Qu'est-ce qu'une suite ?

Définition

On appelle suite une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : cette fonction va prendre des éléments de l'ensemble de départ $\mathbb{N}$ et va les amener dans l'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$.

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
  • Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si elle est de la forme $u_{n+1} = u_n + r$ avec $r \in \mathbb{R}$.

Le réel $r$ est la raison de la suite (si $r \gt 0$, $(u_n)$ est strictement croissante, si $r \lt 0$, $(u_n)$ est strictement décroissante et si $r = 0$, $(u_n)$ est constante).

Il est possible de trouver le terme général d'une suite arithmétique :

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

$u_n = u_p + (n-p) \times r$

Et si $(u_n)$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :

$u_n = u_0 + (n-0) \times r = u_0 + n \times r$

$\displaystyle{1 + 2 + \text{...} + n = \frac{n(n + 1)}{2}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Suites géométriques

Une suite $(v_n)$ est dite géométrique si elle est de la forme $v_{n+1} = v_n \times q$ avec $q \in \mathbb{R}$.

Le réel $q$ est la raison de la suite (si $q \gt 1$, $(v_n)$ est strictement croissante, si $0 \lt q \lt 1$, $(v_n)$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$, $(v_n)$ est constante).

Il est possible de trouver le terme général d'une suite géométrique :

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

$v_n = v_p \times q^{n-p}$

Et si $(v_n)$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :

$v_n = v_0 \times q^{n-0} = v_0 \times q^n$

Soit $n \neq 0$ un entier et $q$ un réel, alors :

  • Si $q \neq 1$, alors $\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \text{...} + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}}$.
  • Si $q = 1$, alors $\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \text{...} + q^n = \underbrace{1 + 1 + 1 + \text{...} + 1}_{n \text{ fois}} = n}$.

Étude des suites

Sens de variation

Soit $(u_n)$ une suite.

  • $(u_n)$ est croissante si on a $u_{n+1} \geq u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \geq 0$) pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  • $(u_n)$ est décroissante si on a $u_{n+1} \leq u_n$ (ou $u_{n+1} - u_n \leq 0$) pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  • $(u_n)$ est dite constante s'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $u_n = c$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Introduction aux limites

Quand on souhaite s'intéresser à la limite d'une suite $(u_n)$, on étudie le comportement de ses termes quand $n$ devient très grand. On préfère dire alors que $n$ tend vers $+\infty$.

Soit $(u_n)$ une suite.

  • Si $(u_n)$ tend vers un réel quand $n$ tend vers $+\infty$, on dit qu'elle converge.
  • Si $(u_n)$ tend vers une limite infinie quand $n$ tend vers $+\infty$, on dit qu'elle diverge.

À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.

Représentation graphique

Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.

Soit $(u_n)$ une suite définie par récurrence. Pour représenter $(u_n)$ dans un graphique :

  1. On trace la droite d'équation $y = x$.
  2. Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier $n$ on a une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$. Il s'agit de tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
  3. On place le point $A$ de coordonnées $(u_0; 0)$
  4. On trace une droite verticale passant par $A$, son intersection avec $\mathcal{C}_f$ donne un point $B = (u_0; u_1)$.
  5. À l'aide du point $B$, on place le point $C = (0; u_1)$.
  6. On trace une droite horizontale passant par $C$, son intersection avec la droite $y = x$ donne un point $D = (u_1; u_1)$.
  7. Une fois le point $D$ obtenu, on place le point $(u_1; 0)$.
  8. On recommence l'opération en remplaçant $u_0$ par $u_1$ et $u_1$ par $u_2$, puis on recommence, etc...

Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.

Soit $(v_n)$ une suite définie par son terme général. Pour représenter $(v_n)$ dans un graphique :

  1. On place le point de coordonnées $(0; v_0)$.
  2. On place le point de coordonnées $(1; v_1)$.
  3. On place le point de coordonnées $(2; v_2)$. Etc...