I – Probabilités conditionnelles
1. Définition
Définition
Soient
Rappel
On rappelle que
Différence entre conditionnelle et intersection
Il faut faire attention, à bien faire la distinction entre une probabilité conditionnelle (Sachant qu'on a
Indépendance
Deux événements
Propriétés
Pour deux événements indépendants
2. Arbre de probabilité
Au lycée, pour représenter visuellement des probabilités on utilise très souvent un arbre de probabilité. Nous nous limiterons ici au cas de deux événements, mais il est possible d'en rajouter encore d'autres.
Ainsi :
Définition
Soient
La somme (dans le sens vertical) des probabilités de chacune des branches ayant une racine commune doit toujours faire
Exemple
Soit
Alors l'arbre permettant de modéliser la situation est le suivant :
3. Formule des probabilités totales
Voici maintenant l'énoncé de la formule des probabilités totales, qui peut être très utile pour calculer des probabilités que l'on ne connaît pas (ou qui ne sont pas données dans un énoncé d'exercice) :
Formule des probabilités totales
Soient
Exemple
En reprenant l'arbre précédent, comme
D'après la formule des probabilités totales,
II – Variables aléatoires
1. Définition
Définition
Une variable aléatoire
L'ensemble des valeurs prises par
Les variables aléatoires sont très utiles notamment pour modéliser des situations de gains ou de pertes (à un jeu d'argent par exemple).
2. Loi de probabilité
Définition
Soit
On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.
Représentation d'une loi de probabilité par un tableau
Soit
... | ||||
---|---|---|---|---|
... |
On a
Cette définition peut sembler un peu compliquée mais elle signifie juste qu'une loi de probabilité assigne une probabilité à chaque valeur prise par notre variable aléatoire.
3. Espérance, variance et écart-type
Espérance
L'espérance
Variance et écart-type
La variance
Exemple
Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type. Soit
On a :
Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :
Signification des paramètres
- L'espérance est la valeur moyenne prise par
. - La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par
. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l'espérance.