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Fonctions polynômiales du second degré ?

Définition

Soit $f$ une fonction. $f$ est une fonction polynômiale du second degré si elle est de la forme $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels qui sont les coefficients de $f$ .

En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d’arrivée $\mathbb{R}$ mais il faut savoir qu’il est possible d’en prendre d’autres.

Représentation graphique

Parabole

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré. Alors la courbe représentative de $f$ (notée $\mathcal{C}_f$ ) est une parabole.

Chaque coefficient d’une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.

Rôle des coefficients dans la représentation graphique

Soit $f$ de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). Alors on a :

$a$ et $b$ contrôlent l’allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...).
$c$ contrôle l’éloignement de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Recherche de racines

Qu’est-ce qu’une racine ?

Définition

Soient $f$ une fonction polynômiale du second degré et $x_0 \in \mathbb{R}$ . On dit que $x_0$ est une racine de $f$ si $f(x_0) = 0$ .

Discriminant

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On appelle discriminant de $f$ le réel suivant : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Propriétés

Plusieurs propriétés découlent du signe de $\Delta$ :

Si $\Delta < 0$ alors $f$ n’admet pas de racine réelle.
Si $\Delta = 0$ alors $f$ admet une unique racine réelle : $x_0 = \displaystyle{\frac{-b}{2a}}$ .
Si $\Delta > 0$ alors $f$ admet deux racines réelles : $x_1 = \displaystyle{\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $x_2 = \displaystyle{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$ .

Racines évidentes

Recherche des racines rationnelles

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On note $D_c$ l’ensemble des diviseurs de $c$ et $D_a$ l’ensemble des diviseurs de $a$ . Alors :

Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de $f$ , on calcule $\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)}$ pour tout $p \in D_c$ et $q \in D_a$ , jusqu’à tomber sur $0$ .

Somme et produit de racines

Relations

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Alors :

La somme $S = x_1 + x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ .
Le produit $P = x_1 \times x_2$ des racines vaut également $\displaystyle{\frac{c}{a}}$ .

Forme factorisée

Définition

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . Alors :

$f$ admet une forme factorisée qui vaut $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Une propriété découle immédiatement de cette méthode :

Si $c = 0$ , alors $\displaystyle{-\frac{b}{a}}$ et $0$ sont racines.

Étude des fonctions polynômiales du second degré

Signe

Signe d’une fonction du second degré

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels) admettant deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ . On suppose ici que $x_1 < x_2$ , alors :

Si $a < 0$ : $f(x) < 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) > 0$ sur $]x_1; x_2[$ .
Si $a > 0$ : $f(x) > 0$ sur $]-\infty; x_1[ \, \cup \, ]x_2; +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]x_1; x_2[$ .

Variations

Forme canonique

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels), alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on peut écrire $f$ de la forme :

$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\displaystyle{\alpha = -\frac{b}{2a}}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

Cette forme est appelée forme canonique de $f$ et elle possède de nombreuses propriétés intéressantes.

Sommet de la parabole

Soit $S$ le sommet de la parabole $\mathcal{C}_f$ . Alors les coordonnées de $S$ sont $(\alpha, \beta)$ . Si $a < 0$ , ce sommet est un maximum et si $a > 0$ , ce sommet est un minimum.

Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction $f$ .

Sens de variation

Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement décroissante sur $]\alpha; +\infty]$ .
Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; \alpha]$ et est strictement croissante sur $]\alpha; +\infty]$ .

Axe de symétrie

Soit $f$ une fonction polynômiale du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx +c$ (avec $a \neq 0$ , $b$ et $c$ réels). On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. Alors :

$\mathcal{C}_f$ possède un axe de symétrie : la droite $\mathcal{D}$ d’équation $\displaystyle{x = -\frac{b}{2a}}$ .