Probabilités conditionnelles

Définition

Définition

Soient AA et BB deux événements avec AA de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de BB sachant que AA est réalisé (notée PA(B)P_{A}(B)) est PA(B)=P(AB)P(A)\displaystyle{P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}.

Rappel

On rappelle que P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).

Différence entre conditionnelle et intersection

Il faut faire attention, à bien faire la distinction entre une probabilité conditionnelle (Sachant qu’on a AA, quelle est la probabilité d’avoir BB ?) et une intersection (Quelle est la probabilité d’avoir AA et BB à la fois ?).

Indépendance

Deux événements AA et BB sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur la réalisation de l’autre et réciproquement. C’est-à-dire si P(AB)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Propriétés

Pour deux événements indépendants AA et BB, on a les relations suivantes :

  • PA(B)=P(B)P_{A}(B) = P(B)

  • PB(A)=P(A)P_{B}(A) = P(A)

Arbre de probabilité

Au lycée, pour représenter visuellement des probabilités on utilise très souvent un arbre de probabilité. Nous nous limiterons ici au cas de deux événements, mais il est possible d’en rajouter encore d’autres.

Ainsi :

Définition

Soient AA et BB deux événements. L’arbre de probabilité décrivant la situation est le suivant : image

La somme (dans le sens vertical) des probabilités de chacune des branches ayant une racine commune doit toujours faire 11.

Exemple

Soit AA et BB deux événements non-indépendants tels que P(A)=47P(A) = \frac{4}{7}, PA(B)=14P_{A}(B) = \frac{1}{4} et PAˉ(B)=59P_{\bar{A}}(B) = \frac{5}{9}. Alors l’arbre permettant de modéliser la situation est le suivant : image

Formule des probabilités totales

Voici maintenant l’énoncé de la formule des probabilités totales, qui peut être très utile pour calculer des probabilités que l’on ne connaît pas (ou qui ne sont pas données dans un énoncé d’exercice) :

Formule des probabilités totales

Soient A1,A2,...,AnA_1, A_2, ..., A_n des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l’univers Ω\Omega, alors pour tout événement BB :

P(B)=P(BA1)+P(BA2)++P(BAn)P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \dots + P(B \cap A_n)

Exemple

En reprenant l’arbre précédent, comme AA et Aˉ\bar{A} recouvrent notre univers (en effet, soit on tombe sur AA, soit on tombe sur Aˉ\bar{A} : pas d’autre issue possible), calculons P(B)P(B) :

image D’après la formule des probabilités totales, P(B)=P(BA)+P(BAˉ)=107252P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) = \frac{107}{252}.

Variables aléatoires

Définition

Définition

Une variable aléatoire XX est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers Ω\Omega y associe un nombre réel. C’est-à-dire : X:ΩRX : \Omega \rightarrow \mathbb{R}.

L’ensemble des valeurs prises par XX est noté X(Ω)X(\Omega).

Les variables aléatoires sont très utiles notamment pour modéliser des situations de gains ou de pertes (à un jeu d’argent par exemple).

Loi de probabilité

Définition

Soit XX une variable aléatoire. La loi de probabilité de XX attribue à chaque valeur xix_i la probabilité pi=P(X=xi)p_i = P(X = x_i) de l’événement X=xiX = x_i constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par XX est xix_i.

On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit XX une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

xix_i x1x_1 x2x_2 ... xnx_n
pip_i =P(X=xi)= P(X = x_i) p1p_1 =P(X=x1)= P(X = x_1) p2p_2 =P(X=x2)= P(X = x_2) ... pnp_n =P(X=xn)= P(X = x_n)

On a p1+p2++pn=1p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.

Cette définition peut sembler un peu compliquée mais elle signifie juste qu’une loi de probabilité assigne une probabilité à chaque valeur prise par notre variable aléatoire.

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L’espérance E(X)E(X) d’une variable aléatoire XX est le réel : E(X)=x1×p1+x2×p2++xn×pnE(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n.

Variance et écart-type

La variance V(X)V(X) et l’écart-type σ(X)\sigma(X) d’une variable aléatoire XX sont les réels positifs suivants :

  • V(X)=E(X2)E(X)2V(X) = E(X^2) - E(X)^2

  • σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Exemple

Calcul de l’espérance, de la variance et de l’écart-type. Soit XX une variable aléatoire suivant la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous :

xix_i 1-1 00 22 66
pip_i 14\frac{1}{4} 12\frac{1}{2} 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8}

On a :

  • E(X)=1×14+0×12+2×18+6×18=34E(X) = -1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

  • V(X)=((1)2×14+02×12+22×18+62×18)(34)2=7516V(X) = ((-1)^2 \times \frac{1}{4} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{8} + 6^2 \times \frac{1}{8}) - (\frac{3}{4})^2 = \frac{75}{16}

  • σ(X)=75162.165\sigma(X) = \sqrt{\frac{75}{16}} \approx 2.165

Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :

Signification des paramètres

  • L’espérance est la valeur moyenne prise par XX.

  • La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.

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Anonyme

merci pour votre livre

28/05/2021 02:33:27
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Skyost Modérateur

Merci beaucoup pour votre commentaire ! Les exos ne sont pas encore disponibles, mais c'est quelque chose qui est très demandé et que j'ajouterai (dès que j'aurai du temps) 😉

10/09/2020 17:23:51
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Anonyme

Bonjour, merci beaucoup pour votre cours clair et bien construit, aurait il des exo disponible sur cette application !?

10/09/2020 16:20:18
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Anonyme

merci

24/06/2020 13:35:19