Valeur approchée

Une valeur approchée de $e$ est $\approx 2,71828$.

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $e^x$ (ou parfois $\exp (x)$) est l’unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ remplissant les critères suivants :

• $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }$ = $f$
• $f>0$ sur $\mathbb{R}$
• $f(0)=1$

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu’il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :

• $e^x=e^y⟺x=y$
• $e^x<e^y⟺x<y$

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $(e^{u(x)}{)}^{\prime }=u^{\prime }(x)e^{u(x)}$.

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x\in I$ on a $u(x)=x$, on retrouve : $(e^x{)}^{\prime }=e^x$.

Variations

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $a\in \mathbb{R}$. La suite $(e^{na})$ est une suite géométrique de raison $e^a$ et de premier terme $1$.