I – Le cercle trigonométrique
1. Définition
Dans tout le cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé
Cosinus et sinus
Soit
- L'abscisse de
appelée cosinus est notée . - L'ordonnée de
appelée sinus est notée . - Pour tout
, on a et .
2. Enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique
Il est possible d'enrouler la droite des réels autour du cercle
Longueur d'arcs de cercle
L'enroulement de cette droite permet ainsi de mesurer des longueurs d'arcs sur le cercle
Ainsi, puisque l'on peut enrouler infiniment cette droite autour du cercle, les fonctions sinus et cosinus sont
périodiques de période
Périodicité
Ainsi, pour tout
Concrètement, cela signifie que pour tout
3. Le radian
Définition
Le radian est une unité de mesure permettant de mesurer des angles orientés. La mesure en radians d'un angle
vaut la longueur de l'arc de
Cela veut simplement dire qu'un angle en radian n'est rien d'autre qu'une mesure de longueur d'arc du cercle trigonométrique.
Attention cependant, comme le radian est une unité de mesure d'angles orientés, mesurer
Si l'angle a une mesure positive, alors il est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (le sens direct).
Si l'angle a une mesure négative, alors il est orienté dans le sens des aiguilles d'une montre (le sens indirect).
II – Étude des fonctions trigonométriques
1. Formules de trigonométrie
Formules
On a les relations suivantes pour tout
(la fonction cosinus est paire) (la fonction sinus est impaire)
Retrouver les formules
Il n'est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de
les retrouver à l'aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l'exemple de
On remarque que l'ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a
retrouvé la formule
2. Dérivée
Dérivée d'une composée
Soit une fonction
Dérivée
Ainsi, si pour tout
3. Signe et variations
L'étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d'obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.
Signe et variation de la fonction cosinus
Veuillez noter que ce tableau est périodique de période
Signe et variation de la fonction sinus
Ce tableau est également périodique de période
4. Valeurs remarquables
Valeurs remarquables
Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :
Valeur de | Valeur de | Valeur de |
---|---|---|
5. Représentation graphique
À l'aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d'établir une représentation graphique de la fonction cosinus :
De même pour la fonction sinus :
On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.