I – Qu'est-ce qu'une suite ?
1. Définition
On appelle suite une fonction de
Définition
Il y a plusieurs manières de définir une suite :
- Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang
. - Par son terme général : On donne le
-ième terme de la suite en fonction de .
Attention ! Bien que ces deux modes de génération soient les principaux, il en existe d'autres : algorithme, motifs géométriques, ...
Exemple
On définit les suites
pour tout ( est définie par son terme général). ( est définie par récurrence).
On remarque que bien que définies différemment,
À ne pas confondre :
qui est la suite . qui est le -ième terme de la suite .
Ce ne sont pas les mêmes objets : le premier est une suite, le second est un réel.
2. Suites arithmétiques
Définition
Une suite
Raison
Le réel
Il est possible de trouver le terme général d'une suite arithmétique :
Terme général
On note
Et si
Somme des termes
Exemple
On souhaite calculer
En fait,
D'où
3. Suites géométriques
Définition
Une suite
Raison
Le réel
Il est possible de trouver le terme général d'une suite géométrique :
Terme général
On note
Et si
Somme des termes
Soit
- Si
, alors . - Si
, alors .
Exemple
On souhaite calculer
En fait,
D'où
II – Étude des suites
1. Sens de variation
Définition
Soit
est croissante si on a (ou ) pour tout . est décroissante si on a (ou ) pour tout . est dite constante s'il existe tel que pour tout .
Si une suite est croissante ou décroissante et ne change pas de variation, alors elle est dite monotone.
2. Introduction aux limites
Quand on souhaite s'intéresser à la limite d'une suite
. On préfère dire alors que
Définition
Soit
- Si
tend vers un réel quand tend vers , on dit qu'elle converge. - Si
tend vers une limite infinie quand tend vers , on dit qu'elle diverge.
Exemple
On définit la suite
Pour cela, regardons les valeurs que prend cette suite pour des valeurs de
Il semble que cette suite converge vers 0.
À savoir que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Mais il est également possible pour une suite de ne pas admettre de limite.
Exemple
On définit la suite
En fait, si
3. Représentation graphique
Il est possible de représenter graphiquement une suite. Cela peut aider, par exemple dans le but de chercher sa limite.
Méthode pour une suite définie par récurrence
Soit
- On trace la droite d'équation
. - Comme cette suite est définie par récurrence, pour tout entier
on a une relation du type . Il s'agit de tracer la courbe représentative de la fonction . - On place le point
de coordonnées - On trace une droite verticale passant par
, son intersection avec donne un point . - À l'aide du point
, on place le point . - On trace une droite horizontale passant par
, son intersection avec la droite donne un point . - Une fois le point
obtenu, on place le point . - On recommence l'opération en remplaçant
par et par , puis on recommence, etc.
Exemple
Représentation des trois premiers termes de la suite
Il est cependant plus facile de représenter graphiquement une suite dont on connaît le terme général.
Méthode pour une suite définie par son terme général
Soit
- On place le point de coordonnées
. - On place le point de coordonnées
. - On place le point de coordonnées
. Etc.
Exemple
Représentation des trois premiers termes de la suite