I – Continuité
1. Définition
Définition
Soient
On dit de manière générale qu'une fonction est continue sur un intervalle s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.
Opérations sur les fonctions continues
- Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s'annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n'est pas vraie cependant).
Exemple
La fonction
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction
Exemple
Ce théorème est très important ! Voici un exemple : soit
On peut encore tenter d'affiner la précision :
Une conséquence de ce théorème est que si
Enfin, il existe un corollaire qui donne en plus l'unicité du point
Corollaire
Si
3. La partie entière
Définition
Soit
Exemple
La fonction partie entière définie par
II – Dérivation
1. Nombre dérivé
Définition
Soient
La fonction
Ou en posant
Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de
Remarque
Notez bien que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.
2. La tangente
Équation de la tangente
Soient
De plus,
Exemple
Soit
Cherchons une équation de la tangente au point d'abscisse
On a
Par conséquent, une équation de la tangente est
3. Fonction dérivée
Définition
Soit
On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de
Très souvent, la fonction
4. Applications
Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.
Variations d'une fonction
Soit une fonction
- Si
sur , alors est strictement croissante sur . - Si
sur , alors est strictement décroissante sur . - Si
sur , alors est constante sur .
Il est également possible d'en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d'une fonction.
Étude des extrema
Soient
- Si
admet un extremum local en , alors on a . - Si
et que le signe de est différent avant et après , alors est un extremum local de . - Si
et qu'on est négatif avant et positif après, cet extremum local est un minimum local. - Si
et qu'on est positif avant et négatif après, cet extremum local est un maximum local.
III – Tables de dérivation
1. Dérivées usuelles
Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :
Soit
Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |
---|---|---|
2. Opérations sur les dérivées
Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions
Soient deux fonctions
Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |
---|---|---|
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où |
3. Dérivées de composées
Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :
Soit
Fonction | Dérivée | Domaine de dérivabilité |
---|---|---|
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où |
Il est cependant possible de donner une formule plus générale.
Dérivée d'une composée
Soient
Fonction composée
On rappelle que la fonction
IV – Convexité
1. Dérivée seconde d'une fonction
Définition
Soit
On appelle dérivée seconde (notée
Ainsi, pour calculer
Exemple
Soit
On applique la formule pour dérivée
Pour tout
Pour finir, il suffit juste de dériver
2. Fonction convexe
Définition
Soit
- On dit que
est convexe sur si est positive sur . - On dit que
est concave sur si est négative sur . - On dit que
est un point d'inflexion si change de signe en (i.e. et est positive avant puis négative après ou inversement).
Dire que
3. Lien avec les tangentes
Lien avec la représentation graphique
Soit
est convexe sur si est au-dessus de chacune de ses tangentes sur . est concave sur si est en dessous de chacune de ses tangentes sur .
Exemple
À titre d'exemple, la fonction exponentielle est une fonction convexe.