I – Le produit scalaire

1. Définition

Définition

Soient et deux vecteurs du plan (c'est-à-dire possédant chacun deux coordonnées).

Le produit scalaire entre et , noté est le réel suivant :

.

Propriétés

Soient , et des vecteurs du plan et , on a les propriétés suivantes :

À l'aide du produit scalaire, il est possible de calculer la norme d'un vecteur.

Calcul de la norme

Soit un vecteur du plan : sa norme (notée ) vaut .

Caractéristiques d'un vecteur

On rappelle qu'un vecteur possède 3 caractéristiques :

  • Une norme (sa longueur, par exemple si alors )
  • Un sens (exemple : de vers ou de haut en bas)
  • Une direction (la direction de la droite que porte le vecteur, horizontale ou verticale par exemple)

2. Calcul

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le produit scalaire en fonction de la situation dans laquelle on se trouve.

Calcul avec un angle

Soient , deux vecteurs du plan et l'angle orienté entre les deux. On a :

Calcul avec un projeté orthogonal

Soient , et trois points distincts du plan. On pose le projeté orthogonal de sur . Alors :

  • Si alors
  • Si alors

Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.

Formule de polarisation

Soient et deux vecteurs du plan :

.

Utilisation des formules

Il faut vraiment trouver la formule à utiliser selon l'énoncé de l'exercice.

Par exemple, si on se trouve dans un repère et que l'on a les coordonnées des vecteurs, on pourra utiliser la formule de la définition. À l'inverse, si on ne possède pas les coordonnées de nos vecteurs mais que l'on possède leur normes, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.

Voici un tableau récapitulatif pour et vecteurs du plan :

DonnéesFormuleÀ utiliser si on possède...
. (Calcul à partir des coordonnées.)Les coordonnées de et .
est l'angle orienté entre et . (Calcul à partir des normes et d'un angle.)La norme de , la norme de et l'angle entre les deux vecteurs.
et sont les deux extrémités de , et sont les deux extrémités de , et est le projeté orthogonal de sur . si et sinon. (Calcul à partir d'une projection orthogonale.)3 points distincts (qui sont ici , et ).
(Calcul à partir des normes.)On possède la norme de , celle de mais surtout celle de .

3. Théorème d'Al-Kashi

Le théorème d'Al-Kashi permet de calculer la longueur des côtés de n'importe quel triangle, qu'il soit rectangle ou non. Ainsi,

Théorème d'Al-Kashi

Soient , et trois points du plan non alignés (formant donc un triangle). On pose , et . Alors :

Démonstration

II – Géométrie

1. Équation cartésienne d'une droite

Définition

Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite par une équation appelée équation cartésienne.

Une équation cartésienne de est de la forme avec , et réels, et où et sont des coordonnées de points.

Il est très facile de dire si oui ou non un point appartient à une droite si l'on possède l'équation cartésienne de cette droite.

Par exemple, on définit la droite par l'équation .

Est-ce-que appartient à ? Remplaçons et par les coordonnées de : : c'est faux donc n'appartient pas à car les coordonnées de ne vérifient par l'équation cartésienne de .

Est-ce-que appartient à ? Remplaçons et par les coordonnées de : : c'est vrai donc appartient à car les coordonnées de vérifient l'équation cartésienne de .

2. Vecteurs directeurs d'une droite

Définition

Soient une droite et un vecteur du plan non nul. Alors est un vecteur directeur de s'il existe deux points et appartenant à et tels que .

De plus, on a la propriété suivante qui peut s'avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs directeurs

est un vecteur directeur de si et seulement s'il est colinéaire au vecteur précédent.

Tous les vecteurs directeurs d'une droite sont donc colinéaires entre eux.

Exemple

Soit la droite définie par l'équation , montrons que est un vecteur directeur de .

Prenons deux points au hasard situés sur cette droite :

donne , donc le point appartient à .

donne , donc le point appartient à .

Ainsi, un vecteur directeur de est .

Il reste à vérifier que et sont bien colinéaires, pour cela on peut utiliser la formule vue en seconde :

: et sont bien colinéaires et donc est un vecteur directeur de .

Il est facile de trouver un vecteur directeur d'une droite dont on connaît l'équation cartésienne.

Coordonnées d'un vecteur directeur

Soit une droite définie par l'équation . Alors est un vecteur directeur de .

Exemple

Déterminons l'équation cartésienne de la droite de vecteur directeur et passant par .

On a déjà et par la propriété précédente :

Une équation cartésienne de la droite est . Il reste à trouver . Mais comme passe par , les coordonnées de vérifient l'équation cartésienne de .

Remplaçons et par les coordonnées de dans l'équation cartésienne : .

L'équation cartésienne recherchée est donc ou encore .

Propriétés

Soient et deux droites respectivement de vecteurs directeurs et . Alors :

  • est parallèle à si et seulement si et sont colinéaires.
  • est perpendiculaire à si et seulement si .

Orthogonalité

Si alors et sont dits orthogonaux.

3. Vecteurs normaux à une droite

Définition

Soient une droite de vecteur directeur et un vecteur du plan non nul. Alors est un vecteur normal à si et sont orthogonaux entre-eux.

De plus, on a la propriété suivante qui peut s'avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs normaux

est un vecteur normal à si et seulement s'il est colinéaire au vecteur précédent.

Tous les vecteurs normaux d'une droite sont donc colinéaires entre-eux.

Il est facile de trouver un vecteur normal à une droite dont on connaît l'équation cartésienne.

Coordonnées d'un vecteur normal

Soit une droite définie par l'équation . Alors est un vecteur normal à .

Soient et deux droites respectivement de vecteurs directeurs et . Alors :

est perpendiculaire à si et seulement si est normal à .

Exemple

Déterminons l'équation cartésienne de la droite admettant pour vecteur normal et passant par l'origine .

On a déjà et par la propriété précédente :

Une équation cartésienne de la droite est . Il reste à trouver . Mais comme passe par l'origine, les coordonnées de vérifient l'équation cartésienne de .

Remplaçons et par les coordonnées de dans l'équation cartésienne : .

L'équation cartésienne recherchée est donc ou encore .

4. Description d'un cercle

De la même manière que pour les droites, il est possible de décrire l'ensemble des points appartenant à un cercle à l'aide d'une équation.

Description par équation cartésienne

Soit un cercle de centre et de rayon .

Une équation cartésienne de est de la forme avec et qui sont des coordonnées de points.

On peut de manière équivalente, décrire un cercle à l'aide du produit scalaire.

Description par produit scalaire

Soient et deux points du plan. Alors l'ensemble des points tels que est le cercle de diamètre .

Démonstration

En réalité, les deux points précédents sont deux manières différentes de décrire un cercle.

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