Généralités

Définition

On appelle suite une fonction de dans : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ et va les amener dans l’ensemble d’arrivée .

Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

  • Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang .

  • Par son terme général : On donne le -ième terme de la suite en fonction de .

Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...

Exemple

On définit les suites et ainsi :

  • pour tout ( est définie par son terme général).

  • ( est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, et sont égales.

À ne pas confondre :

  • qui est la suite .

  • qui est le -ième terme de la suite .

Ce ne sont pas les mêmes objets : le premier est une suite, le second est un réel.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite est dite arithmétique si elle est de la forme avec .

Raison

Le réel est la raison de la suite (si , est strictement croissante, si , est strictement décroissante et si , est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite arithmétique :

Terme général

On note le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout : Et si est définie à partir du rang (on a ), alors pour tout :

Terme général

On a . Puis, . De même, et caetera. En fait, pour tout entier plus grand que , on a . Donc si on pose , alors .

Somme des termes

Pour tout ,

Somme des termes

On pose pour tout , . On a également (en écrivant la somme à l’envers). D’où . Et ainsi .

Exemple

On souhaite calculer .

En fait, . Calculons les deux sommes séparément :

D’où .

Suites géométriques

Définition

Une suite est dite géométrique si elle est de la forme avec .

Raison

Le réel est la raison de la suite (si , est strictement croissante, si , est strictement décroissante et si ou , est constante).

Il est possible de trouver le terme général d’une suite géométrique :

Terme général

On note le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout : Et si est définie à partir du rang (on a ), alors pour tout :

Terme général

On a . Puis, . De même, et caetera. En fait, pour tout entier plus grand que , on a . Donc si on pose , alors .

Somme des termes

Soit un entier et un réel, alors :

  • Si , alors .

  • Si , alors .

Somme des termes

Le cas étant donné juste au-dessus, on supposera . On pose pour tout , .

On a : , puis : .

Donc on a en factorisant par : .

Exemple

On souhaite calculer .

En fait, . Calculons les deux sommes séparément :

D’où .

Étude des suites

Sens de variation

Définition

Soit une suite.

  • est croissante si on a (ou ) pour tout .

  • est décroissante si on a (ou ) pour tout .

  • est dite constante s’il existe tel que pour tout .

Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.

Introduction aux limites

Quand on souhaite s’intéresser à la limite d’une suite , on étudie le comportement de ses termes quand devient très grand. On préfère dire alors que tend vers .

Définition

Soit une suite.

  • Si tend vers un réel quand tend vers , on dit qu’elle converge.

  • Si tend vers une limite infinie quand tend vers , on dit qu’elle diverge.

Exemple

On définit la suite pour tout par . On souhaite trouver la limite possible de cette suite en . Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de très grandes :

Il semble que cette suite converge vers 0.

À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.

Exemple

On définit la suite pour tout par . On souhaite trouver la limite possible de cette suite en .

En fait, si est pair cette suite vaut et si est impair elle vaut . Cette suite n’admet donc pas de limite : elle diverge.

Représentation graphique

Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.

Méthode pour une suite définie par récurrence

Soit une suite définie par récurrence. Pour représenter dans un graphique :

  1. On trace la droite d’équation .

  2. Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier on a une relation du type . Il s’agit de tracer la courbe représentative de la fonction .

  3. On place le point de coordonnées

  4. On trace une droite verticale passant par , son intersection avec donne un point .

  5. À l’aide du point , on place le point .

  6. On trace une droite horizontale passant par , son intersection avec la droite donne un point .

  7. Une fois le point obtenu, on place le point .

  8. On recommence l’opération en remplaçant par et par , puis on recommence, etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite .

Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.

Méthode pour une suite définie par son terme général

Soit une suite définie par son terme général. Pour représenter dans un graphique :

  1. On place le point de coordonnées .

  2. On place le point de coordonnées .

  3. On place le point de coordonnées . Etc.

Exemple

Représentation des trois premiers termes de la suite définie pour tout par .

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Anonyme

Anonyme

je veux des exercices

28/09/2023 11:38:49
Anonyme

Anonyme

j’arrive pas à traiter un exercice vous pouvez m’aider

19/04/2023 9:22:50
Anonyme

Anonyme

vraiment cest super et merci beaucoup à vous

17/08/2022 14:58:21
Anonyme

Anonyme

Stp je connais pas où on rentre dans exercice

06/08/2022 1:11:25
Anonyme

Anonyme

il faut beaucoup d'exercice

06/06/2022 12:14:19
Ahmed

Ahmed

s’il te plaît je connais pas où ont rentré dans l’exercice

07/02/2022 19:09:55
mêtresse de français

mêtresse de français

ex1 p 38

17/11/2021 15:50:38
Anonyme

Anonyme

je ne comprends pas bien

25/09/2021 10:16:17
Anonyme

Anonyme

merci infiniment

05/09/2021 22:33:06
Anonyme

Anonyme

Merci beaucoup

03/07/2021 12:18:02
K.

K.

Merci pour le travail et l'implication. Tout fonctionne bien et la présentation est agréable et aéré vraiment appréciable. Bravo pour le travail. Toutefois sur ce chapitre je pense qu'un exemple pour trouver le terme général d'une suite arithmétique et une pour la géométrique permettrait de mieux visualiser le fonctionnement des formules.

23/02/2021 0:16:38
Skyost

Skyost Modérateur

Le pourquoi du comment ? Eh bien le but de ce site n'est pas de faire des activités introductives (qui sont plutôt réservées aux cours avec un professeur), mais les suites géométriques sont un type particulier de suites, analogues aux suites arithmétiques (en quelque sorte; si les suites arithmétiques sont le "+", alors les suites géométriques sont le "x"). Ce genre de suites sert notamment à modéliser et à étudier des évolutions relatives (une augmentation d'année en année par exemple).

07/12/2020 23:41:04
sbub sbub

sbub sbub

sur les suites géométriques il n'y a pas assez d'explication du pourquoi et du comment

07/12/2020 22:45:10
mrc

mrc

mrc

02/11/2020 10:50:05
Anonyme

Anonyme

merde pour vrai dire moi je ne comprends pas 🤦‍♂️

27/10/2020 18:27:03
Anonyme

Anonyme

franchement j'ai rien compris 🤷‍♀️

10/10/2020 8:02:27
Skyost

Skyost Modérateur

Merci beaucoup 😉

02/09/2020 22:17:20
خديجة ‏

خديجة ‏

جزاكم الله خيرا

02/09/2020 17:34:09