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Probabilités conditionnelles

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $A$ de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé (notée $P_{A} (B)$ ) est $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur la réalisation de l’autre et réciproquement. C’est-à-dire si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Propriétés

Pour deux événements indépendants $A$ et $B$ , on a les relations suivantes :

$P_{A} (B) = P (B)$
$P_{B} (A) = P (A)$

Arbre de probabilité

Au lycée, pour représenter visuellement des probabilités on utilise très souvent un arbre de probabilité. Nous nous limiterons ici au cas de deux événements, mais il est possible d’en rajouter encore d’autres.

Ainsi :

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements. L’arbre de probabilité décrivant la situation est le suivant :

arbre-1

La somme (dans le sens vertical) des probabilités de chacune des branches ayant une racine commune doit toujours faire $1$ .

Formule des probabilités totales

Voici maintenant l’énoncé de la formule des probabilités totales, qui peut être très utile pour calculer des probabilités que l’on ne connaît pas (ou qui ne sont pas données dans un énoncé d’exercice) :

Formule des probabilités totales

Soient $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l’univers $Ω$ , alors pour tout événement $B$ : $P (B) = P (B \cap A_{1}) + P (B \cap A_{2}) + \dots + P (B \cap A_{n})$

Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers $Ω$ y associe un nombre réel. C’est-à-dire : $X : Ω \to R$ .

L’ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X (Ω)$ .

Loi de probabilité

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire. La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_{i}$ la probabilité $p_{i} = P (X = x_{i})$ de l’événement $X = x_{i}$ constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par $X$ est $x_{i}$ .

On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit $X$ une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

$x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	...	$x_{n}$
$p_{i}$ $= P (X = x_{i})$	$p_{1}$ $= P (X = x_{1})$	$p_{2}$ $= P (X = x_{2})$	...	$p_{n}$ $= P (X = x_{n})$

On a $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ .

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L’espérance $E (X)$ d’une variable aléatoire $X$ est le réel : $E (X) = x_{1} \times p_{1} + x_{2} \times p_{2} + \dots + x_{n} \times p_{n}$

Variance et écart-type

La variance $V (X)$ et l’écart-type $σ (X)$ d’une variable aléatoire $X$ sont les réels positifs suivants :

$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$
$σ (X) = V (X)$

Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :

Signification des paramètres

L’espérance est la valeur moyenne prise par $X$ .
La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$ . Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.