Définition

Soient $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$ deux vecteurs du plan (c’est-à-dire possédant chacun deux coordonnées).

Le produit scalaire entre $u$ et $v$, noté $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ est le réel suivant : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

Propriétés

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs du plan et $\lambda \in \mathbb{R}$, on a les propriétés suivantes :

• $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$

• $\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}$

• $\lambda (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot (\lambda \overrightarrow{v})$

Calcul de la norme

Soit $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ un vecteur du plan : sa norme (notée $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$) vaut $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

Caractéristiques d’un vecteur

On rappelle qu’un vecteur possède 3 caractéristiques :

• Une norme (sa longueur, par exemple si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ alors $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =AB$)

• Un sens (exemple : de $A$ vers $B$ ou de haut en bas)

• Une direction (la direction de la droite que porte le vecteur, horizontale ou verticale par exemple)

Calcul avec un angle

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan et $\theta$ l’angle orienté entre les deux. On a : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos (\theta )$$

Calcul avec un projeté orthogonal

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan. On pose $P$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Alors :

• Si $P\in [AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AP$

• Si $P\notin [AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AP$

Formule de polarisation

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Alors : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2\right)$$

Utilisation des formules

Il faut vraiment trouver la formule à utiliser selon l’énoncé de l’exercice.

Par exemple, si on se trouve dans un repère et que l’on a les coordonnées des vecteurs, on pourra utiliser la formule de la définition. À l’inverse, si on ne possède pas les coordonnées de nos vecteurs mais que l’on possède leur normes, il est possible d’utiliser la formule de polarisation.

Voici un tableau récapitulatif pour $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ vecteurs du plan :

Théorème d’Al-Kashi

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan non alignés (formant donc un triangle). On pose $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$. Alors : $$c^2=a^2+b^2-2\times a\times b\times \cos (\widehat{ACB})$$

Théorème d’Al-Kashi

En reprenant les notations de l’énoncé : $$\begin{array}{rl}{c}^2& =\Vert \overrightarrow{AB}{\Vert }^2\\ & =\Vert \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}{\Vert }^2\text{ (par la relation de Chasles)}\\ & =\Vert \overrightarrow{CB}{\Vert }^2-2(\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA})+\Vert \overrightarrow{CA}{\Vert }^2\text{ (par la formule de polarisation)}\\ & =C{B}^2-2(CB\times CA\times \cos (\widehat{ACB}))+C{A}^2\\ & =a^2+b^2-2\times a\times b\times \cos (\widehat{ACB})\end{array}$$

Définition

Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite $\mathcal{D}$ par une équation appelée équation cartésienne.

Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est de la forme $ax+by+c=0$ avec $a\ne 0$, $b\ne 0$ et $c$ réels, et où $x$ et $y$ sont des coordonnées de points.

Il est très facile de dire si oui ou non un point appartient à une droite si l’on possède l’équation cartésienne de cette droite.

Par exemple, on définit la droite $\mathcal{D}$ par l’équation $y=x-1$.

Est-ce-que $A=(0;1)$ appartient à $\mathcal{D}$ ? Remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $1=-1$ : c’est faux donc $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$ car les coordonnées de $A$ ne vérifient par l’équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

Est-ce-que $B=(4;3)$ appartient à $\mathcal{D}$ ? Remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées de $B$ : $3=3$ : c’est vrai donc $B$ appartient à $\mathcal{D}$ car les coordonnées de $B$ vérifient l’équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

Définition

Soient $\mathcal{D}$ une droite et $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan non nul. Alors $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ s’il existe deux points $A$ et $B$ appartenants à $\mathcal{D}$ et tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$.

Colinéarité des vecteurs directeurs

$\overrightarrow{v}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ si et seulement s’il est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{u}$ précédent.

Exemple

Soit $\mathcal{D}$ la droite définie par l’équation $y=2x+1$, montrons que $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

Prenons deux points au hasard situés sur cette droite :
$x=0$ donne $y=1$, donc le point $A=(0;1)$ appartient à $\mathcal{D}$.
$x=1$ donne $y=3$, donc le point $B=(1;3)$ appartient à $\mathcal{D}$.

Ainsi, un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}1-0\\ 3-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.

Il reste à vérifier que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont bien colinéaires, pour cela on peut utiliser la formule vue en seconde :
$2\times 2-1\times 4=0$ : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont bien colinéaires et donc $\overrightarrow{v}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

Coordonnées d’un vecteur directeur

Soit $\mathcal{D}$ une droite définie par l’équation $ax+by+c=0$. Alors $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

Exemple

Déterminons l’équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ et passant par $A=(1;0)$.

On a déjà $a$ et $b$ par la propriété précédente : $$-b=1⟺b=-1\text{ et }a=2$$ Une équation cartésienne de la droite est $2x-y+c=0$. Il reste à trouver $c$. Mais comme $\mathcal{D}$ passe par $A$, les coordonnées de $A$ vérifient l’équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

Remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ dans l’équation cartésienne : $$2+c=0⟺c=-2$$ L’équation cartésienne recherchée est donc $2x-y-2=0$ ou encore $y=2x-2$.

Propriétés

Soient ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ deux droites respectivement de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Alors :

• ${\mathcal{D}}_1$ est parallèle à ${\mathcal{D}}_2$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

• ${\mathcal{D}}_1$ est perpendiculaire à ${\mathcal{D}}_2$ si et seulement si $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

Orthogonalité

Si $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits orthogonaux.

Définition

Soient $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ un vecteur du plan non nul. Alors $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux entre-eux.

Colinéarité des vecteurs normaux

$\overrightarrow{m}$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$ si et seulement s’il est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ précédent.

Coordonnées d’un vecteur normal

Soit $\mathcal{D}$ une droite définie par l’équation $ax+by+c=0$. Alors $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$.

${\mathcal{D}}_1$ est perpendiculaire à ${\mathcal{D}}_2$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est normal à ${\mathcal{D}}_2$.

Exemple

Déterminons l’équation cartésienne de la droite $\mathcal{D}$ admettant pour vecteur normal $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)$ et passant par l’origine $O=(0;0)$.

On a déjà $a$ et $b$ par la propriété précédente :
$a=-1$
$b=-1$

Une équation cartésienne de la droite est $-x-y+c=0$. Il reste à trouver $c$. Mais comme $\mathcal{D}$ passe par l’origine, les coordonnées de $O$ vérifient l’équation cartésienne de $\mathcal{D}$.

Remplaçons $x$ et $y$ par les coordonnées de $O$ dans l’équation cartésienne : $c=0$. L’équation cartésienne recherchée est donc $-x-y=0$ ou encore $y=-x$.

Description par équation cartésienne

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O=(x_O;y_O)$ et de rayon $R$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est de la forme $(x-x_O{)}^2+(y-y_O{)}^2=R^2$ avec $x$ et $y$ qui sont des coordonnées de points.

Description par produit scalaire

Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Alors l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.

Description par produit scalaire

On pose $A=(x_A;y_A)$, $B=(x_B;y_B)$ et on cherche les points $M=(x;y)$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

Soit $O$ le milieu de $[AB]$ : $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0& ⟺(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})=0\\ & ⟺(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot (\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA})=0\\ & ⟺(\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{MO})-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA})=0\\ & ⟺M{O}^2-O{A}^2=0\\ & ⟺MO=OA\end{array}$$ Donc l’ensemble cherché est l’ensemble des points situés à une distance $OA$ du point $O$, c’est bien le cercle de centre $O$ et de diamètre $[AB]$.