I – Continuité

1. Définition

Définition

Soient une fonction définie sur un intervalle et un réel . La fonction est continue en si on a .

est dite continue sur , si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l'intervalle .

On dit de manière générale qu'une fonction est continue sur un intervalle s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

Opérations sur les fonctions continues

  • Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s'annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.
  • Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n'est pas vraie cependant).

Exemple

La fonction est continue en tout point de son ensemble de définition () mais n'est pas continue sur .

2. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction est continue sur un intervalle , alors pour tout réel tel que ( ou ), il existe au moins un réel tel que .

Exemple

Ce théorème est très important ! Voici un exemple : soit définie pour tout par . Prouvons qu'il existe au moins un réel tel que . On a et . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme est continue sur et que , il existe un réel tel que .

On peut encore tenter d'affiner la précision : et . On a bien donc , etc.

Une conséquence de ce théorème est que si et sont de signes opposés, alors la fonction s'annule au moins une fois entre et .

Enfin, il existe un corollaire qui donne en plus l'unicité du point .

Corollaire

Si est continue sur et que est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel tel que (ou ), il existe un unique réel tel que .

3. La partie entière

Définition

Soit . La partie entière de notée (ou ) est l'unique réel tel que : .

Exemple

et .

La fonction partie entière définie par n'est pas continue sur :

II – Dérivation

1. Nombre dérivé

Définition

Soient une fonction définie sur un intervalle et deux réels et tels que .

La fonction est dérivable en si la limite ci-dessous existe et est finie :

Ou en posant :

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de en , noté .

Remarque

Notez bien que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

2. La tangente

Équation de la tangente

Soient une fonction définie sur un intervalle et un réel . Si est dérivable en , alors la courbe représentative de admet une tangente au point de coordonnées .

De plus, est le coefficient directeur de , et une équation de est .

Exemple

Soit définie sur (voir cours sur la fonction exponentielle).

Cherchons une équation de la tangente au point d'abscisse :

On a donc .

Par conséquent, une équation de la tangente est : on retrouve ce qui a été constaté sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

3. Fonction dérivée

Définition

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de la fonction qui à tout réel de , associe le nombre dérivé (i.e. ).

Très souvent, la fonction sera notée .

4. Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d'une fonction

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

  • Si sur , alors est strictement croissante sur .
  • Si sur , alors est strictement décroissante sur .
  • Si sur , alors est constante sur .

Il est également possible d'en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d'une fonction.

Étude des extrema

Soient dérivable sur un intervalle , et :

  • Si admet un extremum local en , alors on a .
  • Si et que le signe de est différent avant et après , alors est un extremum local de .
  • Si et qu'on est négatif avant et positif après, cet extremum local est un minimum local.
  • Si et qu'on est positif avant et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

III – Tables de dérivation

1. Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit une constante réelle.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
avec

2. Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions et :

Soient deux fonctions et et soit une constante réelle.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
En tout point où est dérivable.
En tout point où et sont dérivables.
En tout point où et sont dérivables.
En tout point où est dérivable et non nulle.
En tout point où et sont dérivables et non nulles.

3. Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Soit une fonction.

FonctionDérivéeDomaine de dérivabilité
avec En tout point où est dérivable.
En tout point où est dérivable et non nulle.
En tout point où est dérivable et strictement positive.
En tout point où est dérivable.
En tout point où est dérivable et strictement positive.
En tout point où est dérivable.
En tout point où est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d'une composée

Soient dérivable sur et dérivable sur l'ensemble des valeurs prises par sur . On a alors .

Fonction composée

On rappelle que la fonction est la fonction définie pour tout par .

IV – Convexité

1. Dérivée seconde d'une fonction

Définition

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée dérivable sur .

On appelle dérivée seconde (notée ) de , la fonction dérivée de .

Ainsi, pour calculer , on calcule d'abord , puis on dérive .

Exemple

Soit la fonction définie pour tout par . Calculons .

On applique la formule pour dérivée (où est la fonction ) :

Pour tout , .

Pour finir, il suffit juste de dériver : pour tout , .

2. Fonction convexe

Définition

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée dérivable sur .

  • On dit que est convexe sur si est positive sur .
  • On dit que est concave sur si est négative sur .
  • On dit que est un point d'inflexion si change de signe en (i.e. et est positive avant puis négative après ou inversement).

Dire que est positive sur revient à dire que est croissante sur . De même, dire que est négative sur revient à dire que est décroissante sur .

3. Lien avec les tangentes

Lien avec la représentation graphique

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée dérivable sur . On note la courbe représentative de .

  • est convexe sur si est au-dessus de chacune de ses tangentes sur .
  • est concave sur si est en dessous de chacune de ses tangentes sur .

Exemple

À titre d'exemple, la fonction exponentielle est une fonction convexe.

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