Terminale > Continuité, dérivabilité et convexité

Continuité

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si on a $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

$f$ est dite continue sur $I$ , si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l’intervalle $I$ .

On dit de manière générale qu’une fonction est continue sur un intervalle s’il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

Opérations sur les fonctions continues

Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s’annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.
Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n’est pas vraie cependant).

Exemple

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue en tout point de son ensemble de définition ( $R^{*}$ ) mais n’est pas continue sur $R$ .

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel $y_{0}$ tel que $f (a) < y_{0} < f (b)$ (ou $f (a) > y_{0} > f (b)$ ), il existe au moins un réel $x_{0} \in [a; b]$ tel que $f (x_{0}) = y_{0}$ .

Exemple

Ce théorème est très important ! Voici un exemple : soit $f$ définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = x^{3} + x^{2} - x$ . Prouvons qu’il existe au moins un réel $x_{0} \in [0; 3]$ tel que $f (x_{0}) = 5$ . On a $f (0) = 0$ et $f (3) = 33$ . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $f$ est continue sur $[0; 3]$ et que $0 < 5 < 33$ , il existe un réel $x_{0} \in [0, 3]$ tel que $f (x_{0}) = 5$ .

On peut encore tenter d’affiner la précision : $f (1) = 1$ et $f (2) = 10$ . On a bien $1 < 5 < 10$ donc $x_{0} \in [1; 2]$ , etc.

Une conséquence de ce théorème est que si $f (a)$ et $f (b)$ sont de signes opposés, alors la fonction $f$ s’annule au moins une fois entre $a$ et $b$ .

Enfin, il existe un corollaire qui donne en plus l’unicité du point $x_{0}$ .

Corollaire

Si $f$ est continue sur $[a; b]$ et que $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel $y_{0}$ tel que $f (a) < y_{0} < f (b)$ (ou $f (a) > y_{0} > f (b)$ ), il existe un unique réel $x_{0} \in [a; b]$ tel que $f (x_{0}) = y_{0}$ .

La partie entière $⌊ x ⌋$

Définition

Soit $x \in R$ . La partie entière de $x$ notée $⌊ x ⌋$ (ou $E (x)$ ) est l’unique réel tel que : $⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1$ .

Exemple

$⌊ 1, 216 ⌋ = 1$ et $⌊ - 2, 198 ⌋ = - 3$ .

La fonction partie entière définie par $x \mapsto ⌊ x ⌋$ n’est pas continue sur $R$ :

Dérivation

Nombre dérivé

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq = 0$ tels que $(a + h) \in I$ . La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie : $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ Ou en posant $x = a + h$ : $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ .

Remarque

Notez bien que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

Tangente en un point

Équation de la tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$ . Si $f$ est dérivable en $a$ , alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $T$ au point de coordonnées $(a; f (a))$ .

De plus, $f^{'} (a)$ est le coefficient directeur de $T$ , et une équation de $T$ est $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Exemple

Soit $f (x) = e^{x}$ définie sur $R$ (voir cours sur la fonction exponentielle).

Cherchons une équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ :

On a $f^{'} (x) = f (x)$ donc $f^{'} (0) = 1$ .

Par conséquent, une équation de la tangente est $y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0) = x + 1$ : on retrouve ce qui a été constaté sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f^{'} (x)$ (i.e. $g (x) = f^{'} (x)$ ).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f^{'}$ .

Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'} > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f^{'} < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f^{'} = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Il est également possible d’en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d’une fonction.

Étude des extrema

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , et $a \in I$ :

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors on a $f^{'} (a) = 0$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et que le signe de $f^{'}$ est différent avant et après $a$ , alors $f^{'} (a)$ est un extremum local de $f$ .
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
Si $f^{'} (a) = 0$ et qu’on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soient $λ$ une constante réelle et $n$ un entier.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$x \mapsto λ$	$x \mapsto 0$	$R$
$x \mapsto x^{n}$	$x \mapsto n x^{n - 1}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto - \frac{1}{x ^{2}}$	$R^{*}$
$x \mapsto x$	$x \mapsto \frac{1}{2 x}$	$R_{*}^{+}$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto ln (x)$	$x \mapsto \frac{1}{x}$	$R_{*}^{+}$
$x \mapsto sin (x)$	$x \mapsto cos (x)$	$R$
$x \mapsto cos (x)$	$x \mapsto - sin (x)$	$R$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions $u$ et $v$ :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $λ$ une constante réelle.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$λ \times u$	$λ \times u^{'}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$	$u^{'} \times v + u \times v^{'}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\frac{1}{v}$	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} \times v - u \times v ^{'}}{v ^{2}}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Soit $u$ une fonction.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$u^{n}$ avec $n \in N^{*}$	$n u^{'} u^{n - 1}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$u$	$\frac{u ^{'}}{2 u}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^{u}$	$u^{'} e^{u}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$ln (u)$	$\frac{u ^{'}}{u}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$sin (u)$	$u^{'} cos (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.
$cos (u)$	$- u^{'} sin (u)$	En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$ . On a alors $(g \circ f)^{'} = (g^{'} \circ f) \times f^{'}$ .

Fonction composée

On rappelle que la fonction $g \circ f$ est la fonction définie pour tout $x$ par $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Convexité

Dérivée seconde d’une fonction

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , de dérivée $f^{'}$ dérivable sur $I$ .

On appelle dérivée seconde (notée $f^{''}$ ) de $f$ , la fonction dérivée de $f^{'}$ .

Ainsi, pour calculer $f^{''}$ , on calcule d’abord $f^{'}$ , puis on dérive $f^{'}$ .

Exemple

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = sin (2 x)$ . Calculons $f^{''}$ .

On applique la formule pour dérivée $sin (u)$ (où $u$ est la fonction $u : x \mapsto 2 x$ ) :

Pour tout $x \in R$ , $f^{'} (x) = u^{'} cos (u) = 2 cos (2 x)$ .

Pour finir, il suffit juste de dériver $f^{'}$ : pour tout $x \in R$ , $f^{''} (x) = 2 \times (- 2 sin (2 x)) = - 4 sin (2 x)$ .

Fonction convexe

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , de dérivée $f^{'}$ dérivable sur $I$ .

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si $f^{''}$ est positive sur $I$ .
On dit que $f$ est concave sur $I$ si $f^{''}$ est négative sur $I$ .
On dit que $a \in I$ est un point d’inflexion si $f^{''}$ change de signe en $a$ (i.e. $f^{''} (a) = 0$ et $f^{''}$ est positive avant $a$ puis négative après ou inversement).

Dire que $f^{''}$ est positive sur $I$ revient à dire que $f^{'}$ est croissante sur $I$ . De même, dire que $f^{''}$ est négative sur $I$ revient à dire que $f^{'}$ est décroissante sur $I$ .

Lien avec les tangentes

Lien avec la représentation graphique

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , de dérivée $f^{'}$ dérivable sur $I$ . On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ .

$f$ est convexe sur $I$ si $C_{f}$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ .
$f$ est concave sur $I$ si $C_{f}$ est en dessous de chacune de ses tangentes sur $I$ .

Exemple

À titre d’exemple, la fonction exponentielle est une fonction convexe.

Continuité

Définition

Définition

Opérations sur les fonctions continues

Exemple

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Exemple

Corollaire

La partie entière ⌊x⌋

Définition

Exemple

Dérivation

Nombre dérivé

Définition

Remarque

Tangente en un point

Équation de la tangente

Exemple

Fonction dérivée

Définition

Applications

Variations d’une fonction

Étude des extrema

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Opérations sur les dérivées

Dérivées de composées

Dérivée d’une composée

Fonction composée

Convexité

Dérivée seconde d’une fonction

Définition

Exemple

Fonction convexe

Définition

Lien avec les tangentes

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Exemple

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La partie entière $⌊ x ⌋$