Généralités

Définition

On appelle suite une fonction de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ N\mathbb{N} et va les amener dans l’ensemble d’arrivée R\mathbb{R}.

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang n+1n+1.

  • Par son terme général : On donne le nn-ième terme de la suite en fonction de nn.

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Suites arithmétiques

Définition

Une suite (un)(u_n) est dite arithmétique si elle est de la forme un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r avec rRr \in \mathbb{R}.

Raison

Le réel rr est la raison de la suite (si r>0r > 0, (un)(u_n) est strictement croissante, si r<0r < 0, (un)(u_n) est strictement décroissante et si r=0r = 0, (un)(u_n) est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite arithmétique :

Terme général

On note pp le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

un=up+(np)×ru_n = u_p + (n-p) \times r

Et si (un)(u_n) est définie à partir du rang 00 (on a p=0p = 0) :

un=u0+(n0)×r=u0+n×ru_n = u_0 + (n-0) \times r = u_0 + n \times r

Somme des termes

1+2++n=n(n+1)2\displaystyle{1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}} pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Suites géométriques

Définition

Une suite (vn)(v_n) est dite géométrique si elle est de la forme vn+1=vn×qv_{n+1} = v_n \times q avec qRq \in \mathbb{R}.

Raison

Le réel qq est la raison de la suite (si q>1q > 1, (vn)(v_n) est strictement croissante, si 0<q<10 < q < 1, (vn)(v_n) est strictement décroissante et si q=1q = 1 ou 00, (vn)(v_n) est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite géométrique :

Terme général

On note pp le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

vn=vp×qnpv_n = v_p \times q^{n-p}

Et si (vn)(v_n) est définie à partir du rang 00 (on a p=0p = 0) :

vn=v0×qn0=v0×qnv_n = v_0 \times q^{n-0} = v_0 \times q^n

Somme des termes

Soit n0n \neq 0 un entier et qq un réel, alors :

  • Si q1q \neq 1, alors 1+q1+q2++qn=1qn+11q\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}}.

  • Si q=1q = 1, alors 1+q1+q2++qn=1+1+1++1n fois=n\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \dots + q^n = \underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{n \text{ fois}} = n}.

Étude des suites

Sens de variation

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • (un)(u_n) est croissante si on a un+1unu_{n+1} \geq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \geq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est décroissante si on a un+1unu_{n+1} \leq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \leq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est dite constante s’il existe cRc \in \mathbb{R} tel que un=cu_n = c pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Introduction aux limites

Quand on souhaite s’intéresser à la limite d’une suite (un)(u_n), on étudie le comportement de ses termes quandnn devient très grand. On préfère dire alors que nn tend vers ++\infty.

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • Si (un)(u_n) tend vers un réel quand nn tend vers ++\infty, on dit qu’elle converge.

  • Si (un)(u_n) tend vers une limite infinie quand nn tend vers ++\infty, on dit qu’elle diverge.

À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.

Représentation graphique

Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.

Méthode pour une suite définie par récurrence

Soit (un)(u_n) une suite définie par récurrence. Pour représenter (un)(u_n) dans un graphique :

  1. On trace la droite d’équation y=xy = x.

  2. Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier nn on a une relation du type un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n). Il s’agit de tracer la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff.

  3. On place le point AA de coordonnées (u0;0)(u_0; 0)

  4. On trace une droite verticale passant par AA, son intersection avec Cf\mathcal{C}_f donne un point B=(u0;u1)B = (u_0; u_1).

  5. À l’aide du point BB, on place le point C=(0;u1)C = (0; u_1).

  6. On trace une droite horizontale passant par CC, son intersection avec la droite y=xy = x donne un point D=(u1;u1)D = (u_1; u_1).

  7. Une fois le point DD obtenu, on place le point (u1;0)(u_1; 0).

  8. On recommence l’opération en remplaçant u0u_0 par u1u_1 et u1u_1 par u2u_2, puis on recommence, etc.

Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.

Méthode pour une suite définie par son terme général

Soit (vn)(v_n) une suite définie par son terme général. Pour représenter (vn)(v_n) dans un graphique :

  1. On place le point de coordonnées (0;v0)(0; v_0).

  2. On place le point de coordonnées (1;v1)(1; v_1).

  3. On place le point de coordonnées (2;v2)(2; v_2). Etc.