Fonctions polynômiales du second degré ?

Définition

Définition

Soit ff une fonction. ff est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme f:xax2+bx+cf : x \mapsto ax^2 + bx + c avec a0a \neq 0, bb et cc réels qui sont les coefficients de ff.

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d’arrivée R\mathbb{R} mais il faut savoir qu’il est possible d’en prendre d’autres.

Représentation graphique

Parabole

Soit ff une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de ff (notée Cf\mathcal{C}_f) est une parabole.

Parité d’une fonction

On voit sur la représentation ci-dessus que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : la fonction ff représentée est paire (i.e. pour tout xDfx \in D_f, f(x)=f(x)f(-x) = f(x)).

Inversement si une fonction ff est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, elle est dite impaire (i.e. pour tout xDfx \in D_f, f(x)=f(x)-f(x) = f(x)).

Chaque coefficient d’une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit ff de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). Alors on a :

  • aa et bb contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).

  • cc contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Rien que le signe de aa peut changer toute l’allure de la courbe :

  • Si a<0a < 0, la fonction est croissante puis décroissante.

  • Si a>0a > 0, la fonction est décroissante puis croissante.

Recherche de racines

Qu’est-ce qu’une racine ?

Définition

Soient ff une fonction polynômiale du second degré et x0Rx_0 \in \mathbb{R}. On dit que x0x_0 est une racine de ff si f(x0)=0f(x_0) = 0.

Autrement dit, résoudre l’équation f(x)=0f(x) = 0 revient à rechercher les racines de ff. Pour cela il existe beaucoup de méthodes et nous en détaillerons certaines par la suite.

Discriminant

Définition

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On appelle discriminant de ff le réel suivant : Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac.

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de Δ\Delta :

  • Si Δ<0\Delta < 0 alors ff n’admet pas de racine réelle.

  • Si Δ=0\Delta = 0 alors ff admet une unique racine réelle : x0=b2ax_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}.

  • Si Δ>0\Delta > 0 alors ff admet deux racines réelles : x1=bΔ2ax_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}} et x2=b+Δ2ax_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}.

Exemple

Résolvons l’équation x2=4x^2 = 4 pour xRx \in \mathbb{R}.

On a x2=4    x24=0x^2 = 4 \iff x^2 - 4 = 0. Il s’agit en fait de chercher les racines de la fonction du second degré définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=x24f(x) = x^2 - 4. On identifie les coefficients : a=1a = 1, b=0b = 0 et c=4c = -4 ; puis on calcule le discriminant Δ=b24ac=04×1×4=16\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \times 1 \times -4 = 16.

Comme Δ>0\Delta > 0, on a deux racines réelles : x1=bΔ2a=2\displaystyle{x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -2} et x2=b+Δ2a=2\displaystyle{x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = 2}.

Donc l’ensemble des solutions est S={2;2}S = \{-2; 2\}.

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On note DcD_c l’ensemble des diviseurs de cc et DaD_a l’ensemble des diviseurs de aa. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de ff, on calcule f(pq)\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)} pour tout pDcp \in D_c et qDaq \in D_a, jusqu’à tomber sur 00.

Exemple

Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x21f(x) = 4x^2 - 1.

On a ici a=4a = 4, b=0b = 0 et c=1c = -1 ; la liste des diviseurs de cc est : 1-1 et 11. La liste des diviseurs de aa est : 44, 22, 11, 1-1, 2-2 et 4-4. Il ne reste qu’à tester :

f(14)=f(14)0\displaystyle{f\left(\frac{-1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{-4}\right) \neq 0} f(12)=f(12)=0\displaystyle{f\left(\frac{-1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{-2}\right)=0} Une racine ! f(11)=f(1)0\displaystyle{f\left(\frac{-1}{1}\right)=f(-1) \neq 0} f(11)=f(1)0\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-1}\right)=f(1) \neq 0} f(12)=f(12)=0\displaystyle{f\left(\frac{-1}{-2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0} Une racine !

On a deux racines rationnelles : 12\displaystyle{-\frac{1}{2}} et 12\displaystyle{\frac{1}{2}}.

Pas besoin d’aller plus loin car on a trouvé deux racines et un polynôme du second degré n’admet que deux racines maximum.

Signalons de plus que l’on aurait pu s’arrêter après avoir trouvé la première racine car ff est une fonction paire.

Somme et produit de racines

Relations

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. Alors :

  • La somme S=x1+x2S = x_1 + x_2 des racines vaut également ba\displaystyle{-\frac{b}{a}}.

  • Le produit P=x1×x2P = x_1 \times x_2 des racines vaut également ca\displaystyle{\frac{c}{a}}.

Exemple

Il peut être très utile de combiner cette méthode avec celle des racines évidentes ! Par exemple, cherchons les solutions de l’équation x2+2x+1=0x^2 + 2x + 1 = 0.

Il faut donc chercher les racines de la fonction de degré 2 définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=x2+2x+1f(x) = x^2 + 2x + 1.

On a a=1a = 1, b=2b = 2 et c=1c = 1. Avec la méthode des racines évidentes, on trouve une racine x1=1x_1 = -1.

Or, on a x1×x2=ca    x2=1\displaystyle{x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \iff x_2 = -1}. La deuxième racine vaut aussi 1-1.

On dit que 1-1 est racine double.

Forme factorisée

Définition

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. Alors :

ff admet une forme factorisée qui vaut f(x)=a(xx1)(xx2)f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) pour tout xRx \in \mathbb{R}.

Exemple

Chercher les racines de la fonction définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=x26x+9f(x) = x^2 - 6x + 9.

Avec une identité remarquable, on factorise ff : f(x)=(x3)2f(x) = (x - 3)^2.

Cela correspond à la forme factorisée de ff et elle nous permet d’en déduire que 33 est une racine double de ff.

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si c=0c = 0, alors ba\displaystyle{-\frac{b}{a}} et 00 sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. On suppose ici que x1<x2x_1 < x_2, alors :

  • Si a<0a < 0 : f(x)<0f(x) < 0 sur ];x1[]x2;+[]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[ et f(x)>0f(x) > 0 sur ]x1;x2[]x_1; x_2[.

  • Si a>0a > 0 : f(x)>0f(x) > 0 sur ];x1[]x2;+[]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[ et f(x)<0f(x) < 0 sur ]x1;x2[]x_1; x_2[.

Si x1=x2x_1 = x_2 ou si ff n’admet pas de racine, alors ff est du signe de aa.

Variations

Forme canonique

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels), alors pour tout xRx \in \mathbb{R}, on peut écrire ff de la forme :

f(x)=a(xα)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta avec α=b2a\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}} et β=f(α)\beta = f(\alpha).

Cette forme est appelée forme canonique de ff et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit SS le sommet de la parabole Cf\mathcal{C}_f. Alors les coordonnées de SS sont (α,β)(\alpha, \beta). Si a<0a < 0, ce sommet est un maximum et si a>0a > 0, ce sommet est un minimum.

Cela veut tout simplement dire que :

  • Si a<0a < 0, le maximum de ff est atteint en α\alpha et vaut β\beta (donc pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)βf(x) \leq \beta).

  • Si a>0a > 0, le minimum de ff est atteint en α\alpha et vaut β\beta (donc pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)βf(x) \geq \beta).

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction ff.

Sens de variation

  • Si a<0a < 0 : ff est strictement croissante sur ];α]]-\infty; \alpha] et est strictement décroissante sur ]α;+]]\alpha; +\infty].

  • Si a>0a > 0 : ff est strictement décroissante sur ];α]]-\infty; \alpha] et est strictement croissante sur ]α;+]]\alpha; +\infty].

Axe de symétrie

Axe de symétrie

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative. Alors :

Cf\mathcal{C}_f possède un axe de symétrie : la droite D\mathcal{D} d’équation x=b2a\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}.

En fait, D\mathcal{D} est juste la droite verticale passant par le sommet de la parabole.

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Skyost Modérateur

Il s'agit tout simplement d'une petite coquille de ma part, merci beaucoup de l'avoir signalée !

15/10/2020 16:12:07
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belougatousblanc

Utilisons cette méthode pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de la fonction f définie sur R par f(x)=4x2−1 . On a ici a=2 , b=0 et c=−1 pourquoi A vaut 2 dans cette exemple et pas 4 ? merci d'avance

14/10/2020 20:49:58
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Skyost Modérateur

Il est possible de résoudre ce genre d'équations à l'aide de la méthode du discriminant (cf. le cours) ; c'est la plus simple et elle marche à tous les coups : 1. On calcule le discriminant Δ=b²-4ac=0-4x9x(-36)=1296. 2. Δ>0 donc l'équation admet deux solutions réelles : x=(-b-racine(Δ))/(2a)=-36/18=-2 et y=(-b+racine(Δ))/(2a)=36/18=2 3. Et voilà ! Les solutions de l'équation sont -2 et 2. À signaler que l'on peut utiliser beaucoup d'autres méthodes (dans le cas présent, il est possible de la résoudre "directement" par exemple).

23/06/2020 17:05:46
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Anonyme

Je trouve pas un exemple de l'équation 9x^2-36 =0 par exemple

23/06/2020 12:19:51
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Anonyme

Vraiment super. merci

05/04/2020 18:43:55