Continuité

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. La fonction $f$ est continue en $a$ si on a $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x) = f(a)$.

$f$ est dite continue sur $I$, si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l'intervalle $I$.

On dit de manière générale qu'une fonction est continue sur un intervalle s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

  • Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s'annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.
  • Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n'est pas vraie cependant).

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $y_0$ tel que $f(a) \lt y_0 \lt f(b)$ (ou $f(a) \gt y_0 \gt f(b)$), il existe au moins un réel $x_0 \in [a;b]$ tel que $f(x_0) = y_0$.

Enfin, il existe un corollaire permettant qui donne en plus l'unicité du point $x_0$.

Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et que $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel $y_0$ tel que $f(a) \lt y_0 \lt f(b)$ (ou $f(a) \gt y_0 \gt f(b)$), il existe un unique réel $x_0 \in [a;b]$ tel que $f(x_0) = y_0$.

La partie entière $[x]$

Soit $x \in \mathbb{R}$. La partie entière de $x$ notée $[x]$ (ou $E(x)$) est l'unique réel tel que : $[x] \leq x \lt [x] + 1$.

La fonction partie entière définie par $x \mapsto [x]$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ :

Dérivation

Nombre dérivé

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq 0$ tels que $(a + h) \in I$.

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}$

Ou en posant $x = a + h$ :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

La tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $\mathcal{T}$ au point de coordonnées $(a; f(a))$.

De plus, $f'(a)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$, et une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.

Fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ (i.e. $g(x) = f'(x)$).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f'$.

Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

  • Si $f' \gt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si $f' \lt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Il est également possible d'en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d'une fonction.

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$, et $a \in I$ :

  • Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors on a $f'(a) = 0$.
  • Si $f'(a) = 0$ et que le signe de $f'$ est différent avant et après $a$, alors $f'(a)$ est un extremum local de $f$.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
  • Si $f'(a) = 0$ et qu'on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit $\lambda$ une constante réelle.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
$\lambda$$0$$\mathbb{R}$
$x^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$$nx^{n-1}$$\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$$\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}$$\mathbb{R^*}$
$\sqrt{x}$$\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$\mathbb{R^+_*}$
$e^x$$e^x$$\mathbb{R}$
$\ln(x)$$\displaystyle{\frac{1}{x}}$$\mathbb{R^+_*}$
$\sin(x)$$\cos(x)$$\mathbb{R}$
$\cos(x)$$-\sin(x)$$\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions $u$ et $v$ :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $\lambda$ une constante réelle.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
$\lambda \times u$$\lambda \times u'$En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$$u' + v'$En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$$u' \times v + u \times v'$En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\displaystyle{\frac{1}{v}}$$\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}}$En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\displaystyle{\frac{u}{v}}$$\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Soit $u$ une fonction.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
$u^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$$nu'u^{n-1}$En tout point où $u$ est dérivable.
$\displaystyle{\frac{1}{u}}$$\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}}$En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$\sqrt{u}$$\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^u$$u'e^u$En tout point où $u$ est dérivable.
$\ln(u)$$\displaystyle{\frac{u'}{u}}$En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$\sin(u)$$u'\cos(u)$En tout point où $u$ est dérivable.
$\cos(u)$$-u'\sin(u)$En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$. On a alors $(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'$.

Convexité

Dérivée seconde d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$ dérivable sur $I$.

On appelle dérivée seconde (notée $f''$) de $f$, la fonction dérivée de $f'$.

Ainsi, pour calculer $f''$, on calcule d'abord $f'$, puis on dérive $f'$.

Fonction convexe

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$ dérivable sur $I$.

  • On dit que $f$ est convexe sur $I$ si $f''$ est positive sur $I$.
  • On dit que $f$ est concave sur $I$ si $f''$ est négative sur $I$.
  • On dit que $a \in I$ est un point d'inflexion si $f''$ change de signe en $a$ (i.e. $f''(a) = 0$ et $f''$ est positive avant $a$ puis négative après ou inversement).

Lien avec les tangentes

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$ dérivable sur $I$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.

  • $f$ est convexe sur $I$ si $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.
  • $f$ est concave sur $I$ si $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de chacune de ses tangentes sur $I$.