Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

• Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.

• Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Exemple

On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ainsi :

• $u_n=n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ ($(u_n)$ est définie par son terme général).

• $(v_n)=\{\begin{array}{l}{v}_0=0\\ v_{n+1}=v_n+1\text{ pour tout }n\ge 1\end{array}$ ($(v_n)$ est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont égales.

À ne pas confondre :

• $(u_n)$ qui est la suite $(u_n)$.

• $u_n$ qui est le $n$-ième terme de la suite $(u_n)$.

Ce ne sont pas les mêmes objets : le premier est une suite, le second est un réel.

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si elle est de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ avec $r\in \mathbb{R}$.

Raison

Le réel $r$ est la raison de la suite (si $r>0$, $(u_n)$ est strictement croissante, si $r<0$, $(u_n)$ est strictement décroissante et si $r=0$, $(u_n)$ est constante).

Terme général

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout $n\ge p$ : $$u_n=u_p+(n-p)\times r$$ Et si $(u_n)$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p=0$), alors pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $$u_n=u_0+(n-0)\times r=u_0+n\times r$$

Terme général

On a $u_{p+1}=u_p+r$. Puis, $u_{p+2}=u_{p+1}+r=u_p+r+r=u_p+2\times r$. De même, $u_{p+3}=u_{p+2}+r=u_p+3\times r$ et caetera. En fait, pour tout $k$ entier plus grand que $p$, on a $u_{p+k}=u_p+k\times r$. Donc si on pose $n=p+k$, alors $u_n=u_p+(n-p)\times r$.

Somme des termes

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Somme des termes

On pose pour tout $n\in \mathbb{N}$, $S_n=1+2+\cdots +n$. On a également $S_n=n+(n-1)+\cdots +1$ (en écrivant la somme à l’envers). D’où $S_n+S_n=2S_n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)}}=n\times (n+1)$. Et ainsi $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Exemple

On souhaite calculer $S=24+25+\cdots +104$.

En fait, $S=1+2+\cdots +23+24+25+\cdots +104-(1+2+\cdots +23)$. Calculons les deux sommes séparément :

• $1+2+\cdots +23=\frac{23\times 24}{2}=276$

• $1+2+\cdots +104=\frac{104\times 105}{2}=5460$

D’où $S=5460-276=5184$.

Définition

Une suite $(v_n)$ est dite géométrique si elle est de la forme $v_{n+1}=v_n\times q$ avec $q\in \mathbb{R}$.

Raison

Le réel $q$ est la raison de la suite (si $q>1$, $(v_n)$ est strictement croissante, si $0<q<1$, $(v_n)$ est strictement décroissante et si $q=1$ ou $0$, $(v_n)$ est constante).

Terme général

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout $n\ge p$ : $$v_n=v_p\times q^{n-p}$$ Et si $(u_n)$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p=0$), alors pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $$v_n=v_0\times q^{n-0}=v_0\times q^n$$

Terme général

On a $v_{p+1}=v_p\times q$. Puis, $v_{p+2}=v_{p+1}\times q=v_p\times q\times q=v_p\times q^2$. De même, $v_{p+3}=v_{p+2}\times q=v_p\times q^3$ et caetera. En fait, pour tout $k$ entier plus grand que $p$, on a $v_{p+k}=v_p\times q^k$. Donc si on pose $n=p+k$, alors $v_n=v_p\times q^{n-p}$.

Somme des termes

Soit $n\ne 0$ un entier et $q$ un réel, alors :

• Si $q\ne 1$, alors $1+q^1+q^2+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

• Si $q=1$, alors $1+q^1+q^2+\cdots +q^n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{1+1+1+\cdots +1}}=n$.

Somme des termes

Le cas $q=1$ étant donné juste au-dessus, on supposera $q\ne 1$. On pose pour tout $n\in \mathbb{N}$, $S_n=1+q^1+q^2+\cdots +q^n$.

On a : $q{S}_n=q^1+q^2+q^3+\cdots +q^{n+1}$, puis : $S_n-q{S}_n=1+q^1+q^2+\cdots +q^n-q^1-q^2-q^3-\cdots -q^{n+1}=1-q^{n+1}$.

Donc on a en factorisant par $S_n$ : $(1-q)S_n=1-q^{n+1}⟺S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exemple

On souhaite calculer $S=3^5+3^6+\cdots +3^{10}$.

En fait, $S=1+3+\cdots +3^4+3^5+3^6+\cdots +3^{10}-(1+\cdots +3^4)$. Calculons les deux sommes séparément :

• $1+3+\cdots +3^4=\frac{1-3^5}{1-3}=121$

• $1+3+\cdots +3^{10}=\frac{1-3^{11}}{1-3}=88573$

D’où $S=88573-121=88452$.

Définition

Soit $(u_n)$ une suite.

• $(u_n)$ est croissante si on a $u_{n+1}\ge u_n$ (ou $u_{n+1}-u_n\ge 0$) pour tout $n\in \mathbb{N}$.

• $(u_n)$ est décroissante si on a $u_{n+1}\le u_n$ (ou $u_{n+1}-u_n\le 0$) pour tout $n\in \mathbb{N}$.

• $(u_n)$ est dite constante s’il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $u_n=c$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Définition

Soit $(u_n)$ une suite.

• Si $(u_n)$ tend vers un réel quand $n$ tend vers $+\infty$, on dit qu’elle converge.

• Si $(u_n)$ tend vers une limite infinie quand $n$ tend vers $+\infty$, on dit qu’elle diverge.

Exemple

On définit la suite $(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=\frac{1}{n}$. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en $+\infty$. Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de $n$ très grandes :

Il semble que cette suite converge vers 0.

Exemple

On définit la suite $(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=(-1{)}^n$. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en $+\infty$.

En fait, si $n$ est pair cette suite vaut $1$ et si $n$ est impair elle vaut $-1$. Cette suite n’admet donc pas de limite : elle diverge.

Méthode pour une suite définie par récurrence

Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence. Pour représenter $(u_n)$ dans un graphique :

1. On trace la droite d’équation $y=x$.

2. Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier $n$ on a une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$. Il s’agit de tracer la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$.

3. On place le point $A$ de coordonnées $(u_0;0)$

4. On trace une droite verticale passant par $A$, son intersection avec ${\mathcal{C}}_f$ donne un point $B=(u_0;u_1)$.

5. À l’aide du point $B$, on place le point $C=(0;u_1)$.

6. On trace une droite horizontale passant par $C$, son intersection avec la droite $y=x$ donne un point $D=(u_1;u_1)$.

7. Une fois le point $D$ obtenu, on place le point $(u_1;0)$.

8. On recommence l’opération en remplaçant $u_0$ par $u_1$ et $u_1$ par $u_2$, puis on recommence, etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite $(u_n)=\{\begin{array}{l}{u}_0=3\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{2}\end{array}$.

Méthode pour une suite définie par son terme général

Soit $(v_n)$ une suite définie par son terme général. Pour représenter $(v_n)$ dans un graphique :

1. On place le point de coordonnées $(0;v_0)$.

2. On place le point de coordonnées $(1;v_1)$.

3. On place le point de coordonnées $(2;v_2)$. Etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $v_n=2^n$.