I – Qu'est-ce qu'une fonction polynômiale du second degré ?
1. Définition
Définition
Soit
En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d'arrivée
2. Représentation graphique
Parabole
Soit
Parité d'une fonction
On voit sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : la fonction
Inversement si une fonction
Chaque coefficient d'une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.
Rôle des coefficients dans la représentation graphique
Soit
et contrôlent l'allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...). contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
Rien que le signe de
- Si
, la fonction est décroissante puis croissante. - Si
, la fonction est croissante puis décroissante.
II – Recherche de racines
1. Qu'est-ce qu'une racine ?
Définition
Soient
Autrement dit, résoudre l'équation
2. Discriminant
Définition
Soit
Propriétés
Plusieurs propriétés découlent du signe de
- Si
alors n'admet pas de racine réelle. - Si
alors admet une unique racine réelle : . - Si
alors admet deux racines réelles : et .
Exemple
Résolvons l'équation
On a
On identifie les coefficients :
Comme
Donc l'ensemble des solutions est
3. Racines évidentes
Recherche des racines rationnelles
Soit
Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de
Exemple
Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction
On a ici
La liste des diviseurs de
Il ne reste qu'à tester :
On a deux racines rationnelles :
Pas besoin d'aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n'admet que deux racines maximum.
Signalons de plus que l'on aurait pu s'arrêter après avoir trouvé la première racine car
4. Somme et produit de racines
Relations
Soit
- La somme
des racines vaut également . - Le produit
des racines vaut également .
Exemple
Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes !
Par exemple, cherchons les solutions de l'équation
Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour tout
On a
Or, on a
On dit que
5. Forme factorisée
Définition
Soit
Exemple
Chercher les racines de la fonction définie pour tout
Avec une identité remarquable, on factorise
Cela correspond à la forme factorisée de
Une propriété découle immédiatement de cette méthode :
Si
III – Étude des fonctions polynômiales du second degré
1. Signe
Signe d'une fonction du second degré
Soit
- Si
: sur et sur . - Si
: sur et sur .
Si
2. Variations
Forme canonique
Soit
Cette forme est appelée forme canonique de
Sommet de la parabole
Soit
Si
Cela veut tout simplement dire que :
- Si
, le maximum de est atteint en et vaut (donc pour tout , ). - Si
, le minimum de est atteint en et vaut (donc pour tout , ).
Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction
Sens de variation
- Si
: est strictement croissante sur et est strictement décroissante sur . - Si
: est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur .
3. Axe de symétrie
Axe de symétrie
Soit
En fait,