En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses termes — indexée par les entiers naturels. Ce cours va donc vous apprendre comment définir une suite et l'étudier. On y verra notamment l'étude du sens de variation, la représentation de suites dans le plan, et plus encore !
On appelle suite une fonction de N dans R : cette fonction va prendre des éléments de l’ensemble de départ N et va les amener dans l’ensemble d’arrivée R.
Définition
Il y a plusieurs manières de définir une suite :
Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang n+1.
Par son terme général : On donne le n-ième terme de la suite en fonction de n.
Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d’autres : algorithme, motifs géométriques, ...
Exemple
On définit les suites (un) et (vn) ainsi :
un=n pour tout n∈N ((un) est définie par son terme général).
(vn)={v0=0vn+1=vn+1 pour tout n≥1 ((vn) est définie par récurrence).
On remarque que bien que définies différemment, (un) et (vn) sont égales.
À ne pas confondre :
(un) qui est la suite(un).
un qui est le n-ième terme de la suite (un).
Ce ne sont pas les mêmes objets : le premier est une suite, le second est un réel.
Suites arithmétiques
Définition
Une suite (un) est dite arithmétique si elle est de la forme un+1=un+r avec r∈R.
Raison
Le réel r est la raison de la suite (si r>0, (un) est strictement croissante, si r<0, (un) est strictement décroissante et si r=0, (un) est constante).
Il est possible de trouver le terme général d’une suite arithmétique :
Terme général
On note p le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout n≥p :
un=up+(n−p)×r
Et si (un) est définie à partir du rang 0 (on a p=0), alors pour tout n∈N :
un=u0+(n−0)×r=u0+n×r
Démonstration
Terme général
On a up+1=up+r. Puis, up+2=up+1+r=up+r+r=up+2×r. De même, up+3=up+2+r=up+3×r et caetera.
En fait, pour tout k entier plus grand que p, on a up+k=up+k×r.
Donc si on pose n=p+k, alors un=up+(n−p)×r.
Somme des termes
Pour tout n∈N∗,
1+2+⋯+n=2n(n+1)
Démonstration
Somme des termes
On pose pour tout n∈N, Sn=1+2+⋯+n. On a également Sn=n+(n−1)+⋯+1 (en écrivant la somme à l’envers).
D’où Sn+Sn=2Sn=n fois(n+1)+(n+1)+⋯+(n+1)=n×(n+1). Et ainsi Sn=2n(n+1).
Exemple
On souhaite calculer S=24+25+⋯+104.
En fait, S=1+2+⋯+23+24+25+⋯+104−(1+2+⋯+23). Calculons les deux sommes séparément :
1+2+⋯+23=223×24=276
1+2+⋯+104=2104×105=5460
D’où S=5460−276=5184.
Suites géométriques
Définition
Une suite (vn) est dite géométrique si elle est de la forme vn+1=vn×q avec q∈R.
Raison
Le réel q est la raison de la suite (si q>1, (vn) est strictement croissante, si 0<q<1, (vn) est strictement décroissante et si q=1 ou 0, (vn) est constante).
Il est possible de trouver le terme général d’une suite géométrique :
Terme général
On note p le rang initial de la suite (celui à partir duquel la suite est définie). Alors, pour tout n≥p :
vn=vp×qn−p
Et si (un) est définie à partir du rang 0 (on a p=0), alors pour tout n∈N :
vn=v0×qn−0=v0×qn
Démonstration
Terme général
On a vp+1=vp×q. Puis, vp+2=vp+1×q=vp×q×q=vp×q2. De même, vp+3=vp+2×q=vp×q3 et caetera.
En fait, pour tout k entier plus grand que p, on a vp+k=vp×qk.
Donc si on pose n=p+k, alors vn=vp×qn−p.
Somme des termes
Soit n=0 un entier et q un réel, alors :
Si q=1, alors 1+q1+q2+⋯+qn=1−q1−qn+1.
Si q=1, alors 1+q1+q2+⋯+qn=n fois1+1+1+⋯+1=n.
Démonstration
Somme des termes
Le cas q=1 étant donné juste au-dessus, on supposera q=1. On pose pour tout n∈N, Sn=1+q1+q2+⋯+qn.
On a : qSn=q1+q2+q3+⋯+qn+1, puis : Sn−qSn=1+q1+q2+⋯+qn−q1−q2−q3−⋯−qn+1=1−qn+1.
Donc on a en factorisant par Sn : (1−q)Sn=1−qn+1⟺Sn=1−q1−qn+1.
Exemple
On souhaite calculer S=35+36+⋯+310.
En fait, S=1+3+⋯+34+35+36+⋯+310−(1+⋯+34). Calculons les deux sommes séparément :
1+3+⋯+34=1−31−35=121
1+3+⋯+310=1−31−311=88573
D’où S=88573−121=88452.
Étude des suites
Sens de variation
Définition
Soit (un) une suite.
(un) est croissante si on a un+1≥un (ou un+1−un≥0) pour tout n∈N.
(un) est décroissante si on a un+1≤un (ou un+1−un≤0) pour tout n∈N.
(un) est dite constante s’il existe c∈R tel que un=c pour tout n∈N.
Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.
Introduction aux limites
Quand on souhaite s’intéresser à la limite d’une suite (un), on étudie le comportement de ses termes quandn devient très grand. On préfère dire alors que n tend vers +∞.
Définition
Soit (un) une suite.
Si (un) tend vers un réel quand n tend vers +∞, on dit qu’elle converge.
Si (un) tend vers une limite infinie quand n tend vers +∞, on dit qu’elle diverge.
Exemple
On définit la suite (un) pour tout n∈N par un=n1. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en +∞.
Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de n très grandes :
100
0,01
1000
0,001
100000
0,00001
1000000000
0,000000001
Il semble que cette suite converge vers 0.
À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.
Exemple
On définit la suite (un) pour tout n∈N par un=(−1)n. On souhaite trouver la limite possible de cette suite en +∞.
100
1
101
−1
1000000
1
1000001
−1
En fait, si n est pair cette suite vaut 1 et si n est impair elle vaut −1. Cette suite n’admet donc pas de limite : elle diverge.
Représentation graphique
Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.
Méthode pour une suite définie par récurrence
Soit (un) une suite définie par récurrence. Pour représenter (un) dans un graphique :
On trace la droite d’équation y=x.
Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier n on a une relation du type un+1=f(un). Il s’agit de tracer la courbe représentative Cf de la fonction f.
On place le point A de coordonnées (u0;0)
On trace une droite verticale passant par A, son intersection avec Cf donne un point B=(u0;u1).
À l’aide du point B, on place le point C=(0;u1).
On trace une droite horizontale passant par C, son intersection avec la droite y=x donne un point D=(u1;u1).
Une fois le point D obtenu, on place le point (u1;0).
On recommence l’opération en remplaçant u0 par u1 et u1 par u2, puis on recommence, etc.
Exemple
Représentation des trois premiers termes de la suite (un)={u0=3un+1=2un.
Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.
Méthode pour une suite définie par son terme général
Soit (vn) une suite définie par son terme général. Pour représenter (vn) dans un graphique :
On place le point de coordonnées (0;v0).
On place le point de coordonnées (1;v1).
On place le point de coordonnées (2;v2). Etc.
Exemple
Représentation des trois premiers termes de la suite (vn) définie pour tout n∈N par vn=2n.
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Anonyme
Stp je connais pas où on rentre dans exercice
06/08/2022 01:11:25
Anonyme
il faut beaucoup d'exercice
06/06/2022 12:14:19
Ahmed
s’il te plaît je connais pas où ont rentré dans l’exercice
Anonyme
Stp je connais pas où on rentre dans exercice
06/08/2022 01:11:25