Le produit scalaire

Définition

Définition

Soient u=(x1y1)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x_1} \\ {y_1}\end{pmatrix} et v=(x2y2)\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} {x_2} \\ {y_2}\end{pmatrix} deux vecteurs du plan (c’est-à-dire possédant chacun deux coordonnées).

Le produit scalaire entre uu et vv, noté uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} est le réel suivant :

uv=x1x2+y1y2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2.

Propriétés

Soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} des vecteurs du plan et λR\lambda \in \mathbb{R}, on a les propriétés suivantes :

  • uv=vu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}

  • u(v+w)=uv+uw\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}

  • λ(uv)=(λu)v=u(λv)\lambda(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = (\lambda \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{v})

À l’aide du produit scalaire, il est possible de calculer la norme d’un vecteur.

Calcul de la norme

Soit u=(xy)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} {x} \\ {y} \end{pmatrix} un vecteur du plan : sa norme (notée u||\overrightarrow{u}||) vaut u=uu=x2+y2||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}} = \sqrt{x^2 + y^2}.

Calcul

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le produit scalaire en fonction de la situation dans laquelle on se trouve.

Calcul avec un angle

Soient u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan et θ\theta l’angle orienté entre les deux. On a :

uv=u×v×cos(θ)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\theta)

Calcul avec un projeté orthogonal

Soient AA, BB et CC trois points distincts du plan. On pose PP le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB). Alors :

  • Si P[AB)P \in [AB) alors ABAC=AB×AP\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AP

  • Si P[AB)P \notin [AB) alors ABAC=AB×AP\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - AB \times AP

Si on ne possède que les normes de nos vecteurs, il est possible d’utiliser la formule de polarisation.

Formule de polarisation

Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs du plan : uv=12(u+v2u2v2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \displaystyle{\frac{1}{2} \left(||\overrightarrow{u + v}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2\right)}.

Théorème d’Al-Kashi

Le théorème d’Al-Kashi permet de calculer la longueur des côtés de n’importe quel triangle, qu’il soit rectangle ou non. Ainsi,

Théorème d’Al-Kashi

Soient AA, BB et CC trois points du plan non alignés (formant donc un triangle). On pose a=BCa = BC, b=CAb = CA et c=ABc = AB. Alors :

c2=a2+b22×a×b×cos(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2 \times a \times b \times \cos(\widehat{ACB})

Géométrie

Équation cartésienne d’une droite

Définition

Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite D\mathcal{D} par une équation appelée équation cartésienne.

Une équation cartésienne de D\mathcal{D} est de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec a0a \neq 0, b0b \neq 0 et cc réels, et où xx et yy sont des coordonnées de points.

Vecteurs directeurs d’une droite

Définition

Soient D\mathcal{D} une droite et u\overrightarrow{u} un vecteur du plan non nul. Alors u\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de D\mathcal{D} s’il existe deux points AA et BB appartenants à D\mathcal{D} et tels que u=AB\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}.

De plus, on a la propriété suivante qui peut s’avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs directeurs

v\overrightarrow{v} est un vecteur directeur de D\mathcal{D} si et seulement s’il est colinéaire au vecteur u\overrightarrow{u} précédent.

Tous les vecteurs directeurs d’une droite sont donc colinéaires entre eux.

Il est facile de trouver un vecteur directeur d’une droite dont on connaît l’équation cartésienne.

Coordonnées d’un vecteur directeur

Soit D\mathcal{D} une droite définie par l’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0. Alors u=(ba)\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

Propriétés

Soient D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 deux droites respectivement de vecteurs directeurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}. Alors :

  • D1\mathcal{D}_1 est parallèle à D2\mathcal{D}_2 si et seulement si u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont colinéaires.

  • D1\mathcal{D}_1 est perpendiculaire à D2\mathcal{D}_2 si et seulement si uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0.

Orthogonalité

Si uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 alors u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont dits orthogonaux.

Vecteurs normaux à une droite

Définition

Soient D\mathcal{D} une droite de vecteur directeur u\overrightarrow{u} et n\overrightarrow{n} un vecteur du plan non nul. Alors n\overrightarrow{n} est un vecteur normal à D\mathcal{D} si u\overrightarrow{u} et n\overrightarrow{n} sont orthogonaux entre-eux.

De plus, on a la propriété suivante qui peut s’avérer très utile :

Colinéarité des vecteurs normaux

m\overrightarrow{m} est un vecteur normal à D\mathcal{D} si et seulement s’il est colinéaire au vecteur n\overrightarrow{n} précédent.

Tous les vecteurs normaux d’une droite sont donc colinéaires entre-eux.

Il est facile de trouver un vecteur normal à une droite dont on connaît l’équation cartésienne.

Coordonnées d’un vecteur normal

Soit D\mathcal{D} une droite définie par l’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0. Alors n=(ab)\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} est un vecteur normal à D\mathcal{D}.

Soient D1\mathcal{D}_1 et D2\mathcal{D}_2 deux droites respectivement de vecteurs directeurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}. Alors :

D1\mathcal{D}_1 est perpendiculaire à D2\mathcal{D}_2 si et seulement si u\overrightarrow{u} est normal à D2\mathcal{D}_2.

Description d’un cercle

De la même manière que pour les droites, il est possible de décrire l’ensemble des points appartenant à un cercle à l’aide d’une équation.

Description par équation cartésienne

Soit C\mathcal{C} un cercle de centre O=(xO;yO)O = (x_O; y_O) et de rayon RR.

Une équation cartésienne de C\mathcal{C} est de la forme (xxO)2+(yyO)2=R2(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 = R^2 avec xx et yy qui sont des coordonnées de points.

On peut de manière équivalente, décrire un cercle à l’aide du produit scalaire.

Description par produit scalaire

Soient AA et BB deux points du plan. Alors l’ensemble des points MM tels que MAMB=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

En réalité, les deux points précédents sont deux manières différentes de décrire un cercle.