Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $A$ de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé (notée $P_A(B)$) est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur la réalisation de l’autre et réciproquement. C’est-à-dire si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Propriétés

Pour deux événements indépendants $A$ et $B$, on a les relations suivantes :

• $P_A(B)=P(B)$
• $P_B(A)=P(A)$

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements. L’arbre de probabilité décrivant la situation est le suivant :

Formule des probabilités totales

Soient $A_1,A_2,...,A_n$ des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l’univers $\Omega$, alors pour tout événement $B$ : $$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots +P(B\cap A_n)$$

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers $\Omega$ y associe un nombre réel. C’est-à-dire : $X:\Omega \to \mathbb{R}$.

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire. La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i=P(X=x_i)$ de l’événement $X=x_i$ constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par $X$ est $x_i$.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit $X$ une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

On a $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$.

Espérance

L’espérance $E(X)$ d’une variable aléatoire $X$ est le réel : $$E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\cdots +x_n\times p_n$$

Variance et écart-type

La variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma (X)$ d’une variable aléatoire $X$ sont les réels positifs suivants :

• $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$
• $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$

Signification des paramètres

• L’espérance est la valeur moyenne prise par $X$.
• La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.