Valeur approchée

Une valeur approchée de $e$ est $\approx 2,71828$.

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $e^x$ (ou parfois $\exp (x)$) est l’unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ remplissant les critères suivants :

• $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }$ = $f$

• $f>0$ sur $\mathbb{R}$

• $f(0)=1$

Existence

L’existence de cette fonction est admise, il faut cependant en démontrer l’unicité.

Soit une autre fonction $g$ vérifiant les mêmes propriétés que notre fonction $f$. On pose pour tout $x\in \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Comme $g$ ne s’annule pas et que $h$ est un quotient de fractions dérivables ne s’annulant pas sur $\mathbb{R}$, $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

D’où, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=0$ (car $f=f^{\prime }$ et $g=g^{\prime }$).

On a donc $h$ constante sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $h$ est $h(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=1$.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $h(x)=1⟺\frac{f(x)}{g(x)}=1⟺f(x)=g(x)$. Donc $g=f$.

Formules

La fonction exponentielle, telle qu’on l’a écrite, est composée d’un réel ($e\approx 2,718$) et d’un exposant réel $x$. Les opérations sur les exposants sont disponibles, par exemple, pour tout $x$, $y\in \mathbb{R}$ :

• $e^{x+y}=e^x\times e^y$

• $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$

• $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

• $(e^x{)}^y=e^{x\times y}$

Et bien entendu, $e^0=1$.

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu’il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :

• $e^x=e^y⟺x=y$

• $e^x<e^y⟺x<y$

Représentation d’une fonction exponentielle

Il peut être utile de savoir représenter une courbe d’une fonction du type $x\mapsto e^{kx}$ avec $k\in \mathbb{R}$ :

• L’image de $0$ par ces fonctions est toujours $1$.

• Plus $k$ est grand, plus la croissance est forte et rapide.

• Si $k$ est négatif, la courbe est symétrique à celle de $x\mapsto e^{-kx}$ par rapport à l’axe des ordonnées.

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $(e^{u(x)}{)}^{\prime }=u^{\prime }(x)e^{u(x)}$.

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x\in I$ on a $u(x)=x$, on retrouve : $(e^x{)}^{\prime }=e^x$.

Variations

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $a\in \mathbb{R}$. La suite $(e^{na})$ est une suite géométrique de raison $e^a$ et de premier terme $1$.

Posons pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=e^{na}$.

Calculons $u_{n+1}$ : $$u_{n+1}=e^{(n+1)a}=e^{na}\times e^a=u_n\times e^a$$ Et on a bien $u_0=e^0=1$.