I – Le nombre

Le nombre d'Euler (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

Valeur approchée

Une valeur approchée de est .

Cependant, une définition plus exacte de existe.

Autre définition

On définit la suite pour tout par .

Alors la limite de la suite quand tend vers est .

Grâce à cette définition, il est plus facile de construire un algorithme pour approximer .

II – La fonction exponentielle

1. Définition

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout par (ou parfois ) est l'unique fonction définie sur remplissant les critères suivants :

  • est dérivable sur et =
  • sur
Démonstration

Formules

La fonction exponentielle, telle qu'on l'a écrite, est composée d'un réel () et d'un exposant réel . Les opérations sur les exposants sont disponibles, par exemple, pour tout , :

Et bien entendu, .

2. Relations algébriques

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels et :

3. Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d'abscisse :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : , , etc. Mais également d'autres propriétés que nous verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur . À noter que la tangente à sa courbe représentative en est .

Représentation d'une fonction exponentielle

Il peut être utile de savoir représenter une courbe d'une fonction du type avec :

  • L'image de par ces fonctions est toujours .
  • Plus est grand, plus la croissance est forte et rapide.
  • Si est négatif, la courbe est symétrique à celle de par rapport à l'axe des ordonnées.

III – Étude de la fonction

1. Dérivée

Dérivée d'une composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle : .

Dérivée

Ainsi, si pour tout on a , on retrouve : .

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

2. Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction exponentielle.

Variations

Tableau de variations de la fonction exponentielle

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur .

3. La suite

Soit . La suite est une suite géométrique de raison et de premier terme .

Démonstration

Vous avez aimé ce cours ?

Faîtes-le nous savoir dans les commentaires !

Avatar (prévisualisation)
Il n'y a pas de commentaire sur ce cours pour le moment.