Première > Les suites | Bacomathiques

Définition

On appelle suite une fonction de $N$ dans $R$ : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ $N$ et va les amener dans l’ensemble d’arrivée $R$ .

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n + 1$ .
Par son terme général : On donne le $n$ -ième terme de la suite en fonction de $n$ .

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Exemple

On définit les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ainsi :

$u_{n} = n$ pour tout $n \in N$ ( $(u_{n})$ est définie par son terme général).
$(v_{n}) = {v_{0} = 0 v_{n + 1} = v_{n} + 1 pour tout n \geq 1$ ( $(v_{n})$ est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont égales.

À ne pas confondre :

$(u_{n})$ qui est la suite $(u_{n})$ .
$u_{n}$ qui est le $n$ -ième terme de la suite $(u_{n})$ .

Ce ne sont pas les mêmes objets : le premier est une suite, le second est un réel.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite $(u_{n})$ est dite arithmétique si elle est de la forme $u_{n + 1} = u_{n} + r$ avec $r \in R$ .

Raison

Le réel $r$ est la raison de la suite (si $r > 0$ , $(u_{n})$ est strictement croissante, si $r < 0$ , $(u_{n})$ est strictement décroissante et si $r = 0$ , $(u_{n})$ est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite arithmétique :

Terme général

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout $n \geq p$ : $u_{n} = u_{p} + (n - p) \times r$ Et si $(u_{n})$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$ ), alors pour tout $n \in N$ : $u_{n} = u_{0} + (n - 0) \times r = u_{0} + n \times r$

Démonstration

Terme général

On a $u_{p + 1} = u_{p} + r$ . Puis, $u_{p + 2} = u_{p + 1} + r = u_{p} + r + r = u_{p} + 2 \times r$ . De même, $u_{p + 3} = u_{p + 2} + r = u_{p} + 3 \times r$ et caetera. En fait, pour tout $k$ entier plus grand que $p$ , on a $u_{p + k} = u_{p} + k \times r$ . Donc si on pose $n = p + k$ , alors $u_{n} = u_{p} + (n - p) \times r$ .

Somme des termes

Pour tout $n \in N^{*}$ , $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Démonstration

Somme des termes

On pose pour tout $n \in N$ , $S_{n} = 1 + 2 + \dots + n$ . On a également $S_{n} = n + (n - 1) + \dots + 1$ (en écrivant la somme à l’envers). D’où $S_{n} + S_{n} = 2 S_{n} = n fois (n + 1) + (n + 1) + \dots + (n + 1) = n \times (n + 1)$ . Et ainsi $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Exemple

On souhaite calculer $S = 24 + 25 + \dots + 104$ .

En fait, $S = 1 + 2 + \dots + 23 + 24 + 25 + \dots + 104 - (1 + 2 + \dots + 23)$ . Calculons les deux sommes séparément :

$1 + 2 + \dots + 23 = \frac{23 \times 24}{2} = 276$
$1 + 2 + \dots + 104 = \frac{104 \times 105}{2} = 5460$

D’où $S = 5460 - 276 = 5184$ .

Suites géométriques

Définition

Une suite $(v_{n})$ est dite géométrique si elle est de la forme $v_{n + 1} = v_{n} \times q$ avec $q \in R$ .

Raison

Le réel $q$ est la raison de la suite (si $q > 1$ , $(v_{n})$ est strictement croissante, si $0 < q < 1$ , $(v_{n})$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$ , $(v_{n})$ est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite géométrique :

Terme général

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout $n \geq p$ : $v_{n} = v_{p} \times q^{n - p}$ Et si $(u_{n})$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$ ), alors pour tout $n \in N$ : $v_{n} = v_{0} \times q^{n - 0} = v_{0} \times q^{n}$

Démonstration

Terme général

On a $v_{p + 1} = v_{p} \times q$ . Puis, $v_{p + 2} = v_{p + 1} \times q = v_{p} \times q \times q = v_{p} \times q^{2}$ . De même, $v_{p + 3} = v_{p + 2} \times q = v_{p} \times q^{3}$ et caetera. En fait, pour tout $k$ entier plus grand que $p$ , on a $v_{p + k} = v_{p} \times q^{k}$ . Donc si on pose $n = p + k$ , alors $v_{n} = v_{p} \times q^{n - p}$ .

Somme des termes

Soit $n \neq = 0$ un entier et $q$ un réel, alors :

Si $q \neq = 1$ , alors $1 + q^{1} + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
Si $q = 1$ , alors $1 + q^{1} + q^{2} + \dots + q^{n} = n fois 1 + 1 + 1 + \dots + 1 = n$ .

Démonstration

Somme des termes

Le cas $q = 1$ étant donné juste au-dessus, on supposera $q \neq = 1$ . On pose pour tout $n \in N$ , $S_{n} = 1 + q^{1} + q^{2} + \dots + q^{n}$ .

On a : $q S_{n} = q^{1} + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n + 1}$ , puis : $S_{n} - q S_{n} = 1 + q^{1} + q^{2} + \dots + q^{n} - q^{1} - q^{2} - q^{3} - \dots - q^{n + 1} = 1 - q^{n + 1}$ .

Donc on a en factorisant par $S_{n}$ : $(1 - q) S_{n} = 1 - q^{n + 1} ⟺ S_{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Exemple

On souhaite calculer $S = 3^{5} + 3^{6} + \dots + 3^{10}$ .

En fait, $S = 1 + 3 + \dots + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + \dots + 3^{10} - (1 + \dots + 3^{4})$ . Calculons les deux sommes séparément :

$1 + 3 + \dots + 3^{4} = \frac{1 - 3 ^{5}}{1 - 3} = 121$
$1 + 3 + \dots + 3^{10} = \frac{1 - 3 ^{11}}{1 - 3} = 88573$

D’où $S = 88573 - 121 = 88452$ .

Sens de variation

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite.

$(u_{n})$ est croissante si on a $u_{n + 1} \geq u_{n}$ (ou $u_{n + 1} - u_{n} \geq 0$ ) pour tout $n \in N$ .
$(u_{n})$ est décroissante si on a $u_{n + 1} \leq u_{n}$ (ou $u_{n + 1} - u_{n} \leq 0$ ) pour tout $n \in N$ .
$(u_{n})$ est dite constante s’il existe $c \in R$ tel que $u_{n} = c$ pour tout $n \in N$ .

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Introduction aux limites

Quand on souhaite s’intéresser à la limite d’une suite $(u_{n})$ , on étudie le comportement de ses termes quand $n$ devient très grand. On préfère dire alors que $n$ tend vers $+ \infty$ .

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite.

Si $(u_{n})$ tend vers un réel quand $n$ tend vers $+ \infty$ , on dit qu’elle converge.
Si $(u_{n})$ tend vers une limite infinie quand $n$ tend vers $+ \infty$ , on dit qu’elle diverge.

Exemple

On définit la suite $(u_{n})$ pour tout $n \in N$ par $u_{n} = \frac{1}{n}$ . On souhaite trouver la limite possible de cette suite en $+ \infty$ . Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de $n$ très grandes :

$100$	$0, 01$
$1000$	$0, 001$
$100000$	$0, 00001$
$1000000000$	$0, 000000001$

Il semble que cette suite converge vers 0.

À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.

Exemple

On définit la suite $(u_{n})$ pour tout $n \in N$ par $u_{n} = (- 1)^{n}$ . On souhaite trouver la limite possible de cette suite en $+ \infty$ .

$100$	$1$
$101$	$- 1$
$1000000$	$1$
$1000001$	$- 1$

En fait, si $n$ est pair cette suite vaut $1$ et si $n$ est impair elle vaut $- 1$ . Cette suite n’admet donc pas de limite : elle diverge.

Représentation graphique

Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.

Méthode pour une suite définie par récurrence

Soit $(u_{n})$ une suite définie par récurrence. Pour représenter $(u_{n})$ dans un graphique :

On trace la droite d’équation $y = x$ .
Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier $n$ on a une relation du type $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Il s’agit de tracer la courbe représentative $C_{f}$ de la fonction $f$ .
On place le point $A$ de coordonnées $(u_{0}; 0)$
On trace une droite verticale passant par $A$ , son intersection avec $C_{f}$ donne un point $B = (u_{0}; u_{1})$ .
À l’aide du point $B$ , on place le point $C = (0; u_{1})$ .
On trace une droite horizontale passant par $C$ , son intersection avec la droite $y = x$ donne un point $D = (u_{1}; u_{1})$ .
Une fois le point $D$ obtenu, on place le point $(u_{1}; 0)$ .
On recommence l’opération en remplaçant $u_{0}$ par $u_{1}$ et $u_{1}$ par $u_{2}$ , puis on recommence, etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite $(u_{n}) = {u_{0} = 3 u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2}$ .

Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.

Méthode pour une suite définie par son terme général

Soit $(v_{n})$ une suite définie par son terme général. Pour représenter $(v_{n})$ dans un graphique :

On place le point de coordonnées $(0; v_{0})$ .
On place le point de coordonnées $(1; v_{1})$ .
On place le point de coordonnées $(2; v_{2})$ . Etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite $(v_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $v_{n} = 2^{n}$ .

Généralités

Définition

Définition

Exemple

Suites arithmétiques

Définition

Raison

Terme général

Terme général

Somme des termes

Somme des termes

Exemple

Suites géométriques

Définition

Raison

Terme général

Terme général

Somme des termes

Somme des termes

Exemple

Étude des suites

Sens de variation

Définition

Introduction aux limites

Définition

Exemple

Exemple

Représentation graphique

Méthode pour une suite définie par récurrence

Exemple

Méthode pour une suite définie par son terme général

Exemple

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