Première > Chapitre VII – Probabilités

Probabilités conditionnelles

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements avec $A$ de probabilité non nulle. Alors la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé (notée $P_{A}(B)$ ) est $P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .

Rappel

On rappelle que $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ .

Différence entre conditionnelle et intersection

Il faut faire attention, à bien faire la distinction entre une probabilité conditionnelle (Sachant qu’on a $A$ , quelle est la probabilité d’avoir $B$ ?) et une intersection (Quelle est la probabilité d’avoir $A$ et $B$ à la fois ?).

Indépendance

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune incidence sur la réalisation de l’autre et réciproquement. C’est-à-dire si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Propriétés

Pour deux événements indépendants $A$ et $B$ , on a les relations suivantes :

$P_{A}(B) = P(B)$
$P_{B}(A) = P(A)$

Arbre de probabilité

Au lycée, pour représenter visuellement des probabilités on utilise très souvent un arbre de probabilité. Nous nous limiterons ici au cas de deux événements, mais il est possible d’en rajouter encore d’autres.

Ainsi :

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements. L’arbre de probabilité décrivant la situation est le suivant :

La somme (dans le sens vertical) des probabilités de chacune des branches ayant une racine commune doit toujours faire $1$ .

Exemple

Soit $A$ et $B$ deux événements non-indépendants tels que $P(A) = \frac{4}{7}$ , $P_{A}(B) = \frac{1}{4}$ et $P_{\bar{A}}(B) = \frac{5}{9}$ . Alors l’arbre permettant de modéliser la situation est le suivant :

Formule des probabilités totales

Voici maintenant l’énoncé de la formule des probabilités totales, qui peut être très utile pour calculer des probabilités que l’on ne connaît pas (ou qui ne sont pas données dans un énoncé d’exercice) :

Formule des probabilités totales

Soient $A_1, A_2, ..., A_n$ des événements qui partitionnent (qui recouvrent) l’univers $\Omega$ , alors pour tout événement $B$ : $P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \dots + P(B \cap A_n)$

Exemple

En reprenant l’arbre précédent, comme $A$ et $\bar{A}$ recouvrent notre univers (en effet, soit on tombe sur $A$ , soit on tombe sur $\bar{A}$ : pas d’autre issue possible), calculons $P(B)$ :

D’après la formule des probabilités totales, $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) = \frac{107}{252}$ .

Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers $\Omega$ y associe un nombre réel. C’est-à-dire : $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ .

L’ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega)$ .

Les variables aléatoires sont très utiles notamment pour modéliser des situations de gains ou de pertes (à un jeu d’argent par exemple).

Loi de probabilité

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire. La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de l’événement $X = x_i$ constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par $X$ est $x_i$ .

On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit $X$ une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

$x_i$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
$p_i$ $= P(X = x_i)$	$p_1$ $= P(X = x_1)$	$p_2$ $= P(X = x_2)$	...	$p_n$ $= P(X = x_n)$

On a $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$ .

Cette définition peut sembler un peu compliquée mais elle signifie juste qu’une loi de probabilité assigne une probabilité à chaque valeur prise par notre variable aléatoire.

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L’espérance $E(X)$ d’une variable aléatoire $X$ est le réel : $E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n$

Variance et écart-type

La variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ d’une variable aléatoire $X$ sont les réels positifs suivants :

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Exemple

Calcul de l’espérance, de la variance et de l’écart-type. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous :

$x_i$	$-1$	$0$	$2$	$6$
$p_i$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

On a :

$E(X) = -1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$
$V(X) = ((-1)^2 \times \frac{1}{4} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{8} + 6^2 \times \frac{1}{8}) - (\frac{3}{4})^2 = \frac{75}{16}$
$\sigma(X) = \sqrt{\frac{75}{16}} \approx 2.165$

Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :

Signification des paramètres

L’espérance est la valeur moyenne prise par $X$ .
La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$ . Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.

Chapitre VII – Probabilités

Probabilités conditionnelles

Définition

Définition

Rappel

Différence entre conditionnelle et intersection

Indépendance

Propriétés

Arbre de probabilité

Définition

Exemple

Formule des probabilités totales

Formule des probabilités totales

Exemple

Variables aléatoires

Définition

Définition

Loi de probabilité

Définition

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Espérance, variance et écart-type

Espérance

Variance et écart-type

Exemple

Signification des paramètres

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