Fonctions polynômiales du second degré

Définition

Définition

Soit ff une fonction. ff est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme f:xax2+bx+cf : x \mapsto ax^2 + bx + c avec a0a \neq 0, bb et cc réels qui sont les coefficients de ff.

Représentation graphique

Parabole

Soit ff une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de ff (notée Cf\mathcal{C}_f) est une parabole.

Chaque coefficient d’une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit ff de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). Alors on a :

  • aa et bb contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).

  • cc contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Recherche de racines

Définition

Définition

Soient ff une fonction polynômiale du second degré et x0Rx_0 \in \mathbb{R}. On dit que x0x_0 est une racine de ff si f(x0)=0f(x_0) = 0.

Discriminant

Définition

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On appelle discriminant de ff le réel suivant : Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de Δ\Delta :

  • Si Δ<0\Delta < 0 alors ff n’admet pas de racine réelle.

  • Si Δ=0\Delta = 0 alors ff admet une unique racine réelle : x0=b2ax_0 = \frac{-b}{2a}.

  • Si Δ>0\Delta > 0 alors ff admet deux racines réelles : x1=bΔ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et x2=b+Δ2ax_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On note DcD_c l’ensemble des diviseurs de cc et DaD_a l’ensemble des diviseurs de aa. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de ff, on calcule f(pq)f\left(\frac{p}{q}\right) pour tout pDcp \in D_c et qDaq \in D_a, jusqu’à tomber sur 00.

Somme et produit de racines

Relations

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. Alors :

  • La somme S=x1+x2S = x_1 + x_2 des racines vaut également ba-\frac{b}{a}.

  • Le produit P=x1×x2P = x_1 \times x_2 des racines vaut également ca\frac{c}{a}.

Forme factorisée

Définition

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. Alors :

ff admet une forme factorisée qui vaut f(x)=a(xx1)(xx2)f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) pour tout xRx \in \mathbb{R}.

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Propriété

Si c=0c = 0, alors ba-\frac{b}{a} et 00 sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels) admettant deux racines réelles x1x_1 et x2x_2. On suppose ici que x1<x2x_1 < x_2, alors :

  • Si a<0a < 0 : f(x)<0f(x) < 0 sur ];x1[]x2;+[]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[ et f(x)>0f(x) > 0 sur ]x1;x2[]x_1; x_2[.

  • Si a>0a > 0 : f(x)>0f(x) > 0 sur ];x1[]x2;+[]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[ et f(x)<0f(x) < 0 sur ]x1;x2[]x_1; x_2[.

Variations

Forme canonique

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels), alors pour tout xRx \in \mathbb{R}, on peut écrire ff de la forme :

f(x)=a(xα)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta avec α=b2a\alpha = -\frac{b}{2a} et β=f(α)\beta = f(\alpha).

Cette forme est appelée forme canonique de ff et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit SS le sommet de la parabole Cf\mathcal{C}_f. Alors les coordonnées de SS sont (α,β)(\alpha, \beta). Si a<0a < 0, ce sommet est un maximum et si a>0a > 0, ce sommet est un minimum.

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction ff.

Sens de variation

  • Si a<0a < 0 : ff est strictement croissante sur ];α]]-\infty; \alpha] et est strictement décroissante sur ]α;+]]\alpha; +\infty].

  • Si a>0a > 0 : ff est strictement décroissante sur ];α]]-\infty; \alpha] et est strictement croissante sur ]α;+]]\alpha; +\infty].

Axe de symétrie

Axe de symétrie

Soit ff une fonction polynômiale du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c (avec a0a \neq 0, bb et cc réels). On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative. Alors :

Cf\mathcal{C}_f possède un axe de symétrie : la droite D\mathcal{D} d’équation x=b2ax = -\frac{b}{2a}.