Généralités

Définition

On appelle suite une fonction de N\mathbb{N} dans R\mathbb{R} : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ N\mathbb{N} et va les amener dans l’ensemble d’arrivée R\mathbb{R}.

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang n+1n+1.

  • Par son terme général : On donne le nn-ième terme de la suite en fonction de nn.

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Exemple

On définit les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) ainsi :

  • un=nu_n = n pour tout nNn \in \mathbb{N} ((un)(u_n) est définie par son terme général).

  • (vn)={v0=0vn+1=vn+1 pour tout n1(v_n) = \begin{cases} v_0 = 0 \\ v_{n+1} = v_n + 1 \text{ pour tout } n \geq 1 \end{cases} ((vn)(v_n) est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont égales.

À ne pas confondre :

  • (un)(u_n) qui est la suite (un)(u_n).

  • unu_n qui est le nn-ième terme de la suite (un)(u_n).

Ce ne sont pas les mêmes objets : le premier est une suite, le second est un réel.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite (un)(u_n) est dite arithmétique si elle est de la forme un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r avec rRr \in \mathbb{R}.

Raison

Le réel rr est la raison de la suite (si r>0r > 0, (un)(u_n) est strictement croissante, si r<0r < 0, (un)(u_n) est strictement décroissante et si r=0r = 0, (un)(u_n) est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite arithmétique :

Terme général

On note pp le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

un=up+(np)×ru_n = u_p + (n-p) \times r

Et si (un)(u_n) est définie à partir du rang 00 (on a p=0p = 0) :

un=u0+(n0)×r=u0+n×ru_n = u_0 + (n-0) \times r = u_0 + n \times r

Démonstration

Somme des termes

1+2++n=n(n+1)2\displaystyle{1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}} pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Démonstration

Exemple

On souhaite calculer S=24+25++104S = 24 + 25 + \dots + 104.

En fait, S=1+2++23+24+25++104(1+2++23)S = 1 + 2 + \dots + 23 + 24 + 25 + \dots + 104 - (1 + 2 + \dots + 23). Calculons les deux sommes séparément :

  • 1+2++23=23×242=2761 + 2 + \dots + 23 = \displaystyle{\frac{23 \times 24}{2}} = 276

  • 1+2++104=104×1052=54601 + 2 + \dots + 104 = \displaystyle{\frac{104 \times 105}{2}} = 5460

D’où S=5460276=5184S = 5460 - 276 = 5184.

Suites géométriques

Définition

Une suite (vn)(v_n) est dite géométrique si elle est de la forme vn+1=vn×qv_{n+1} = v_n \times q avec qRq \in \mathbb{R}.

Raison

Le réel qq est la raison de la suite (si q>1q > 1, (vn)(v_n) est strictement croissante, si 0<q<10 < q < 1, (vn)(v_n) est strictement décroissante et si q=1q = 1 ou 00, (vn)(v_n) est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite géométrique :

Terme général

On note pp le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

vn=vp×qnpv_n = v_p \times q^{n-p}

Et si (vn)(v_n) est définie à partir du rang 00 (on a p=0p = 0) :

vn=v0×qn0=v0×qnv_n = v_0 \times q^{n-0} = v_0 \times q^n

Démonstration

Somme des termes

Soit n0n \neq 0 un entier et qq un réel, alors :

  • Si q1q \neq 1, alors 1+q1+q2++qn=1qn+11q\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}}.

  • Si q=1q = 1, alors 1+q1+q2++qn=1+1+1++1n fois=n\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \dots + q^n = \underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{n \text{ fois}} = n}.

Démonstration

Exemple

On souhaite calculer S=35+36++310S = 3^5 + 3^6 + \dots + 3^{10}.

En fait, S=1+3++34+35+36++310(1++34)S = 1 + 3 + \dots + 3^4 + 3^5 + 3^6 + \dots + 3^{10} - (1 + \dots + 3^4). Calculons les deux sommes séparément :

  • 1+3++34=13513=1211 + 3 + \dots + 3^4 = \displaystyle{\frac{1 - 3^5}{1 - 3}} = 121

  • 1+3++310=131113=885731 + 3 + \dots + 3^{10} = \displaystyle{\frac{1 - 3^{11}}{1 - 3}} = 88573

D’où S=88573121=88452S = 88573 - 121 = 88452.

Étude des suites

Sens de variation

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • (un)(u_n) est croissante si on a un+1unu_{n+1} \geq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \geq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est décroissante si on a un+1unu_{n+1} \leq u_n (ou un+1un0u_{n+1} - u_n \leq 0) pour tout nNn \in \mathbb{N}.

  • (un)(u_n) est dite constante s’il existe cRc \in \mathbb{R} tel que un=cu_n = c pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Introduction aux limites

Quand on souhaite s’intéresser à la limite d’une suite (un)(u_n), on étudie le comportement de ses termes quandnn devient très grand. On préfère dire alors que nn tend vers ++\infty.

Définition

Soit (un)(u_n) une suite.

  • Si (un)(u_n) tend vers un réel quand nn tend vers ++\infty, on dit qu’elle converge.

  • Si (un)(u_n) tend vers une limite infinie quand nn tend vers ++\infty, on dit qu’elle diverge.

Exemple

On définit la suite (un)(u_n) pour tout nNn \in \mathbb{N} par un=1nu_n = \frac{1}{n}. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en ++ \infty. Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de nn très grandes :

100100 0,010,01
10001 000 0,0010,001
100000100 000 0,000010,000 01
10000000001 000 000 000 0,0000000010,000 000 001

Il semble que cette suite converge vers 0.

À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.

Exemple

On définit la suite (un)(u_n) pour tout nNn \in \mathbb{N} par un=(1)nu_n = (-1)^n. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en ++ \infty.

100100 11
101101 1-1
10000001 000 000 11
10000011 000 001 1-1

En fait, si nn est pair cette suite vaut 11 et si nn est impair elle vaut 1-1. Cette suite n’admet donc pas de limite : elle diverge.

Représentation graphique

Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.

Méthode pour une suite définie par récurrence

Soit (un)(u_n) une suite définie par récurrence. Pour représenter (un)(u_n) dans un graphique :

  1. On trace la droite d’équation y=xy = x.

  2. Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier nn on a une relation du type un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n). Il s’agit de tracer la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff.

  3. On place le point AA de coordonnées (u0;0)(u_0; 0)

  4. On trace une droite verticale passant par AA, son intersection avec Cf\mathcal{C}_f donne un point B=(u0;u1)B = (u_0; u_1).

  5. À l’aide du point BB, on place le point C=(0;u1)C = (0; u_1).

  6. On trace une droite horizontale passant par CC, son intersection avec la droite y=xy = x donne un point D=(u1;u1)D = (u_1; u_1).

  7. Une fois le point DD obtenu, on place le point (u1;0)(u_1; 0).

  8. On recommence l’opération en remplaçant u0u_0 par u1u_1 et u1u_1 par u2u_2, puis on recommence, etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite (un)={u0=3un+1=un2(u_n) = \begin{cases} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} \end{cases}.

Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.

Méthode pour une suite définie par son terme général

Soit (vn)(v_n) une suite définie par son terme général. Pour représenter (vn)(v_n) dans un graphique :

  1. On place le point de coordonnées (0;v0)(0; v_0).

  2. On place le point de coordonnées (1;v1)(1; v_1).

  3. On place le point de coordonnées (2;v2)(2; v_2). Etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite (vn)(v_n) définie pour tout nNn \in \mathbb{N} par vn=2nv_n = 2^n.

Vous avez aimé ce cours ?

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Anonyme

je ne comprends pas bien

25/09/2021 10:16:17
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Anonyme

merci infiniment

05/09/2021 22:33:06
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Anonyme

Merci beaucoup

03/07/2021 12:18:02
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K.

Merci pour le travail et l'implication. Tout fonctionne bien et la présentation est agréable et aéré vraiment appréciable. Bravo pour le travail. Toutefois sur ce chapitre je pense qu'un exemple pour trouver le terme général d'une suite arithmétique et une pour la géométrique permettrait de mieux visualiser le fonctionnement des formules.

23/02/2021 00:16:38
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Skyost Modérateur

Le pourquoi du comment ? Eh bien le but de ce site n'est pas de faire des activités introductives (qui sont plutôt réservées aux cours avec un professeur), mais les suites géométriques sont un type particulier de suites, analogues aux suites arithmétiques (en quelque sorte; si les suites arithmétiques sont le "+", alors les suites géométriques sont le "x"). Ce genre de suites sert à modéliser et à étudier des évolutions relatives (un taux d'évolution d'année en année par exemple).

07/12/2020 23:41:04
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sbub sbub

sur les suites géométriques il n'y a pas assez d'explication du pourquoi et du comment

07/12/2020 22:45:10
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mrc

mrc

02/11/2020 10:50:05
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Anonyme

merde pour vrai dire moi je ne comprends pas 🤦‍♂️

27/10/2020 18:27:03
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Anonyme

franchement j'ai rien compris 🤷‍♀️

10/10/2020 08:02:27
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Skyost Modérateur

Merci beaucoup 😉

02/09/2020 22:17:20
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خديجة ‏

جزاكم الله خيرا

02/09/2020 17:34:09