Chapitre IV – La fonction exponentielle

Niveau : Première Difficulté du cours :

Le nombre $e$

Le nombre d'Euler $e$ (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique dont une valeur approchée est :

$e \approx 2,71828$

Cependant, une définition plus exacte de $e$ existe :

On définit la suite $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\displaystyle{e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$.

Alors la limite de la suite $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $+\infty$ est $e$.

Grâce à cette définition, il est plus facile de construire un algorithme pour approximer $e$.

La fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle notée $e^x$ (ou parfois $\exp(x)$) pour tout $x$ réel est l'unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ remplissant les critères suivants :

  • $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ = $f$
  • $f \gt 0$ sur $\mathbb{R}$
  • $f(0) = 1$

L'existence de cette fonction est admise, il faut cependant en démontrer l'unicité.

Soit une autre fonction $g$ vérifiant les mêmes propriétés que notre fonction $f$. On pose pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.

Comme $g$ ne s'annule pas et que $h$ est un quotient de fractions dérivables ne s'annulant pas sur $\mathbb{R}$, $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

D'où pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} = 0$ (car $f = f'$ et $g = g'$).

On a donc $h$ constante sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $h$ est $h(0) = \frac{f(0)}{g(0)} = 1$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = 1 \iff \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \iff f(x) = g(x)$. Donc $g = f$.

Comme la fonction exponentielle est composée d'un réel ($e \approx 2,718 $) et d'un exposant réel ($x$), les opérations sur les exposants sont disponibles, comme par exemple pour $x, y \in \mathbb{R}$ :

  • $e^{x+y} = e^x \times e^y$
  • $e^{x-y} = \displaystyle{\frac{e^x}{e^y}}$
  • $e^{-x} = \displaystyle{\frac{1}{e^x}}$
  • $(e^x)^y = e^{x \times y}$

Et bien entendu, $e^0 = 1$.

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :

  • $e^x = e^y \iff x = y$
  • $e^x \lt e^y \iff x \lt y$

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d'abscisse $0$ :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : $e^0 = 1$, $e \approx 2,718$, etc... Mais également d'autres propriétés que verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur $\mathbb{R}$. À noter que la tangente à sa courbe représentative en $x = 0$ est $y = x + 1$.

Il peut être utile de savoir représenter une courbe d'une fonction du type $x \mapsto e^{kx}$ avec $k \in \mathbb{R}$ :

  • L'image de $0$ par ces fonctions est toujours $1$.
  • Plus $k$ est grand, plus la croissance est forte et rapide.
  • Si $k$ est négatif, la courbe est symétrique à celle de $x \mapsto e^{-kx}$ par rapport à l'axe des ordonnées.

Étude de la fonction

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$ :

$({e^x})' = e^x$

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction exponentielle :

Tableau de variation de la fonction exponentielle

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $\mathbb{R}$.

La suite $(e^{na})_{n \in \mathbb{N}}$

Soit $a \in \mathbb{R}$ :

La suite $(e^{na})_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $a$ et de premier terme $1$.

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = e^{na}$. Calculons $u_{n+1}$ :

$u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^a = u_n \times e^a$.

Et $u_0 = e^0 = 1$.

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