Première > La fonction exponentielle

Le nombre d’Euler $e$ (également appelé constante de Neper) est une constante mathématique irrationnelle qui possède de nombreuses propriétés.

Valeur approchée

Une valeur approchée de $e$ est $\approx 2, 71828$ .

Cependant, une définition plus exacte de $e$ existe.

Autre définition

On définit la suite $(e_{n})$ pour tout $n \in N$ par $e_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ . Alors la limite de la suite $(e_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ est $e$ .

Grâce à cette définition, il est plus facile de construire un algorithme pour approximer $e$ .

Définition

La fonction exponentielle notée pour tout $x \in R$ par $e^{x}$ (ou parfois $exp (x)$ ) est l’unique fonction $f$ définie sur $R$ remplissant les critères suivants :

$f$ est dérivable sur $R$ et $f^{'}$ = $f$
$f > 0$ sur $R$
$f (0) = 1$

Démonstration

Existence

L’existence de cette fonction est admise, il faut cependant en démontrer l’unicité.

Soit une autre fonction $g$ vérifiant les mêmes propriétés que notre fonction $f$ . On pose pour tout $x \in R$ , $h (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ .

Comme $g$ ne s’annule pas et que $h$ est un quotient de fractions dérivables ne s’annulant pas sur $R$ , $h$ est dérivable sur $R$ .

D’où, pour tout $x \in R$ , $h^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{g ( x ) ^{2}} = 0$ (car $f = f^{'}$ et $g = g^{'}$ ).

On a donc $h$ constante sur $R$ et la valeur de $h$ est $h (0) = \frac{f ( 0 )}{g ( 0 )} = 1$ .

Pour tout $x \in R$ , $h (x) = 1 ⟺ \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1 ⟺ f (x) = g (x)$ . Donc $g = f$ .

Formules

La fonction exponentielle, telle qu’on l’a écrite, est composée d’un réel ( $e \approx 2, 718$ ) et d’un exposant réel $x$ . Les opérations sur les exposants sont disponibles, par exemple, pour tout $x$ , $y \in R$ :

$e^{x + y} = e^{x} \times e^{y}$
$e^{x - y} = \frac{e ^{x}}{e ^{y}}$
$e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}$
$(e^{x})^{y} = e^{x \times y}$

Et bien entendu, $e^{0} = 1$ .

Relations algébriques

La fonction exponentielle a plusieurs propriétés algébriques qu’il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ :

$e^{x} = e^{y} ⟺ x = y$
$e^{x} < e^{y} ⟺ x < y$

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction exponentielle (courbe bleue) et de sa tangente au point d’abscisse $0$ :

On voit plusieurs propriétés données précédemment : $e^{0} = 1$ , $e \approx 2, 718$ , etc. Mais également d’autres propriétés que nous verrons par la suite comme le fait que la fonction soit strictement positive sur $R$ . À noter que la tangente à sa courbe représentative en $x = 0$ est $y = x + 1$ .

Représentation d’une fonction exponentielle

Il peut être utile de savoir représenter une courbe d’une fonction du type $x \mapsto e^{k x}$ avec $k \in R$ :

L’image de $0$ par ces fonctions est toujours $1$ .
Plus $k$ est grand, plus la croissance est forte et rapide.
Si $k$ est négatif, la courbe est symétrique à celle de $x \mapsto e^{- k x}$ par rapport à l’axe des ordonnées.

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ , on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}$ .

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u (x) = x$ , on retrouve : $(e^{x})^{'} = e^{x}$ .

Cette propriété a été donnée dans la section Définition.

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment, il est désormais possible d’obtenir les variations de la fonction exponentielle.

Variations

On remarque sur le tableau de variation que la fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur $R$ .

La suite $(e^{na})$

Soit $a \in R$ . La suite $(e^{na})$ est une suite géométrique de raison $e^{a}$ et de premier terme $1$ .

Démonstration

Posons pour tout $n \in N$ , $u_{n} = e^{na}$ .

Calculons $u_{n + 1}$ :

$u_{n + 1} = e^{(n + 1) a} = e^{na} \times e^{a} = u_{n} \times e^{a}$ .

Et on a bien $u_{0} = e^{0} = 1$ .

Chapitre IV – La fonction exponentielle

Valeur approchée

Autre définition

Définition

Définition

Existence

Formules

Relations algébriques

Relations algébriques

Représentation graphique

Représentation d’une fonction exponentielle

Dérivée

Dérivée d’une composée

Dérivée

Variations

Variations

La suite $(e^{na})$

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Le nombre e

Valeur approchée

Autre définition

La fonction exponentielle

Définition

Définition

Existence

Formules

Relations algébriques

Relations algébriques

Représentation graphique

Représentation d’une fonction exponentielle

Étude de la fonction

Dérivée

Dérivée d’une composée

Dérivée

Variations

Variations

La suite (ena)

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Le nombre $e$

La suite $(e^{na})$