I – Le cercle trigonométrique

1. Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé . Il sera également muni d'un cercle appelé cercle trigonométrique de centre et de rayon orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit un point quelconque situé sur le cercle faisant un angle avec l'axe des abscisses. Les coordonnées de sont :

  • L'abscisse de appelée cosinus est notée .
  • L'ordonnée de appelée sinus est notée .
  • Pour tout , on a et .

2. Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique

Il est possible d'enrouler la droite des réels autour du cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Ainsi, puisque l'on peut enrouler infiniment cette droite autour du cercle, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période .

Périodicité

Ainsi, pour tout réel et entier relatif :

3. Le radian

Définition

Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer des angles orientés. La mesure en radians d'un angle vaut la longueur de l'arc de que cet angle intercepte.

II – Étude des fonctions trigonométriques

1. Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout :

  • (la fonction cosinus est paire)
  • (la fonction sinus est impaire)

2. Dérivée

Dérivée d'une composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle :

Dérivée

Ainsi, si pour tout on a , on trouve :

3. Signe et variations

L'étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d'obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

Tableau de variations de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période .

Signe et variation de la fonction sinus

Tableau de variations de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période .

4. Valeurs remarquables

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de près, )Valeur de Valeur de

5. Représentation graphique

À l'aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d'établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.