on a :

$a$ et $b$ contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
$c$ contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Rien que le signe de $a$ peut changer toute l’allure de la courbe :

Si $a < 0$ , la fonction est croissante puis décroissante.
Si $a > 0$ , la fonction est décroissante puis croissante.

Recherche de racines

Qu’est-ce qu’une racine ?

Définition

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0 \in \mathbb{R}$ . On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0) = 0$ .

Autrement dit, résoudre l’équation $f(x) = 0$ revient à rechercher les racines de $f$ . Pour cela il existe beaucoup de méthodes et nous en détaillerons certaines par la suite.

Discriminant

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On appelle discriminant de $f$ le réel suivant : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

Si $\Delta < 0$ alors $f$ n’admet pas de racine réelle.
Si $\Delta = 0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}$ .
Si $\Delta > 0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $x_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$ .

Exemple

Résolvons l’équation $x^2 = 4$ pour $x \in \mathbb{R}$ .

On a $x^2 = 4 \iff x^2 - 4 = 0$ . Il s’agit en fait de chercher les racines de la fonction du second degré définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$ . On identifie les coefficients : $a = 1$ , $b = 0$ et $c = -4$ ; puis on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \times 1 \times -4 = 16$ .

Comme $\Delta > 0$ , on a deux racines réelles : $\displaystyle{x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -2}$ et $\displaystyle{x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 2}$ .

Donc l’ensemble des solutions est $S = \{-2; 2\}$ .

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l’ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l’ensemble des diviseurs de $a$ . Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$ , on calcule $\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)}$ pour tout $p \in D_c$ et $q \in D_a$ , jusqu’à tomber sur $0$ .

Exemple

Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^2 - 1$ .

On a ici $a = 4$ , $b = 0$ et $c = -1$ ; la liste des diviseurs de $c$ est : $-1$ et $1$ . La liste des diviseurs de $a$ est : $4$ , $2$ , $1$ , $-1$ , $-2$ et $-4$ . Il ne reste qu’à tester :

$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{-4}\right) \neq 0}$ $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{-2}\right)=0}$ Une racine ! $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{1}\right)=f(-1) \neq 0}$ $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-1}\right)=f(1) \neq 0}$ $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0}$ Une racine !

On a deux racines rationnelles : $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ et $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .

Pas besoin d’aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n’admet que deux racines maximum.

Signalons de plus que l’on aurait pu s’arrêter après avoir trouvé la première racine car $f$ est une fonction paire.

Somme et produit de racines

Relations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Alors :

La somme $S = x_1 + x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ .
Le produit $P = x_1 \times x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{\frac{c}{a}}$ .

Exemple

Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes ! Par exemple, cherchons les solutions de l’équation $x^2 + 2x + 1 = 0$ .

Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 1$ .

On a $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 1$ . Avec la méthode des racines évidentes, on trouve une racine $x_1 = -1$ .

Or, on a $\displaystyle{x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \iff x_2 = -1}$ . La deuxième racine vaut aussi $-1$ .

On dit que $-1$ est racine double.

Forme factorisée

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Alors :

$f$ admet une forme factorisée qui vaut $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Exemple

Chercher les racines de la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 9$ .

Avec une identité remarquable, on factorise $f$ : $f(x) = (x - 3)^2$ .

Cela correspond à la forme factorisée de $f$ et elle nous permet d’en déduire que $3$ est une racine double de $f$ .

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si $c = 0$ , alors $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ et $0$ sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . On suppose ici que $x_1 < x_2$ , alors :

Si $a < 0$ : $f(x) < 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) > 0$ sur $]x_1; x_2[$ .
Si $a > 0$ : $f(x) > 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]x_1; x_2[$ .

Si $x_1 = x_2$ ou si $f$ n’admet pas de racine, alors $f$ est du signe de $a$ .

Variations

Forme canonique

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on peut écrire $f$ de la forme :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

Cette forme est appelée forme canonique de $f$ et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit $S$ le sommet de la parabole $\mathcal{C}_f$ . Alors les coordonnées de $S$ sont $(\alpha, \beta)$ . Si $a < 0$ , ce sommet est un maximum et si $a > 0$ , ce sommet est un minimum.

Cela veut tout simplement dire que :

Si $a < 0$ , le maximum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) \leq \beta$ ).
Si $a > 0$ , le minimum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) \geq \beta$ ).

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction $f$ .

Sens de variation

Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha; +\infty]$ .
Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement croissante sur $]\alpha; +\infty]$ .

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Alors :

$\mathcal{C}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d’équation $\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}$ .

En fait, $\mathcal{D}$ est juste la droite verticale passant par le sommet de la parabole.

Fonctions polynômiales du second degré ?

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Parabole

Parité d’une fonction

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Recherche de racines

Qu’est-ce qu’une racine ?

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Exemple

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Exemple

Somme et produit de racines

Relations

Exemple

Forme factorisée

Définition

Exemple

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Variations

Forme canonique

Sommet de la parabole

Sens de variation

Axe de symétrie

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