Définition

Soit $f$ une fonction. $f$ est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme $f:x\mapsto a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$.

Parabole

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de $f$ (notée ${\mathcal{C}}_f$) est une parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit $f$ de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). Alors on a :

• $a$ et $b$ contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).

• $c$ contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Définition

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0\in \mathbb{R}$. On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0)=0$.

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). On appelle discriminant de $f$ le réel suivant : $$\Delta =b^2-4ac$$

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta <0$ alors $f$ n’admet pas de racine réelle.

• Si $\Delta =0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta >0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.

Recherche des racines rationnelles

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l’ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l’ensemble des diviseurs de $a$. Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$, on calcule $f\left(\frac{p}{q}\right)$ pour tout $p\in D_c$ et $q\in D_a$, jusqu’à tomber sur $0$.

Relations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

• La somme $S=x_1+x_2$ des racines vaut également $-\frac{b}{a}$.

• Le produit $P=x_1\times x_2$ des racines vaut également $\frac{c}{a}$.

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. Alors :

$f$ admet une forme factorisée qui vaut $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Propriété

Si $c=0$, alors $-\frac{b}{a}$ et $0$ sont racines.

Signe d’une fonction du second degré

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$. On suppose ici que $x_1<x_2$, alors :

• Si $a<0$ : $f(x)<0$ sur $]-\infty ;x_1[\cup ]x_2;+\infty [$ et $f(x)>0$ sur $]x_1;x_2[$.

• Si $a>0$ : $f(x)>0$ sur $]-\infty ;x_1[\cup ]x_2;+\infty [$ et $f(x)<0$ sur $]x_1;x_2[$.

Forme canonique

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x\in \mathbb{R}$, on peut écrire $f$ de la forme : $$f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$$ Avec $\alpha =-\frac{b}{2a}$ et $\beta =f(\alpha )$.

Sommet de la parabole

Soit $S$ le sommet de la parabole ${\mathcal{C}}_f$. Alors les coordonnées de $S$ sont $(\alpha ,\beta )$. Si $a<0$, ce sommet est un maximum et si $a>0$, ce sommet est un minimum.

Sens de variation

• Si $a<0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;\alpha ]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha ;+\infty ]$.

• Si $a>0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;\alpha ]$ et est strictement croissante sur $]\alpha ;+\infty ]$.

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$, $b$ et $c$ réels). On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative. Alors :

${\mathcal{C}}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d’équation $x=-\frac{b}{2a}$.