Cosinus et sinus

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $\mathcal{C}$ faisant un angle $x$ avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

• L’abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $\cos (x)$.

• L’ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $\sin (x)$.

• Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $-1\le \cos (x)\le 1$ et $-1\le \sin (x)\le 1$.

Longueur d’arcs de cercle

L’enroulement de cette droite permet ainsi de mesurer des longueurs d’arcs sur le cercle $\mathcal{C}$. Ainsi, la longueur d’un quart de cercle vaut $\frac{\pi }{2}$ (celle d’un demi-cercle vaut $\pi$ et celle d’un cercle vaut $2\pi$).

Périodicité

Ainsi, pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

• $\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$

• $\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$

Concrètement, cela signifie que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\cos (x)=\cos (x+2\pi )=\cos (x+4\pi )=\cdots =\cos (x+2k\pi )$ et idem pour $\sin (x)$.

Définition

Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer des angles orientés. La mesure en radians d’un angle vaut la longueur de l’arc de $\mathcal{C}$ que cet angle intercepte.

Cela veut simplement dire qu’un angle en radian n’est rien d’autre qu’une mesure de longueur d’arc du cercle trigonométrique.

Attention cependant, comme le radian est une unité de mesure d’angles orientés, mesurer $\frac{\pi }{2}$ ou $-\frac{\pi }{2}$ radians n’est pas la même chose car les angles ont une orientation.

La mesure est positive, si la rotation est effectuée dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (le sens direct). Elle est négative si elle est effectuée dans le sens des aiguilles d’une montre (le sens indirect).

Formules

On a les relations suivantes pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

• $\cos (-x)=\cos (x)$ (la fonction cosinus est paire)

• $\sin (-x)=-\sin (x)$ (la fonction sinus est impaire)

• $\cos (\pi +x)=-\cos (x)$

• $\sin (\pi +x)=-\sin (x)$

• $\cos (\pi -x)=-\cos (x)$

• $\sin (\pi -x)=\sin (x)$

• $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin (x)$

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos (x)$

• $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin (x)$

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos (x)$

• $\cos (x+y)=\cos (x)\times \cos (y)-\sin (x)\times \sin (y)$

• $\sin (x+y)=\sin (x)\times \cos (y)+\cos (x)\times \sin (y)$

• $\cos (x{)}^2+\sin (x{)}^2=1$

Retrouver les formules

Il n’est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l’exemple de $\cos (x+\pi )$ :

On remarque que l’ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule $\cos (x+\pi )=-\cos (x)$.

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

• ${\cos }^{\prime }(u(x))=-u^{\prime }(x)\sin (u(x))$

• ${\sin }^{\prime }(u(x))=u^{\prime }(x)\cos (u(x))$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x\in I$ on a $u(x)=x$, on trouve :

• ${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x)$

• ${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$

Signe et variation de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$.

Signe et variation de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$.

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :