I – Qu'est-ce qu'une fonction polynômiale du second degré ?
1. Définition
Définition
Soit
En classe de Première, ces fonctions auront pour ensemble de départ et d'arrivée
2. Représentation graphique
Parabole
Soit
Chaque coefficient d'une fonction du second degré a un rôle dans le tracé de sa parabole.
Rôle des coefficients dans la représentation graphique
Soit
et contrôlent l'allure générale de la courbe (son orientation, son inclinaison, ...). contrôle l'éloignement de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
II – Recherche de racines
1. Qu'est-ce qu'une racine ?
Définition
Soient
2. Discriminant
Définition
Soit
Propriétés
Plusieurs propriétés découlent du signe de
- Si
alors n'admet pas de racine réelle. - Si
alors admet une unique racine réelle : . - Si
alors admet deux racines réelles : et .
3. Racines évidentes
Recherche des racines rationnelles
Soit
Pour trouver une éventuelle racine rationnelle de
4. Somme et produit de racines
Relations
Soit
- La somme
des racines vaut également . - Le produit
des racines vaut également .
5. Forme factorisée
Définition
Soit
Une propriété découle immédiatement de cette méthode :
Si
III – Étude des fonctions polynômiales du second degré
1. Signe
Signe d'une fonction du second degré
Soit
- Si
: sur et sur . - Si
: sur et sur .
2. Variations
Forme canonique
Soit
Cette forme est appelée forme canonique de
Sommet de la parabole
Soit
Si
Avec les remarques données précédemment, on peut en déduire les variations de la fonction
Sens de variation
- Si
: est strictement croissante sur et est strictement décroissante sur . - Si
: est strictement décroissante sur et est strictement croissante sur .
3. Axe de symétrie
Axe de symétrie
Soit