Chapitre IV – La fonction exponentielle

Fiche résumée

Première Première Moyen

La fonction exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images.
Dans ce chapitre, on va étudier les propriétés de cette fonction (relations algébriques, dérivées, variations, signe, ...).

Retour au cours

I – Le nombre

Le nombre d'Euler (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

Valeur approchée

Une valeur approchée de est .

II – La fonction exponentielle

1. Définition

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout par (ou parfois ) est l'unique fonction définie sur remplissant les critères suivants :

  • est dérivable sur et =
  • sur

2. Relations algébriques

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels et :

3. Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d'abscisse :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : , , etc. Mais également d'autres propriétés que nous verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur . À noter que la tangente à sa courbe représentative en est .

III – Étude de la fonction

1. Dérivée

Dérivée d'une composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle : .

Dérivée

Ainsi, si pour tout on a , on retrouve : .

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

2. Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction exponentielle.

Variations

Tableau de variations de la fonction exponentielle

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur .

3. La suite

Soit . La suite est une suite géométrique de raison et de premier terme .