Définition

Soient $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$ deux vecteurs du plan (c’est-à-dire possédant chacun deux coordonnées).

Le produit scalaire entre $u$ et $v$, noté $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ est le réel suivant : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

Propriétés

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ des vecteurs du plan et $\lambda \in \mathbb{R}$, on a les propriétés suivantes :

• $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$

• $\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}$

• $\lambda (\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})=(\lambda \overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot (\lambda \overrightarrow{v})$

Calcul de la norme

Soit $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ un vecteur du plan : sa norme (notée $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$) vaut $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

Calcul avec un angle

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan et $\theta$ l’angle orienté entre les deux. On a : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos (\theta )$$

Calcul avec un projeté orthogonal

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan. On pose $P$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Alors :

• Si $P\in [AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AP$

• Si $P\notin [AB)$ alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AP$

Formule de polarisation

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Alors : $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2\right)$$

Théorème d’Al-Kashi

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan non alignés (formant donc un triangle). On pose $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$. Alors : $$c^2=a^2+b^2-2\times a\times b\times \cos (\widehat{ACB})$$

Définition

Il est possible de décrire tous les points appartenant à une droite $\mathcal{D}$ par une équation appelée équation cartésienne.

Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est de la forme $ax+by+c=0$ avec $a\ne 0$, $b\ne 0$ et $c$ réels, et où $x$ et $y$ sont des coordonnées de points.

Définition

Soient $\mathcal{D}$ une droite et $\overrightarrow{u}$ un vecteur du plan non nul. Alors $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ s’il existe deux points $A$ et $B$ appartenants à $\mathcal{D}$ et tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$.

Colinéarité des vecteurs directeurs

$\overrightarrow{v}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ si et seulement s’il est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{u}$ précédent.

Coordonnées d’un vecteur directeur

Soit $\mathcal{D}$ une droite définie par l’équation $ax+by+c=0$. Alors $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$.

Propriétés

Soient ${\mathcal{D}}_1$ et ${\mathcal{D}}_2$ deux droites respectivement de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. Alors :

• ${\mathcal{D}}_1$ est parallèle à ${\mathcal{D}}_2$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

• ${\mathcal{D}}_1$ est perpendiculaire à ${\mathcal{D}}_2$ si et seulement si $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

Orthogonalité

Si $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits orthogonaux.

Définition

Soient $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ un vecteur du plan non nul. Alors $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$ si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont orthogonaux entre-eux.

Colinéarité des vecteurs normaux

$\overrightarrow{m}$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$ si et seulement s’il est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}$ précédent.

Coordonnées d’un vecteur normal

Soit $\mathcal{D}$ une droite définie par l’équation $ax+by+c=0$. Alors $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ est un vecteur normal à $\mathcal{D}$.

${\mathcal{D}}_1$ est perpendiculaire à ${\mathcal{D}}_2$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est normal à ${\mathcal{D}}_2$.

Description par équation cartésienne

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O=(x_O;y_O)$ et de rayon $R$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est de la forme $(x-x_O{)}^2+(y-y_O{)}^2=R^2$ avec $x$ et $y$ qui sont des coordonnées de points.

Description par produit scalaire

Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Alors l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ est le cercle de diamètre $[AB]$.