Chapitre IV – La fonction exponentielle

Fiche résumée

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La fonction exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images.
Dans ce chapitre, on va étudier les propriétés de cette fonction (relations algébriques, dérivées, variations, signe, ...).

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Le nombre ee

Le nombre d’Euler ee (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

Valeur approchée

Une valeur approchée de ee est ≈2,71828\approx 2,71828.

La fonction exponentielle

Définition

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} par exe^x (ou parfois exp⁡(x)\exp(x)) est l’unique fonction ff définie sur R\mathbb{R} remplissant les critères suivants :

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f′f' = ff

  • f>0f > 0 sur R\mathbb{R}

  • f(0)=1f(0) = 1

Relations algébriques

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu’il faut connaître. Ainsi, pour tous réels xx et yy :

  • ex=ey  ⟺  x=ye^x = e^y \iff x = y

  • ex<ey  ⟺  x<ye^x < e^y \iff x < y

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d’abscisse 00 :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : e0=1e^0 = 1, e≈2,718e \approx 2,718, etc. Mais également d’autres propriétés que nous verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur R\mathbb{R}. À noter que la tangente à sa courbe représentative en x=0x = 0 est y=x+1y = x + 1.

Étude de la fonction

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction uu dérivable sur un intervalle II, on a pour tout xx appartenant à cet intervalle : (eu(x))′=u′(x)eu(x)(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}.

Dérivée

Ainsi, si pour tout x∈Ix \in I on a u(x)=xu(x) = x, on retrouve : (ex)′=ex({e^x})' = e^x.

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d’obtenir les variations de la fonction exponentielle.

Variations

image On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur R\mathbb{R}.

La suite (ena)(e^{na})

Soit a∈Ra \in \mathbb{R}. La suite (ena)(e^{na}) est une suite géométrique de raison eae^a et de premier terme 11.