Le nombre ee

Le nombre d’Euler ee (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

Valeur approchée

Une valeur approchée de ee est 2,71828\approx 2,71828.

Cependant, une définition plus exacte de ee existe.

Autre définition

On définit la suite (en)(e_n) pour tout nNn \in \mathbb{N} par en=(1+1n)n\displaystyle{e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}. Alors la limite de la suite (en)(e_n) quand nn tend vers ++\infty est ee.

Grâce à cette définition, il est plus facile de construire un algorithme pour approximer ee.

La fonction exponentielle

Définition

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout xRx \in \mathbb{R} par exe^x (ou parfois exp(x)\exp(x)) est l’unique fonction ff définie sur R\mathbb{R} remplissant les critères suivants :

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et ff' = ff

  • f>0f > 0 sur R\mathbb{R}

  • f(0)=1f(0) = 1

Démonstration

Formules

La fonction exponentielle, telle qu’on l’a écrite, est composée d’un réel (e2,718e \approx 2,718) et d’un exposant réel xx. Les opérations sur les exposants sont disponibles, par exemple, pour tout xx, yRy \in \mathbb{R} :

  • ex+y=ex×eye^{x+y} = e^x \times e^y

  • exy=exeye^{x-y} = \displaystyle{\frac{e^x}{e^y}}

  • ex=1exe^{-x} = \displaystyle{\frac{1}{e^x}}

  • (ex)y=ex×y(e^x)^y = e^{x \times y}

Et bien entendu, e0=1e^0 = 1.

Relations algébriques

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu’il faut connaître. Ainsi, pour tous réels xx et yy :

  • ex=ey    x=ye^x = e^y \iff x = y

  • ex<ey    x<ye^x < e^y \iff x < y

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d’abscisse 00 :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : e0=1e^0 = 1, e2,718e \approx 2,718, etc. Mais également d’autres propriétés que nous verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur R\mathbb{R}. À noter que la tangente à sa courbe représentative en x=0x = 0 est y=x+1y = x + 1.

Représentation d’une fonction exponentielle

Il peut être utile de savoir représenter une courbe d’une fonction du type xekxx \mapsto e^{kx} avec kRk \in \mathbb{R} :

  • L’image de 00 par ces fonctions est toujours 11.

  • Plus kk est grand, plus la croissance est forte et rapide.

  • Si kk est négatif, la courbe est symétrique à celle de xekxx \mapsto e^{-kx} par rapport à l’axe des ordonnées.

Étude de la fonction

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction uu dérivable sur un intervalle II, on a pour tout xx appartenant à cet intervalle : (eu(x))=u(x)eu(x)(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}.

Dérivée

Ainsi, si pour tout xIx \in I on a u(x)=xu(x) = x, on retrouve : (ex)=ex({e^x})' = e^x.

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d’obtenir les variations de la fonction exponentielle.

Variations

image On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur R\mathbb{R}.

La suite (ena)(e^{na})

Soit aRa \in \mathbb{R}. La suite (ena)(e^{na}) est une suite géométrique de raison eae^a et de premier terme 11.

Démonstration

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