I – Qu'est-ce qu'une fonction polynômiale du second degré ?

1. Définition

Définition

Soit une fonction. est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme avec , et réels qui sont les coefficients de .

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d'arrivée mais il faut savoir qu'il est possible d'en prendre d'autres.

2. Représentation graphique

Parabole

Soit une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de (notée ) est une parabole.

Chaque coefficient d'une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit de la forme (avec , et réels). Alors on a que :

  • et contrôlent l'allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
  • contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

II – Recherche de racines

1. Qu'est-ce qu'une racine ?

Définition

Soient une fonction polynômiale du second degré et . On dit que est une racine de si .

2. Discriminant

Définition

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) . On appelle discriminant de le réel suivant : .

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de :

  • Si alors n'admet pas de racine réelle.
  • Si alors admet une unique racine réelle : .
  • Si alors admet deux racines réelles : et .

3. Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels). On note l'ensemble des diviseurs de et l'ensemble des diviseurs de . Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de , on calcule pour tout et , jusqu'à tomber sur .

4. Somme et produit de racines

Relations

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) admettant deux racines réelles et . Alors :

  • La somme des racines vaut également .
  • Le produit des racines vaut également .

5. Forme factorisée

Définition

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) admettant deux racines réelles et . Alors :

admet une forme factorisée qui vaut pour tout .

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si , alors et sont racines.

III – Étude des fonctions polynômiales du second degré

1. Signe

Signe d'une fonction du second degré

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels) admettant deux racines réelles et . On suppose ici que , alors :

  • Si : sur et sur .
  • Si : sur et sur .

2. Variations

Forme canonique

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels), alors pour tout , on peut écrire de la forme :

avec et .

Cette forme est appelée forme canonique de et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit le sommet de la parabole . Alors les coordonnées de sont .

Si , ce sommet est un maximum et si , ce sommet est un minimum.

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction .

Sens de variation

  • Si : est strictement croissante sur et est strictement décroissante sur .
  • Si : est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur .

3. Axe de symétrie

Axe de symétrie

Soit une fonction polynômiale du second degré de la forme (avec , et réels). On note sa courbe représentative. Alors :

possède un axe de symétrie : la droite d'équation .