Qu'est-ce qu'une fonction polynômiale du second degré ?

Définition

Soit $f$ une fonction. $f$ est une fonction polynômiale si elle est de la forme $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$.

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d'arrivée $\mathbb{R}$ mais il faut savoir qu'il est possible d'en prendre d'autres.

Représentation graphique

Soit $f$ une fonction polynômiale. Alors la courbe représentative de $f$ (notée $\mathcal{C}_f$) est une parabole.

Chaque coefficient d'une fonction polynômiale a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Soit $f$ de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels). Alors on a que :

  • $a$ et $b$ contrôlent l'allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
  • $c$ contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

Recherche de racines

Qu'est-ce qu'une racine ?

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0 \in \mathbb{R}$. On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0) = 0$.

Discriminant

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels). On appelle discriminant de $f$ le réel suivant : $\Delta = b^2 - 4ac$.

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

  • Si $\Delta \lt 0$ alors $f$ n'admet pas de racine réelle.
  • Si $\Delta = 0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}$.
  • Si $\Delta \gt 0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $x_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$.

Racines évidentes

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l'ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l'ensemble des diviseurs de $a$. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$, on calcule $\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)}$ pour tout $p \in D_c$ et $q \in D_a$, jusqu'à tomber sur $0$.

Somme et produit de racines

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

  • La somme $S = x_1 + x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$.
  • Le produit $P = x_1 \times x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{\frac{c}{a}}$.

Forme factorisée

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

$f$ admet une forme factorisée qui vaut $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si $c = 0$, alors $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ et $0$ sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. On suppose ici que $x_1 \lt x_2$, alors :

  • Si $a \lt 0$ : $f(x) \lt 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) \gt 0$ sur $]x_1; x_2[$.
  • Si $a \gt 0$ : $f(x) \gt 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) \lt 0$ sur $]x_1; x_2[$.

Variations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x \in \mathbb{R}$, on peut écrire $f$ de la forme :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}}$ et $\beta = f(\alpha)$.

Cette forme est appelée forme canonique de $f$ et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Soit $S$ le sommet de la parabole $\mathcal{C}_f$. Alors les coordonnées de $S$ sont $(\alpha, \beta)$.

Si $a \lt 0$, ce sommet est un maximum et si $a \gt 0$, ce sommet est un minimum.

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction $f$.

  • Si $a \lt 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha; +\infty]$.
  • Si $a \gt 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement croissante sur $]\alpha; +\infty]$.

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$, $b$ et $c$ réels). On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Alors :

$\mathcal{C}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d'équation $\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}$.