Probabilités conditionnelles

Définition

Définition

Soient AA et BB deux événements avec AA de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de BB sachant que AA est réalisé (notée PA(B)P_{A}(B)) est PA(B)=P(AB)P(A)\displaystyle{P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}.

Indépendance

Deux événements AA et BB sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur la réalisation de l’autre et réciproquement. C’est-à-dire si P(AB)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Propriétés

Pour deux événements indépendants AA et BB, on a les relations suivantes :

  • PA(B)=P(B)P_{A}(B) = P(B)

  • PB(A)=P(A)P_{B}(A) = P(A)

Arbre de probabilité

Au lycée, pour représenter visuellement des probabilités on utilise très souvent un arbre de probabilité. Nous nous limiterons ici au cas de deux événements, mais il est possible d’en rajouter encore d’autres.

Ainsi :

Définition

Soient AA et BB deux événements. L’arbre de probabilité décrivant la situation est le suivant : image

La somme (dans le sens vertical) des probabilités de chacune des branches ayant une racine commune doit toujours faire 11.

Formule des probabilités totales

Voici maintenant l’énoncé de la formule des probabilités totales, qui peut être très utile pour calculer des probabilités que l’on ne connaît pas (ou qui ne sont pas données dans un énoncé d’exercice) :

Formule des probabilités totales

Soient A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l’univers Ω\Omega, alors pour tout événement BB :

P(B)=P(BA1)+P(BA2)++P(BAn)P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \dots + P(B \cap A_n)

Variables aléatoires

Définition

Définition

Une variable aléatoire XX est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers Ω\Omega y associe un nombre réel. C’est-à-dire : X:ΩRX : \Omega \rightarrow \mathbb{R}.

L’ensemble des valeurs prises par XX est noté X(Ω)X(\Omega).

Loi de probabilité

Définition

Soit XX une variable aléatoire. La loi de probabilité de XX attribue à chaque valeur xix_i la probabilité pi=P(X=xi)p_i = P(X = x_i) de l’événement X=xiX = x_i constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par XX est xix_i.

On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit XX une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

xix_i x1x_1 x2x_2 ... xnx_n
pip_i =P(X=xi)= P(X = x_i) p1p_1 =P(X=x1)= P(X = x_1) p2p_2 =P(X=x2)= P(X = x_2) ... pnp_n =P(X=xn)= P(X = x_n)

On a p1+p2++pn=1p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L’espérance E(X)E(X) d’une variable aléatoire XX est le réel : E(X)=x1×p1+x2×p2++xn×pnE(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n.

Variance et écart-type

La variance V(X)V(X) et l’écart-type σ(X)\sigma(X) d’une variable aléatoire XX sont les réels positifs suivants :

  • V(X)=E(X2)E(X)2V(X) = E(X^2) - E(X)^2

  • σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :

Signification des paramètres

  • L’espérance est la valeur moyenne prise par XX.

  • La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.