Le cercle trigonométrique

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé $(O,\ \overrightarrow\imath ;\ \overrightarrow\jmath)$. Il sera également muni d'un cercle $\mathcal{C}$ appelé cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est le sens direct) :

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $\mathcal{C}$ faisant un angle $x$ avec l'axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

  • L'abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $\cos(x)$.
  • L'ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $\sin(x)$.
  • Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.

Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique

Il est possible d'enrouler la droite des réels autour du cercle $\mathcal{C}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Ainsi, puisque l'on peut enrouler infiniment cette droite autour du cercle, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$.

Ainsi, pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

  • $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$
  • $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$

Le radian

Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer des angles orientés. La mesure en radians d'un angle vaut la longueur de l'arc de $\mathcal{C}$ que cet angle intercepte.

Étude des fonctions trigonométriques

Formules de trigonométrie

On a les relations suivantes pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

  • $\cos(-x) = \cos(x)$ (la fonction cosinus est paire)
  • $\sin(-x) = -\sin(x)$ (la fonction sinus est impaire)
  • $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$
  • $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$
  • $\cos(x - \pi) = -\cos(x)$
  • $\sin(x - \pi) = \sin(x)$
  • $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$
  • $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$
  • $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$
  • $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$
  • $\cos(x + y) = \cos(x) \times \cos(y) - \sin(x) \times \sin(y)$
  • $\sin(x + y) = \sin(x) \times \cos(y) + \cos(x) \times \sin(y)$
  • $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

  • $\cos'(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x))$
  • $\sin'(u(x)) = u'(x)\cos(u(x))$

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$, on trouve :

  • $\cos'(x) = -\sin(x)$
  • $\sin'(x) = \cos(x)$

Signe et variations

L'étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d'obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Tableau de variations de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$.

Tableau de variations de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$.

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de $x$ (à $2k\pi$ près, $k \in \mathbb{Z}$)Valeur de $\cos(x)$Valeur de $\sin(x)$
$0$$1$$0$
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle{\frac{1}{2}}$$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$$0$$1$
$\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}$$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{3\pi}{4}}$$\displaystyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{5\pi}{6}}$$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\pi$$-1$$0$

Représentation graphique

À l'aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d'établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc...