Continuité

Définition

Définition

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et un réel aIa \in I. La fonction ff est continue en aa si on a limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x) = f(a).

ff est dite continue sur II, si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l’intervalle II.

On dit de manière générale qu’une fonction est continue sur un intervalle s’il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

Opérations sur les fonctions continues

  • Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s’annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.

  • Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n’est pas vraie cependant).

Exemple

La fonction x1xx \mapsto \frac{1}{x} est continue en tout point de son ensemble de définition (R\mathbb{R}^{*}) mais n’est pas continue sur R\mathbb{R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction ff est continue sur un intervalle [a;b][a;b], alors pour tout réel y0y_0 tel que f(a)<y0<f(b)f(a) < y_0 < f(b) (ou f(a)>y0>f(b)f(a) > y_0 > f(b)), il existe au moins un réel x0[a;b]x_0 \in [a;b] tel que f(x0)=y0f(x_0) = y_0.

Exemple

Ce théorème est très important ! Voici un exemple : soit ff définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=x3+x2xf(x) = x^3+x^2-x. Prouvons qu’il existe au moins un réel x0[0;3]x_0 \in [0;3] tel que f(x0)=5f(x_0) = 5. On a f(0)=0f(0) = 0 et f(3)=33f(3) = 33. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme ff est continue sur [0;3][0;3] et que 0<5<330 < 5 < 33, il existe un réel x0[0,3]x_0 \in [0,3] tel que f(x0)=5f(x_0) = 5.

On peut encore tenter d’affiner la précision : f(1)=1f(1) = 1 et f(2)=10f(2) = 10. On a bien 1<5<101 < 5 < 10 donc x0[1;2]x_0 \in [1;2], etc.

Une conséquence de ce théorème est que si f(a)f(a) et f(b)f(b) sont de signes opposés, alors la fonction ff s’annule au moins une fois entre aa et bb.

Enfin, il existe un corollaire qui donne en plus l’unicité du point x0x_0.

Corollaire

Si ff est continue sur [a;b][a;b] et que ff est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel y0y_0 tel que f(a)<y0<f(b)f(a) < y_0 < f(b) (ou f(a)>y0>f(b)f(a) > y_0 > f(b)), il existe un unique réel x0[a;b]x_0 \in [a;b] tel que f(x0)=y0f(x_0) = y_0.

La partie entière [x][x]

Définition

Soit xRx \in \mathbb{R}. La partie entière de xx notée [x][x] (ou E(x)E(x)) est l’unique réel tel que : [x]x<[x]+1[x] \leq x < [x] + 1.

Exemple

[1,216]=1[1,216] = 1 et [2,198]=3[-2,198] = -3.

La fonction partie entière définie par x[x]x \mapsto [x] n’est pas continue sur R\mathbb{R} :

Dérivation

Nombre dérivé

Définition

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et deux réels aIa \in I et h0h \neq 0 tels que (a+h)I(a + h) \in I.

La fonction ff est dérivable en aa si la limite ci-dessous existe et est finie :

limh0f(a+h)f(a)h\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}

Ou en posant x=a+hx = a + h :

limxaf(x)f(a)xa\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de ff en aa, noté f(a)f'(a).

Remarque

Notez bien que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La tangente

Équation de la tangente

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et un réel aIa \in I. Si ff est dérivable en aa, alors la courbe représentative de ff admet une tangente T\mathcal{T} au point de coordonnées (a;f(a))(a; f(a)).

De plus, f(a)f'(a) est le coefficient directeur de T\mathcal{T}, et une équation de T\mathcal{T} est y=f(a)(xa)+f(a)y = f'(a)(x-a)+f(a).

Exemple

Soit f(x)=exf(x) = e^x définie sur R\mathbb{R} (voir cours sur la fonction exponentielle).

Cherchons une équation de la tangente au point d’abscisse x=0x = 0 :

On a f(x)=f(x)f'(x) = f(x) donc f(0)=1f'(0) = 1.

Par conséquent, une équation de la tangente est y=f(0)(x0)+f(0)=x+1y = f'(0)(x-0)+f(0) = x + 1 : on retrouve ce qui a été constaté sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

Fonction dérivée

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II.

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de ff la fonction gg qui à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f(x)f'(x) (i.e. g(x)=f(x)g(x) = f'(x)).

Très souvent, la fonction gg sera notée ff'.

Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction ff dérivable sur un intervalle II.

  • Si f>0f' > 0 sur II, alors ff est strictement croissante sur II.

  • Si f<0f' < 0 sur II, alors ff est strictement décroissante sur II.

  • Si f=0f' = 0 sur II, alors ff est constante sur II.

Il est également possible d’en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d’une fonction.

Étude des extrema

Soient ff dérivable sur un intervalle II, et aIa \in I :

  • Si ff admet un extremum local en aa, alors on a f(a)=0f'(a) = 0.

  • Si f(a)=0f'(a) = 0 et que le signe de ff' est différent avant et après aa, alors f(a)f'(a) est un extremum local de ff.

  • Si f(a)=0f'(a) = 0 et qu’on est négatif avant aa et positif après, cet extremum local est un minimum local.

  • Si f(a)=0f'(a) = 0 et qu’on est positif avant aa et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
λ\lambda 00 R\mathbb{R}
xnx^n avec nNn \in \mathbb{N}^* nxn1nx^{n-1} R\mathbb{R}
1x\displaystyle{\frac{1}{x}} 1x2\displaystyle{-\frac{1}{x^2}} R\mathbb{R}^*
x\sqrt{x} 12x\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}} R+\mathbb{R}^+_*
exe^x exe^x R\mathbb{R}
ln(x)\ln(x) 1x\displaystyle{\frac{1}{x}} R+\mathbb{R}^+_*
sin(x)\sin(x) cos(x)\cos(x) R\mathbb{R}
cos(x)\cos(x) sin(x)-\sin(x) R\mathbb{R}

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions uu et vv :

Soient deux fonctions uu et vv et soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
λ×u\lambda \times u λ×u\lambda \times u' En tout point où uu est dérivable.
u+vu + v u+vu' + v' En tout point où uu et vv sont dérivables.
u×vu \times v u×v+u×vu' \times v + u \times v' En tout point où uu et vv sont dérivables.
1v\displaystyle{\frac{1}{v}} vv2\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}} En tout point où vv est dérivable et non nulle.
uv\displaystyle{\frac{u}{v}} u×vu×vv2\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2} En tout point où uu et vv sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Soit uu une fonction.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
unu^n avec nNn \in \mathbb{N}^* nuun1nu'u^{n-1} En tout point où uu est dérivable.
1u\displaystyle{\frac{1}{u}} uu2\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}} En tout point où uu est dérivable et non nulle.
u\sqrt{u} u2u\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}} En tout point où uu est dérivable et strictement positive.
eue^u ueuu'e^u En tout point où uu est dérivable.
ln(u)\ln(u) uu\displaystyle{\frac{u'}{u}} En tout point où uu est dérivable et strictement positive.
sin(u)\sin(u) ucos(u)u'\cos(u) En tout point où uu est dérivable.
cos(u)\cos(u) usin(u)-u'\sin(u) En tout point où uu est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient ff dérivable sur II et gg dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par ff sur II. On a alors (gf)=(gf)×f(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'.

Fonction composée

On rappelle que la fonction gfg \circ f est la fonction définie pour tout xx par (gf)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)).

Convexité

Dérivée seconde d’une fonction

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II, de dérivée ff' dérivable sur II.

On appelle dérivée seconde (notée ff'') de ff, la fonction dérivée de ff'.

Ainsi, pour calculer ff'', on calcule d’abord ff', puis on dérive ff'.

Exemple

Soit ff la fonction définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=sin(2x)f(x) = \sin(2x). Calculons ff''.

On applique la formule pour dérivée sin(u)\sin(u) (où uu est la fonction u:x2xu : x \mapsto 2x) :

Pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=ucos(u)=2cos(2x)f'(x) = u' \cos(u) = 2 \cos(2x).

Pour finir, il suffit juste de dériver ff' : pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=2×(2sin(2x))=4sin(2x)f''(x) = 2 \times (-2 \sin(2x)) = -4 \sin(2x).

Fonction convexe

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II, de dérivée ff' dérivable sur II.

  • On dit que ff est convexe sur II si ff'' est positive sur II.

  • On dit que ff est concave sur II si ff'' est négative sur II.

  • On dit que aIa \in I est un point d’inflexion si ff'' change de signe en aa (i.e. f(a)=0f''(a) = 0 et ff'' est positive avant aa puis négative après ou inversement).

Dire que ff'' est positive sur II revient à dire que ff' est croissante sur II. De même, dire que ff'' est négative sur II revient à dire que ff' est décroissante sur II.

Lien avec les tangentes

Lien avec la représentation graphique

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II, de dérivée ff' dérivable sur II. On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff.

  • ff est convexe sur II si Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de chacune de ses tangentes sur II.

  • ff est concave sur II si Cf\mathcal{C}_f est en dessous de chacune de ses tangentes sur II.

Exemple

À titre d’exemple, la fonction exponentielle est une fonction convexe.

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Skyost Modérateur

C'est quelque chose qui est prévu, mais je ne sais pas pour quand. Le temps ne me le permet actuellement pas, pour être honnête.

28/07/2021 07:25:31
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Anonyme

Mettre des exercices et corrigés sinon ça ne plairas pas aux gens

24/07/2021 12:18:16
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Anonyme

très bien

03/06/2020 12:35:30
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Skyost Modérateur

Des exercices seront rajoutés sûrement pour l'année scolaire prochaine (à cause du changement de programme).

04/05/2020 11:02:54
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Anonyme

je veux des exercices

04/05/2020 06:23:58
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Anonyme

sa me rappel le banc en TD

23/06/2019 12:06:24