Fonctions polynômiales du second degré ?

Définition

Définition

Soit ff une fonction. ff est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme f:xax2+bx+cf : x \mapsto ax^2 + bx + c avec a0a \neq 0, bb et cc réels qui sont les coefficients de ff.

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d’arrivée R\mathbb{R} mais il faut savoir qu’il est possible d’en prendre d’autres.

Représentation graphique

Parabole

Soit ff une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de ff (notée Cf\mathcal{C}_f) est une parabole.

Chaque coefficient d’une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit ff de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). Alors on a :

  • aa et bb contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).

  • cc contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Recherche de racines

Qu’est-ce qu’une racine ?

Définition

Soient ff une fonction polynômiale du second degré et x0Rx_0 \in \mathbb{R}. On dit que x0x_0 est une racine de ff si f(x0)=0f(x_0) = 0.

Discriminant

Définition

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On appelle discriminant de ff le réel suivant : Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac.

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de Δ\Delta :

  • Si Δ<0\Delta < 0 alors ff n’admet pas de racine réelle.

  • Si Δ=0\Delta = 0 alors ff admet une unique racine réelle : x0=b2ax_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}.

  • Si Δ>0\Delta > 0 alors ff admet deux racines réelles : x1=bΔ2ax_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}} et x2=b+Δ2ax_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}.

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On note DcD_c l’ensemble des diviseurs de cc et DaD_a l’ensemble des diviseurs de aa. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de ff, on calcule f(pq)\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)} pour tout pDcp \in D_c et qDaq \in D_a, jusqu’à tomber sur 00.

Somme et produit de racines

Relations

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. Alors :

  • La somme S=x1+x2S = x_1 + x_2 des racines vaut également ba\displaystyle{-\frac{b}{a}}.

  • Le produit P=x1×x2P = x_1 \times x_2 des racines vaut également ca\displaystyle{\frac{c}{a}}.

Forme factorisée

Définition

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. Alors :

ff admet une forme factorisée qui vaut f(x)=a(xx1)(xx2)f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) pour tout xRx \in \mathbb{R}.

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si c=0c = 0, alors ba\displaystyle{-\frac{b}{a}} et 00 sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. On suppose ici que x1<x2x_1 < x_2, alors :

  • Si a<0a < 0 : f(x)<0f(x) < 0 sur ];x1[]x2;+[]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[ et f(x)>0f(x) > 0 sur ]x1;x2[]x_1; x_2[.

  • Si a>0a > 0 : f(x)>0f(x) > 0 sur ];x1[]x2;+[]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[ et f(x)<0f(x) < 0 sur ]x1;x2[]x_1; x_2[.

Variations

Forme canonique

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels), alors pour tout xRx \in \mathbb{R}, on peut écrire ff de la forme :

f(x)=a(xα)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta avec α=b2a\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}} et β=f(α)\beta = f(\alpha).

Cette forme est appelée forme canonique de ff et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit SS le sommet de la parabole Cf\mathcal{C}_f. Alors les coordonnées de SS sont (α,β)(\alpha, \beta). Si a<0a < 0, ce sommet est un maximum et si a>0a > 0, ce sommet est un minimum.

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction ff.

Sens de variation

  • Si a<0a < 0 : ff est strictement croissante sur ];α]]-\infty; \alpha] et est strictement décroissante sur ]α;+]]\alpha; +\infty].

  • Si a>0a > 0 : ff est strictement décroissante sur ];α]]-\infty; \alpha] et est strictement croissante sur ]α;+]]\alpha; +\infty].

Axe de symétrie

Axe de symétrie

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative. Alors :

Cf\mathcal{C}_f possède un axe de symétrie : la droite D\mathcal{D} d’équation x=b2a\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}.