Le nombre $e$

Le nombre d'Euler $e$ (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

Une valeur approchée de $e$ est $\approx 2,71828$.

La fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $e^x$ (ou parfois $\exp(x)$) est l'unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ remplissant les critères suivants :

  • $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ = $f$
  • $f \gt 0$ sur $\mathbb{R}$
  • $f(0) = 1$

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :

  • $e^x = e^y \iff x = y$
  • $e^x \lt e^y \iff x \lt y$

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d'abscisse $0$ :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : $e^0 = 1$, $e \approx 2,718$, etc... Mais également d'autres propriétés que verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur $\mathbb{R}$. À noter que la tangente à sa courbe représentative en $x = 0$ est $y = x + 1$.

Étude de la fonction

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$, on retrouve : $({e^x})' = e^x$.

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction exponentielle.

Tableau de variations de la fonction exponentielle

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $\mathbb{R}$.

La suite $(e^{na})$

Soit $a \in \mathbb{R}$. La suite $(e^{na})$ est une suite géométrique de raison $e^a$ et de premier terme $1$.