Le cercle trigonométrique

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé (O, i; j)(O,\ \overrightarrow{i} ;\ \overrightarrow{j}). Il sera également muni d’un cercle C\mathcal{C} appelé cercle trigonométrique de centre OO et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit MM un point quelconque situé sur le cercle C\mathcal{C} faisant un angle xx avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de MM sont :

  • L’abscisse de MM appelée cosinus est notée cos(x)\cos(x).

  • L’ordonnée de MM appelée sinus est notée sin(x)\sin(x).

  • Pour tout xRx \in \mathbb{R}, on a 1cos(x)1-1 \leq \cos(x) \leq 1 et 1sin(x)1-1 \leq \sin(x) \leq 1.

Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique

Il est possible d’enrouler la droite des réels autour du cercle C\mathcal{C} dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :

Longueur d’arcs de cercle

L’enroulement de cette droite permet ainsi de mesurer des longueurs d’arcs sur le cercle C\mathcal{C}. Ainsi, la longueur d’un quart de cercle vaut π2\displaystyle{\frac{\pi}{2}} (celle d’un demi-cercle vaut π\pi et celle d’un cercle vaut 2π2\pi).

Ainsi, puisque l’on peut enrouler infiniment cette droite autour du cercle, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π2\pi.

Périodicité

Ainsi, pour tout xx réel et kk entier relatif :

  • cos(x)=cos(x+2kπ)\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)

  • sin(x)=sin(x+2kπ)\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)

Concrètement, cela signifie que pour tout xRx \in \mathbb{R}, cos(x)=cos(x+2π)=cos(x+4π)==cos(x+2kπ)\cos(x) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x + 4\pi) = \dots = \cos(x + 2k\pi) et idem pour sin(x)\sin(x).

Le radian

Définition

Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer des angles orientés. La mesure en radians d’un angle vaut la longueur de l’arc de C\mathcal{C} que cet angle intercepte.

Cela veut simplement dire qu’un angle en radian n’est rien d’autre qu’une mesure de longueur d’arc du cercle trigonométrique.

Attention cependant, comme le radian est une unité de mesure d’angles orientés, mesurer π2\frac{\pi}{2} ou π2-\frac{\pi}{2} radians n’est pas la même chose car les angles ont un sens.

Si l’angle a une mesure positive, alors il est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (le sens direct). Si l’angle a une mesure négative, alors il est orienté dans le sens des aiguilles d’une montre (le sens indirect).

Étude des fonctions trigonométriques

Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout xRx \in \mathbb{R} :

  • cos(x)=cos(x)\cos(-x) = \cos(x) (la fonction cosinus est paire)

  • sin(x)=sin(x)\sin(-x) = -\sin(x) (la fonction sinus est impaire)

  • cos(π+x)=cos(x)\cos(\pi + x) = -\cos(x)

  • sin(π+x)=sin(x)\sin(\pi + x) = -\sin(x)

  • cos(πx)=cos(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x)

  • sin(πx)=sin(x)\sin(\pi - x) = \sin(x)

  • cos(π2+x)=sin(x)\cos \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)

  • sin(π2+x)=cos(x)\sin \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = \cos(x)

  • cos(π2x)=sin(x)\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)

  • sin(π2x)=cos(x)\sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos(x)

  • cos(x+y)=cos(x)×cos(y)sin(x)×sin(y)\cos(x + y) = \cos(x) \times \cos(y) - \sin(x) \times \sin(y)

  • sin(x+y)=sin(x)×cos(y)+cos(x)×sin(y)\sin(x + y) = \sin(x) \times \cos(y) + \cos(x) \times \sin(y)

  • cos(x)2+sin(x)2=1\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1

Retrouver les formules

Il n’est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l’exemple de cos(x+π)\cos(x + \pi) :

On remarque que l’ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule cos(x+π)=cos(x)\cos(x + \pi) = -\cos(x).

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction uu dérivable sur un intervalle II, on a pour tout xx appartenant à cet intervalle :

  • cos(u(x))=u(x)sin(u(x))\cos'(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x))

  • sin(u(x))=u(x)cos(u(x))\sin'(u(x)) = u'(x)\cos(u(x))

Dérivée

Ainsi, si pour tout xIx \in I on a u(x)=xu(x) = x, on trouve :

  • cos(x)=sin(x)\cos'(x) = -\sin(x)

  • sin(x)=cos(x)\sin'(x) = \cos(x)

Signe et variations

L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

image

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période 2π2\pi.

Signe et variation de la fonction sinus

image

Ce tableau est également périodique de période 2π2\pi.

Valeurs remarquables

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de xx2kπ2k\pi près, kZk \in \mathbb{Z}) Valeur de cos(x)\cos(x) Valeur de sin(x)\sin(x)
00 11 00
π6\displaystyle{\frac{\pi}{6}} 32\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} 12\displaystyle{\frac{1}{2}}
π4\displaystyle{\frac{\pi}{4}} 22\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} 22\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}
π3\displaystyle{\frac{\pi}{3}} 12\displaystyle{\frac{1}{2}} 32\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}
π2\displaystyle{\frac{\pi}{2}} 00 11
2π3\displaystyle{\frac{2\pi}{3}} 12\displaystyle{-\frac{1}{2}} 32\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}
3π4\displaystyle{\frac{3\pi}{4}} 22\displaystyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}} 22\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}
5π6\displaystyle{\frac{5\pi}{6}} 32\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}} 12\displaystyle{\frac{1}{2}}
π\pi 1-1 00

Représentation graphique

À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.

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Skyost Modérateur

C'est en projet, mais je dois d'abord terminer de rédiger les cours de Maths expertes (pour les Terminales Spé Maths) avant. Je suis seul pour maintenir le site et y ajouter du contenu (et le tenir à jour), et je le fais sur mon temps libre, donc il faudra patienter encore un peu 😉

05/10/2020 21:27:27
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Anonyme

mais normalement vous devez donner des exemples d'exercices pour qu'on puisse bien comprendre

05/10/2020 21:19:43