Le produit scalaire

Définition

Définition

Soient u=(x1y1)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x_1} \\ {y_1}\end{pmatrix} et v=(x2y2)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} {x_2} \\ {y_2}\end{pmatrix} deux vecteurs du plan (c’est-à-dire possédant chacun deux coordonnées).

Le produit scalaire entre uu et vv, noté uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} est le réel suivant :

uv=x1x2+y1y2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2.

Propriétés

Soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} des vecteurs du plan et λR\lambda \in \mathbb{R}, on a les propriétés suivantes :

  • uv=vu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}

  • u(v+w)=uv+uw\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}

  • λ(uv)=(λu)v=u(λv)\lambda(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = (\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})

À l’aide du produit scalaire, il est possible de calculer la norme d’un vecteur.

Calcul de la norme

Soit u=(xy)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} un vecteur du plan : sa norme (notée u||\overrightarrow{u}||) vaut u=uu=x2+y2||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}} = \sqrt{x^2 + y^2}.

Caractéristiques d’un vecteur

On rappelle qu’un vecteur possède 3 caractéristiques :

  • Une norme (sa longueur, par exemple si u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} alors u=AB||\overrightarrow{u}|| = AB)

  • Un sens (exemple : de AA vers BB ou de haut en bas)

  • Une direction (la direction de la droite que porte le vecteur, horizontale ou verticale par exemple)

Calcul

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le produit scalaire en fonction de la situation dans laquelle on se trouve.

Calcul avec un angle

Soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan et θ\theta l’angle orienté entre les deux. On a :

uv=u×v×cos(θ)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\theta)

Calcul avec un projeté orthogonal

Soient AA, BB et CC trois points distincts du plan. On pose PP le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB). Alors :

  • Si P[AB)P \in [AB) alors ABAC=AB×AP\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AP

  • Si P[AB)P \notin [AB) alors ABAC=AB×AP\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AP

Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d’utiliser la formule de polarisation.

Formule de polarisation

Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan : uv=12(u+v2u2v2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \displaystyle{\frac{1}{2} \left(||\overrightarrow{u + v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2\right)}.

Utilisation des formules

Il faut vraiment trouver la formule à utiliser selon l’énoncé de l’exercice.

Par exemple, si on se trouve dans un repère et que l’on a les coordonnées des vecteurs, on pourra utiliser la formule de la définition. À l’inverse, si on ne possède pas les coordonnées de nos vecteurs mais que l’on possède leur normes, il est possible d’utiliser la formule de polarisation.

Voici un tableau récapitulatif pour u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} vecteurs du plan :

Données Formule À utiliser si on possède...
u=(x1y1)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x_1} \\ {y_1} \end{pmatrix} v=(x2y2)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} {x_2} \\ {y_2} \end{pmatrix}. uv=x1×x2+y1×y2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2 (Calcul à partir des coordonnées.) Les coordonnées de u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}.
θ\theta est l’angle orienté entre u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}. uv=u×v×cos(θ)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\theta) (Calcul à partir des normes et d’un angle.) La norme de u\overrightarrow{u}, la norme de v\overrightarrow{v} et l’angle θ\theta entre les deux vecteurs.
AA et BB sont les deux extrémités de u\overrightarrow{u}, AA et CC sont les deux extrémités de v\overrightarrow{v}, et PP est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB). uv=ABAC=±AB×AP\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \pm AB \times AP ++ si P[AB)P \in [AB) et - sinon. (Calcul à partir d’une projection orthogonale.) 3 points distincts (qui sont ici AA, BB et CC).

uv=\displaystyle{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =}

u+v2u2v22\displaystyle{\frac{||\overrightarrow{u + v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2}{2}} (Calcul à partir des normes.)

On possède la norme de u\overrightarrow{u}, celle de v\overrightarrow{v} mais surtout celle de u+v\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}.

Théorème d’Al-Kashi

Le théorème d’Al-Kashi permet de calculer la longueur des côtés de n’importe quel triangle, qu’il soit rectangle ou non. Ainsi,

Théorème d’Al-Kashi

Soient AA, BB et CC trois points du plan non alignés (formant donc un triangle). On pose a=BCa = BC, b=CAb = CA et c=ABc = AB. Alors :

c2=a2+b22×a×b×cos(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2 \times a \times b \times \cos(\widehat{ACB})

Démonstration

Géométrie

Équation cartésienne d’une droite

Définition

Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite D\mathcal{D} par une équation appelée équation cartésienne.

Une équation cartésienne de D\mathcal{D} est de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec a0a \neq 0, b0b \neq 0 et cc réels, et où xx et yy sont des coordonnées de points.

Il est très facile de dire si oui ou non un point appartient à une droite si l’on possède l’équation cartésienne de cette droite.

Par exemple, on définit la droite D\mathcal{D} par l’équation y=x1y = x - 1.

Est-ce-que A=(0;1)A = (0; 1) appartient à D\mathcal{D} ? Remplaçons xx et yy par les coordonnées de AA : 1=11 = -1 : c’est faux donc AA n’appartient pas à D\mathcal{D} car les coordonnées de AA ne vérifient par l’équation cartésienne de D\mathcal{D}.

Est-ce-que B=(4;3)B = (4; 3) appartient à D\mathcal{D} ? Remplaçons xx et yy par les coordonnées de BB : 3=33 = 3 : c’est vrai donc BB appartient à D\mathcal{D} car les coordonnées de BB vérifient l’équation cartésienne de D\mathcal{D}.

Vecteurs directeurs d’une droite

Définition

Soient D\mathcal{D} une droite et u\overrightarrow{u} un vecteur du plan non nul. Alors u\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de D\mathcal{D} s’il existe deux points AA et BB appartenants à D\mathcal{D} et tels que u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}.

De plus, on a la propriété suivante qui peut s’avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs directeurs

v\overrightarrow{v} est un vecteur directeur de D\mathcal{D} si et seulement s’il est colinéaire au vecteur u\overrightarrow{u} précédent.

Tous les vecteurs directeurs d’une droite sont donc colinéaires entre eux.

Exemple

Soit D\mathcal{D} la droite définie par l’équation y=2x+1y = 2x + 1, montrons que v=(24)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix} est un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

Prenons deux points au hasard situés sur cette droite : x=0x = 0 donne y=1y = 1, donc le point A=(0;1)A = (0; 1) appartient à D\mathcal{D}. x=1x = 1 donne y=3y = 3, donc le point B=(1;3)B = (1; 3) appartient à D\mathcal{D}.

Ainsi, un vecteur directeur de D\mathcal{D} est u=AB=(1031)=(12)\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}.

Il reste à vérifier que u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont bien colinéaires, pour cela on peut utiliser la formule vue en seconde : 2×21×4=02 \times 2 - 1 \times 4 = 0 : u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont bien colinéaires et donc v\overrightarrow{v} est un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

Il est facile de trouver un vecteur directeur d’une droite dont on connaît l’équation cartésienne.

Coordonnées d’un vecteur directeur

Soit D\mathcal{D} une droite définie par l’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0. Alors u=(ba)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

Exemple

Déterminons l’équation cartésienne de la droite D\mathcal{D} de vecteur directeur u=(12)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} et passant par A=(1;0)A = (1; 0).

On a déjà aa et bb par la propriété précédente : b=1    b=1-b = 1 \iff b = -1 a=2a = 2

Une équation cartésienne de la droite est 2xy+c=02x - y + c = 0. Il reste à trouver cc. Mais comme D\mathcal{D} passe par AA, les coordonnées de AA vérifient l’équation cartésienne de D\mathcal{D}.

Remplaçons xx et yy par les coordonnées de AA dans l’équation cartésienne : 2+c=0    c=22 + c = 0 \iff c = -2.

L’équation cartésienne recherchée est donc 2xy2=02x - y - 2 = 0 ou encore y=2x2y = 2x - 2.

Propriétés

Soient D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 deux droites respectivement de vecteurs directeurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}. Alors :

  • D1\mathcal{D}_1 est parallèle à D2\mathcal{D}_2 si et seulement si u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires.

  • D1\mathcal{D}_1 est perpendiculaire à D2\mathcal{D}_2 si et seulement si uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0.

Orthogonalité

Si uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 alors u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont dits orthogonaux.

Vecteurs normaux à une droite

Définition

Soient D\mathcal{D} une droite de vecteur directeur u\overrightarrow{u} et n\overrightarrow{n} un vecteur du plan non nul. Alors n\overrightarrow{n} est un vecteur normal à D\mathcal{D} si u\overrightarrow{u} et n\overrightarrow{n} sont orthogonaux entre-eux.

De plus, on a la propriété suivante qui peut s’avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs normaux

m\overrightarrow{m} est un vecteur normal à D\mathcal{D} si et seulement s’il est colinéaire au vecteur n\overrightarrow{n} précédent.

Tous les vecteurs normaux d’une droite sont donc colinéaires entre-eux.

Il est facile de trouver un vecteur normal à une droite dont on connaît l’équation cartésienne.

Coordonnées d’un vecteur normal

Soit D\mathcal{D} une droite définie par l’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0. Alors n=(ab)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} est un vecteur normal à D\mathcal{D}.

Soient D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 deux droites respectivement de vecteurs directeurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}. Alors :

D1\mathcal{D}_1 est perpendiculaire à D2\mathcal{D}_2 si et seulement si u\overrightarrow{u} est normal à D2\mathcal{D}_2.

Exemple

Déterminons l’équation cartésienne de la droite D\mathcal{D} admettant pour vecteur normal n=(11)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1\end{pmatrix} et passant par l’origine O=(0;0)O = (0; 0).

On a déjà aa et bb par la propriété précédente : a=1a = -1 b=1b = -1

Une équation cartésienne de la droite est xy+c=0-x - y + c = 0. Il reste à trouver cc. Mais comme D\mathcal{D} passe par l’origine, les coordonnées de OO vérifient l’équation cartésienne de D\mathcal{D}.

Remplaçons xx et yy par les coordonnées de OO dans l’équation cartésienne : c=0c = 0. L’équation cartésienne recherchée est donc xy=0-x - y = 0 ou encore y=xy = -x.

Description d’un cercle

De la même manière que pour les droites, il est possible de décrire l’ensemble des points appartenant à un cercle à l’aide d’une équation.

Description par équation cartésienne

Soit C\mathcal{C} un cercle de centre O=(xO;yO)O = (x_O; y_O) et de rayon RR.

Une équation cartésienne de C\mathcal{C} est de la forme (xxO)2+(yyO)2=R2(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 = R^2 avec xx et yy qui sont des coordonnées de points.

On peut de manière équivalente, décrire un cercle à l’aide du produit scalaire.

Description par produit scalaire

Soient AA et BB deux points du plan. Alors l’ensemble des points MM tels que MAMB=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

Démonstration

En réalité, les deux points précédents sont deux manières différentes de décrire un cercle.

Vous avez aimé ce cours ?

Faîtes-le nous savoir dans les commentaires !

Avatar (prévisualisation)
avatar

Anonyme cc

cc

16/01/2021 19:36:31