Première > Chapitre V – Les fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé $(O,\ \overrightarrow{i} ;\ \overrightarrow{j})$ . Il sera également muni d’un cercle $\mathcal{C}$ appelé cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $\mathcal{C}$ faisant un angle $x$ avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

L’abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $\cos(x)$ .
L’ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $\sin(x)$ .
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ .

Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique

Il est possible d’enrouler la droite des réels autour du cercle $\mathcal{C}$ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre :

Longueur d’arcs de cercle

L’enroulement de cette droite permet ainsi de mesurer des longueurs d’arcs sur le cercle $\mathcal{C}$ . Ainsi, la longueur d’un quart de cercle vaut $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ (celle d’un demi-cercle vaut $\pi$ et celle d’un cercle vaut $2\pi$ ).

Ainsi, puisque l’on peut enrouler infiniment cette droite autour du cercle, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$ .

Périodicité

Ainsi, pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

$\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$
$\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$

Concrètement, cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\cos(x) = \cos(x + 2\pi) = \cos(x + 4\pi) = \dots = \cos(x + 2k\pi)$ et idem pour $\sin(x)$ .

Le radian

Définition

Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer des angles orientés. La mesure en radians d’un angle vaut la longueur de l’arc de $\mathcal{C}$ que cet angle intercepte.

Cela veut simplement dire qu’un angle en radian n’est rien d’autre qu’une mesure de longueur d’arc du cercle trigonométrique.

Attention cependant, comme le radian est une unité de mesure d’angles orientés, mesurer $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ radians n’est pas la même chose car les angles ont un sens.

Si l’angle a une mesure positive, alors il est orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (le sens direct). Si l’angle a une mesure négative, alors il est orienté dans le sens des aiguilles d’une montre (le sens indirect).

Étude des fonctions trigonométriques

Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$\cos(-x) = \cos(x)$ (la fonction cosinus est paire)
$\sin(-x) = -\sin(x)$ (la fonction sinus est impaire)
$\cos(\pi + x) = -\cos(x)$
$\sin(\pi + x) = -\sin(x)$
$\cos(\pi - x) = -\cos(x)$
$\sin(\pi - x) = \sin(x)$
$\cos \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$
$\sin \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = \cos(x)$
$\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)$
$\sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos(x)$
$\cos(x + y) = \cos(x) \times \cos(y) - \sin(x) \times \sin(y)$
$\sin(x + y) = \sin(x) \times \cos(y) + \cos(x) \times \sin(y)$
$\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$

Retrouver les formules

Il n’est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l’exemple de $\cos(x + \pi)$ :

On remarque que l’ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$ .

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ , on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$\cos'(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x))$
$\sin'(u(x)) = u'(x)\cos(u(x))$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$ , on trouve :

$\cos'(x) = -\sin(x)$
$\sin'(x) = \cos(x)$

Signe et variations

L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$ .

Signe et variation de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$ .

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de $x$ (à $2k\pi$ près, $k \in \mathbb{Z}$ )	Valeur de $\cos(x)$	Valeur de $\sin(x)$
$0$	$1$	$0$
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$	$0$	$1$
$\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{3\pi}{4}}$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{5\pi}{6}}$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\pi$	$-1$	$0$

Représentation graphique

À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.

Chapitre V – Les fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Définition

Cosinus et sinus

Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique

Longueur d’arcs de cercle

Périodicité

Le radian

Définition

Étude des fonctions trigonométriques

Formules de trigonométrie

Formules

Retrouver les formules

Dérivée

Dérivée d’une composée

Dérivée

Signe et variations

Signe et variation de la fonction cosinus

Signe et variation de la fonction sinus

Valeurs remarquables

Valeurs remarquables

Représentation graphique

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