Chapitre I – Les suites

Niveau : Première Difficulté du cours :

Qu'est-ce qu'une suite ?

Définition

On appelle suite une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : cette fonction va prendre des éléments d'un ensemble de départ $\mathbb{N}$ et va les amener dans un ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$.

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.
  • Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Exemple : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on définit les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ainsi :

$u_n = n$ ($(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie par son terme général).

$(v_n)_{n \in \mathbb{N}} = \begin{cases} v_0 = 0 \\ v_{n+1} = v_n + 1 \end{cases}$ ($(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont égales.

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d'autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmétique si elle est de la forme :

$u_{n+1} = u_n + r$ avec $r \in \mathbb{R}$.

Le réel $r$ est la raison de la suite (si $r \gt 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, si $r \lt 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et si $r = 0$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante). Il est possible de trouver le terme général d'une suite arithmétique :

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

$u_n = u_p + (n-p) \times r$

Et si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :

$u_n = u_0 + (n-0) \times r = u_0 + n \times r$

On a $u_{p+1} = u_p + r$. Puis, $u_{p+2} = u_{p+1} + r = u_p + r + r = u_p + 2 \times r$. De même, $u_{p+3} = u_{p+2} + r = u_p + 3 \times r$ et caetera.

En fait, pour tout $k$ entier plus grand que $p$, on a $u_{p+k} = u_p + k \times r$.

Donc si on pose $n = p+k$, alors $u_n = u_p + (n-p) \times r$.

Soit $n$ un entier, alors :

$\displaystyle{1 + 2 + \text{...} + n = \frac{n(n + 1)}{2}}$

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $S_n = 1 + 2 + \text{...} + n$. On a également $S_n = n + (n-1) + \text{...} + 1$ (en écrivant la somme à l'envers).

D'où $S_n + S_n = 2S_n = \underbrace{(n + 1) + (n + 1) + \text{...} + (n + 1)}_{n \text{ fois}} = n \times (n + 1)$. Et ainsi $\displaystyle{S_n = \frac{n(n + 1)}{2}}$.

Exemple : On souhaite calculer $S = 24 + 25 + \text{...} + 104$.

En fait, $S = 1 + 2 + \text{...} + 23 + 24 + 25 + \text{...} + 104 - (1 + 2 + \text{...} + 23)$. Calculons les deux sommes séparément :

  • $1 + 2 + \text{...} + 23 = \displaystyle{\frac{23 \times 24}{2}} = 276$
  • $1 + 2 + \text{...} + 104 = \displaystyle{\frac{104 \times 105}{2}} = 5460$

D'où $S = 5460 - 276 = 5184$.

Suites géométriques

Une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite géométrique si elle est de la forme :

$v_{n+1} = v_n \times q$ avec $q \in \mathbb{R}$.

Le réel $q$ est la raison de la suite (si $q \gt 1$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante, si $0 \lt q \lt 1$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et si $q = 1$ ou $0$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante). Il est possible de trouver le terme général d'une suite géométrique :

On note $p$ le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie) :

$v_n = v_p \times q^{n-p}$

Et si $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie à partir du rang $0$ (on a $p = 0$) :

$v_n = v_0 \times q^{n-0} = v_0 \times q^n$

On a $v_{p+1} = v_p \times q$. Puis, $v_{p+2} = v_{p+1} \times q = v_p \times q \times q = v_p \times q^2$. De même, $v_{p+3} = v_{p+2} \times q = v_p \times q^3$ et caetera.

En fait, pour tout $k$ entier plus grand que $p$, on a $v_{p+k} = v_p \times q^k$.

Donc si on pose $n = p+k$, alors $v_n = v_p \times q^{n-p}$.

Soit $n \neq 0$ un entier et $q$ un réel, alors :

  • Si $q \neq 1$, alors $\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \text{...} + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}}$.
  • Si $q = 1$, alors $\displaystyle{1 + q^1 + q^2 + \text{...} + q^n = \underbrace{1 + 1 + 1 + \text{...} + 1}_{n \text{ fois}} = n}$.

Le cas $q = 1$ étant donné juste au dessus, on supposera $q \neq 1$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $S_n = 1 + q^1 + q^2 + \text{...} + q^n$.

On a : $qS_n = q^1 + q^2 + q^3 + \text{...} + q^{n+1}$, puis : $S_n - qS_n = 1 + q^1 + q^2 + \text{...} + q^n - q^1 - q^2 - q^3 - \text{...} - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}$.

Donc on a en factorisant par $S_n$ : $(1 - q)S_n = 1 - q^{n+1} \iff S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Exemple : On souhaite calculer $S = 3^5 + 3^6 + \text{...} + 3^10$.

En fait, $S = 1 + 3 + \text{...} + 3^4 + 3^5 + 3^6 + \text{...} + 3^10 - (1 + \text{...} + 3^4)$. Calculons les deux sommes séparément :

  • $1 + 3 + \text{...} + 3^4 = \displaystyle{\frac{1 - 3^5}{1 - 3}} = 121$
  • $1 + 3 + \text{...} + 3^10 = \displaystyle{\frac{1 - 3^11}{1 - 3}} = 88573$

D'où $S = 88573 - 121 = 88452$.

Étude des suites

Sens de variation

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si on a :

$u_{n+1} \geq u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \geq 0$

À l'inverse, une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si on a :

$u_{n+1} \leq u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \leq 0$

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite constante si on a pour $c \in \mathbb{R}$ :

$u_{n} = u_{n+1} = c$

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Introduction aux limites

Quand on souhaite s'intéresser à la limite d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, on étudie le comportement de ses termes quand $n$ devient très grand. On préfère dire alors que $n$ tend vers $+\infty$.

  • Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers un réel, on dit qu'elle converge.
  • Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers une limite infinie, on dit qu'elle diverge.

Exemple : On définit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\displaystyle{u_n = \frac{1}{n}}$. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en $+ \infty$.

Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de $n$ très grandes :

$n$ $u_n$
$100$ $0,01$
$1 000$ $0,001$
$100 000$ $0,000 01$
$1 000 000 000$ $0,000 000 001$

Il semble que cette suite converge vers 0.

À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.

Exemple : On définit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = (-1)^n$. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en $+ \infty$.

$n$ $u_n$
$100$ $1$
$101$ $-1$
$1 000 000$ $1$
$1 000 001$ $-1$

En fait, si $n$ est pair cette suite vaut $1$ et si $n$ est impair elle vaut $-1$. Cette suite n'admet donc pas de limite : elle diverge.

Représentation graphique

Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite. Ainsi, soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite définie par récurrence :

Pour représenter $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans un graphique :

  1. On trace la droite d'équation $y = x$.
  2. Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier $n$ on a une relation du type $u_{n+1} = f(u_n)$. Il s'agit de tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
  3. On place le point $A$ de coordonnées $(u_0; 0)$
  4. On trace une droite verticale passant par $A$, son intersection avec $\mathcal{C}_f$ donne un point $B = (u_0; u_1)$.
  5. À l'aide du point $B$, on place le point $C = (0; u_1)$.
  6. On trace une droite horizontale passant par $C$, son intersection avec la droite $y = x$ donne un point $D = (u_1; u_1)$.
  7. Une fois le point $D$ obtenu, on place le point $(u_1; 0)$.
  8. On recommence l'opération en remplaçant $u_0$ par $u_1$ et $u_1$ par $u_2$, puis on recommence, etc...

Exemple : Représentation des trois premiers termes de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} = \begin{cases} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} \end{cases}$.

Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général. Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une telle suite :

Pour représenter $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans un graphique :

  1. On place le point de coordonnées $(0; v_0)$.
  2. On place le point de coordonnées $(1; v_1)$.
  3. On place le point de coordonnées $(2; v_2)$. Etc...

Exemple : Représentation des trois premiers termes de la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = 2^n$.

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