Première > Chapitre II – Les polynômes du second degré

Fonctions polynômiales du second degré ?

Définition

Soit $f$ une fonction. $f$ est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$ .

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d’arrivée $\mathbb{R}$ mais il faut savoir qu’il est possible d’en prendre d’autres.

Représentation graphique

Parabole

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de $f$ (notée $\mathcal{C}_f$ ) est une parabole.

Parité d’une fonction

On voit sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : la fonction $f$ représentée est paire (i.e. pour tout $x \in D_f$ , $f(-x) = f(x)$ ).

Inversement si une fonction $f$ est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, elle est dite impaire (i.e. pour tout $x \in D_f$ , $-f(x) = f(x)$ ).

Chaque coefficient d’une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit $f$ de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). Alors on a :

$a$ et $b$ contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
$c$ contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Rien que le signe de $a$ peut changer toute l’allure de la courbe :

Si $a < 0$ , la fonction est croissante puis décroissante.
Si $a > 0$ , la fonction est décroissante puis croissante.

Recherche de racines

Qu’est-ce qu’une racine ?

Définition

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0 \in \mathbb{R}$ . On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0) = 0$ .

Autrement dit, résoudre l’équation $f(x) = 0$ revient à rechercher les racines de $f$ . Pour cela il existe beaucoup de méthodes et nous en détaillerons certaines par la suite.

Discriminant

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On appelle discriminant de $f$ le réel suivant : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

Si $\Delta < 0$ alors $f$ n’admet pas de racine réelle.
Si $\Delta = 0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}$ .
Si $\Delta > 0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $x_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$ .

Exemple

Résolvons l’équation $x^2 = 4$ pour $x \in \mathbb{R}$ .

On a $x^2 = 4 \iff x^2 - 4 = 0$ . Il s’agit en fait de chercher les racines de la fonction du second degré définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$ . On identifie les coefficients : $a = 1$ , $b = 0$ et $c = -4$ ; puis on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \times 1 \times -4 = 16$ .

Comme $\Delta > 0$ , on a deux racines réelles : $\displaystyle{x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -2}$ et $\displaystyle{x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 2}$ .

Donc l’ensemble des solutions est $S = \{-2; 2\}$ .

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l’ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l’ensemble des diviseurs de $a$ . Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$ , on calcule $\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)}$ pour tout $p \in D_c$ et $q \in D_a$ , jusqu’à tomber sur $0$ .

Exemple

Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^2 - 1$ .

On a ici $a = 4$ , $b = 0$ et $c = -1$ ; la liste des diviseurs de $c$ est : $-1$ et $1$ . La liste des diviseurs de $a$ est : $4$ , $2$ , $1$ , $-1$ , $-2$ et $-4$ . Il ne reste qu’à tester :

$\displaystyle{f\left(\frac{-1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{-4}\right) \neq 0}$ $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{-2}\right)=0}$ Une racine ! $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{1}\right)=f(-1) \neq 0}$ $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-1}\right)=f(1) \neq 0}$ $\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0}$ Une racine !

On a deux racines rationnelles : $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ et $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .

Pas besoin d’aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n’admet que deux racines maximum.

Signalons de plus que l’on aurait pu s’arrêter après avoir trouvé la première racine car $f$ est une fonction paire.

Somme et produit de racines

Relations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Alors :

La somme $S = x_1 + x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ .
Le produit $P = x_1 \times x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{\frac{c}{a}}$ .

Exemple

Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes ! Par exemple, cherchons les solutions de l’équation $x^2 + 2x + 1 = 0$ .

Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 2x + 1$ .

On a $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 1$ . Avec la méthode des racines évidentes, on trouve une racine $x_1 = -1$ .

Or, on a $\displaystyle{x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \iff x_2 = -1}$ . La deuxième racine vaut aussi $-1$ .

On dit que $-1$ est racine double.

Forme factorisée

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Alors :

$f$ admet une forme factorisée qui vaut $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Exemple

Chercher les racines de la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 9$ .

Avec une identité remarquable, on factorise $f$ : $f(x) = (x - 3)^2$ .

Cela correspond à la forme factorisée de $f$ et elle nous permet d’en déduire que $3$ est une racine double de $f$ .

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si $c = 0$ , alors $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ et $0$ sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . On suppose ici que $x_1 < x_2$ , alors :

Si $a < 0$ : $f(x) < 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) > 0$ sur $]x_1; x_2[$ .
Si $a > 0$ : $f(x) > 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]x_1; x_2[$ .

Si $x_1 = x_2$ ou si $f$ n’admet pas de racine, alors $f$ est du signe de $a$ .

Variations

Forme canonique

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on peut écrire $f$ de la forme :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

Cette forme est appelée forme canonique de $f$ et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit $S$ le sommet de la parabole $\mathcal{C}_f$ . Alors les coordonnées de $S$ sont $(\alpha, \beta)$ . Si $a < 0$ , ce sommet est un maximum et si $a > 0$ , ce sommet est un minimum.

Cela veut tout simplement dire que :

Si $a < 0$ , le maximum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) \leq \beta$ ).
Si $a > 0$ , le minimum de $f$ est atteint en $\alpha$ et vaut $\beta$ (donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) \geq \beta$ ).

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction $f$ .

Sens de variation

Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha; +\infty]$ .
Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement croissante sur $]\alpha; +\infty]$ .

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Alors :

$\mathcal{C}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d’équation $\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}$ .

En fait, $\mathcal{D}$ est juste la droite verticale passant par le sommet de la parabole.

Chapitre II – Les polynômes du second degré

Fonctions polynômiales du second degré ?

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Parabole

Parité d’une fonction

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Recherche de racines

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Racines évidentes

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Somme et produit de racines

Relations

Exemple

Forme factorisée

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Exemple

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Signe

Signe d’une fonction du second degré

Variations

Forme canonique

Sommet de la parabole

Sens de variation

Axe de symétrie

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