Première
I – Le produit scalaire
1. Définition
Définition
Soient
Le produit scalaire entre
Propriétés
Soient
À l'aide du produit scalaire, il est possible de calculer la norme d'un vecteur.
Calcul de la norme
Soit
Caractéristiques d'un vecteur
On rappelle qu'un vecteur possède 3 caractéristiques :
- Une norme (sa longueur, par exemple si
- Un sens (exemple : de
- Une direction (la direction de la droite que porte le vecteur, horizontale ou verticale par exemple)
2. Calcul
Il existe plusieurs méthodes pour calculer le produit scalaire en fonction de la situation dans laquelle on se trouve.
Calcul avec un angle
Soient
Calcul avec un projeté orthogonal
Soient
- Si
- Si
Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.
Formule de polarisation
Soient
Utilisation des formules
Il faut vraiment trouver la formule à utiliser selon l'énoncé de l'exercice.
Par exemple, si on se trouve dans un repère et que l'on a les coordonnées des vecteurs, on pourra utiliser la formule de la définition. À l'inverse, si on ne possède pas les coordonnées de nos vecteurs mais que l'on possède leur normes, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.
Voici un tableau récapitulatif pour
| Données | Formule | À utiliser si on possède... |
|---|---|---|
| Les coordonnées de | ||
| La norme de | ||
| 3 points distincts (qui sont ici | ||
| On possède la norme de |
3. Théorème d'Al-Kashi
Le théorème d'Al-Kashi permet de calculer la longueur des côtés de n'importe quel triangle, qu'il soit rectangle ou non. Ainsi,
Théorème d'Al-Kashi
Soient
II – Géométrie
1. Équation cartésienne d'une droite
Définition
Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite
Une équation cartésienne de
Il est très facile de dire si oui ou non un point appartient à une droite si l'on possède l'équation cartésienne de cette droite.
Par exemple, on définit la droite
Est-ce-que
Est-ce-que
2. Vecteurs directeurs d'une droite
Définition
Soient
De plus, on a la propriété suivante qui peut s'avérer très utile :
Colinéarité des vecteurs directeurs
Tous les vecteurs directeurs d'une droite sont donc colinéaires entre eux.
Exemple
Soit
Prenons deux points au hasard situés sur cette droite :
Ainsi, un vecteur directeur de
Il reste à vérifier que
Il est facile de trouver un vecteur directeur d'une droite dont on connaît l'équation cartésienne.
Coordonnées d'un vecteur directeur
Soit
Exemple
Déterminons l'équation cartésienne de la droite
On a déjà
Une équation cartésienne de la droite est
Remplaçons
L'équation cartésienne recherchée est donc
Propriétés
Soient
Orthogonalité
Si
3. Vecteurs normaux à une droite
Définition
Soient
De plus, on a la propriété suivante qui peut s'avérer très utile :
Colinéarité des vecteurs normaux
Tous les vecteurs normaux d'une droite sont donc colinéaires entre-eux.
Il est facile de trouver un vecteur normal à une droite dont on connaît l'équation cartésienne.
Coordonnées d'un vecteur normal
Soit
Soient
Exemple
Déterminons l'équation cartésienne de la droite
On a déjà
Une équation cartésienne de la droite est
Remplaçons
L'équation cartésienne recherchée est donc
4. Description d'un cercle
De la même manière que pour les droites, il est possible de décrire l'ensemble des points appartenant à un cercle à l'aide d'une équation.
Description par équation cartésienne
Soit
Une équation cartésienne de
On peut de manière équivalente, décrire un cercle à l'aide du produit scalaire.
Description par produit scalaire
Soient
En réalité, les deux points précédents sont deux manières différentes de décrire un cercle.