I – Le produit scalaire

1. Définition

Définition

Soient et deux vecteurs du plan (c'est-à-dire possédant chacun deux coordonnées).

Le produit scalaire entre et , noté est le réel suivant :

.

Propriétés

Soient , et des vecteurs du plan et , on a les propriétés suivantes :

À l'aide du produit scalaire, il est possible de calculer la norme d'un vecteur.

Calcul de la norme

Soit un vecteur du plan : sa norme (notée ) vaut .

2. Calcul

Il existe plusieurs méthode pour calculer le produit scalaire en fonction de la situation dans laquelle on se trouve.

Calcul avec un angle

Soient , deux vecteurs du plan et l'angle orienté entre les deux. On a :

Calcul avec un projeté orthogonal

Soient , et trois points distincts du plan. On pose le projeté orthogonal de sur . Alors :

  • Si alors
  • Si alors

Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d'utiliser la formule de polarisation.

Formule de polarisation

Soient et deux vecteurs du plan :

.

3. Théorème d'Al-Kashi

Le théorème d'Al-Kashi permet de calculer la longueur des côtés de n'importe quel triangle, qu'il soit rectangle ou non. Ainsi,

Théorème d'Al-Kashi

Soient , et trois points du plan non alignés (formant donc un triangle). On pose , et . Alors :

II – Géométrie

1. Équation cartésienne d'une droite

Définition

Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite par une équation appelée équation cartésienne.

Une équation cartésienne de est de la forme avec , et réels, et où et sont des coordonnées de points.

2. Vecteurs directeurs d'une droite

Définition

Soient une droite et un vecteur du plan non nul. Alors est un vecteur directeur de s'il existe deux points et appartenant à et tels que .

De plus, on a la propriété suivante qui peut s'avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs directeurs

est un vecteur directeur de si et seulement s'il est colinéaire au vecteur précédent.

Tous les vecteurs directeurs d'une droite sont donc colinéaires entre eux.

Il est facile de trouver un vecteur directeur d'une droite dont on connaît l'équation cartésienne.

Coordonnées d'un vecteur directeur

Soit une droite définie par l'équation . Alors est un vecteur directeur de .

Propriétés

Soient et deux droites respectivement de vecteurs directeurs et . Alors :

  • est parallèle à si et seulement si et sont colinéaires.
  • est perpendiculaire à si et seulement si .

Orthogonalité

Si alors et sont dits orthogonaux.

3. Vecteurs normaux à une droite

Définition

Soient une droite de vecteur directeur et un vecteur du plan non nul. Alors est un vecteur normal à si et sont orthogonaux entre eux.

De plus, on a la propriété suivante qui peut s'avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs normaux

est un vecteur normal à si et seulement s'il est colinéaire au vecteur précédent.

Tous les vecteurs normaux d'une droite sont donc colinéaires entre eux.

Il est facile de trouver un vecteur normal à une droite dont on connaît l'équation cartésienne.

Coordonnées d'un vecteur normal

Soit une droite définie par l'équation . Alors est un vecteur normal à .

Soient et deux droites respectivement de vecteurs directeurs et . Alors :

est perpendiculaire à si et seulement si est normal à .

4. Description d'un cercle

De la même manière que pour les droites, il est possible de décrire l'ensemble des points appartenant à un cercle à l'aide d'une équation.

Description par équation cartésienne

Soit un cercle de centre et de rayon .

Une équation cartésienne de est de la forme avec et qui sont des coordonnées de points.

On peut de manière équivalente, décrire un cercle à l'aide du produit scalaire.

Description par produit scalaire

Soient et deux points du plan. Alors l'ensemble des points tels que est le cercle de diamètre .

En réalité, les deux points précédents sont deux manières différentes de décrire un cercle.