Chapitre III – Continuité, dérivabilité et convexité

Terminale Terminale Difficile

Il est possible de définir la continuité d'une fonction comme le fait de pouvoir tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. La notion de dérivabilité, elle est plus complexe et sera élaborée dans ce chapitre (on parlera notamment de la fonction partie entière, du théorème des valeurs intermédiaires, etc...).
Ce cours contient également les différentes tables de dérivation ainsi que des propriétés sur les fonctions convexes.

Lire le résumé
Télécharger le PDF
Partager le cours
Signaler une erreur

Continuité

Définition

Définition

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et un réel a∈Ia \in I. La fonction ff est continue en aa si on a lim⁡x→af(x)=f(a)\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x) = f(a).

ff est dite continue sur II, si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l’intervalle II.

On dit de manière générale qu’une fonction est continue sur un intervalle s’il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

Opérations sur les fonctions continues

  • Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s’annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.

  • Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n’est pas vraie cependant).

Exemple

La fonction x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} est continue en tout point de son ensemble de définition (R∗\mathbb{R}^{*}) mais n’est pas continue sur R\mathbb{R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction ff est continue sur un intervalle [a;b][a;b], alors pour tout réel y0y_0 tel que f(a)<y0<f(b)f(a) < y_0 < f(b) (ou f(a)>y0>f(b)f(a) > y_0 > f(b)), il existe au moins un réel x0∈[a;b]x_0 \in [a;b] tel que f(x0)=y0f(x_0) = y_0.

Exemple

Ce théorème est très important ! Voici un exemple : soit ff définie pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} par f(x)=x3+x2−xf(x) = x^3+x^2-x. Prouvons qu’il existe au moins un réel x0∈[0;3]x_0 \in [0;3] tel que f(x0)=5f(x_0) = 5. On a f(0)=0f(0) = 0 et f(3)=33f(3) = 33. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, comme ff est continue sur [0;3][0;3] et que 0<5<330 < 5 < 33, il existe un réel x0∈[0,3]x_0 \in [0,3] tel que f(x0)=5f(x_0) = 5.

On peut encore tenter d’affiner la précision : f(1)=1f(1) = 1 et f(2)=10f(2) = 10. On a bien 1<5<101 < 5 < 10 donc x0∈[1;2]x_0 \in [1;2], etc.

Une conséquence de ce théorème est que si f(a)f(a) et f(b)f(b) sont de signes opposés, alors la fonction ff s’annule au moins une fois entre aa et bb.

Enfin, il existe un corollaire qui donne en plus l’unicité du point x0x_0.

Corollaire

Si ff est continue sur [a;b][a;b] et que ff est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel y0y_0 tel que f(a)<y0<f(b)f(a) < y_0 < f(b) (ou f(a)>y0>f(b)f(a) > y_0 > f(b)), il existe un unique réel x0∈[a;b]x_0 \in [a;b] tel que f(x0)=y0f(x_0) = y_0.

La partie entière [x][x]

Définition

Soit x∈Rx \in \mathbb{R}. La partie entière de xx notée [x][x] (ou E(x)E(x)) est l’unique réel tel que : [x]≤x<[x]+1[x] \leq x < [x] + 1.

Exemple

[1,216]=1[1,216] = 1 et [−2,198]=−3[-2,198] = -3.

La fonction partie entière définie par x↦[x]x \mapsto [x] n’est pas continue sur R\mathbb{R} :

Dérivation

Nombre dérivé

Définition

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et deux réels a∈Ia \in I et h≠0h \neq 0 tels que (a+h)∈I(a + h) \in I.

La fonction ff est dérivable en aa si la limite ci-dessous existe et est finie :

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}

Ou en posant x=a+hx = a + h :

lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de ff en aa, noté f′(a)f'(a).

Remarque

Notez bien que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La tangente

Équation de la tangente

Soient ff une fonction définie sur un intervalle II et un réel a∈Ia \in I. Si ff est dérivable en aa, alors la courbe représentative de ff admet une tangente T\mathcal{T} au point de coordonnées (a;f(a))(a; f(a)).

De plus, f′(a)f'(a) est le coefficient directeur de T\mathcal{T}, et une équation de T\mathcal{T} est y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x-a)+f(a).

Exemple

Soit f(x)=exf(x) = e^x définie sur R\mathbb{R} (voir cours sur la fonction exponentielle).

Cherchons une équation de la tangente au point d’abscisse x=0x = 0 :

On a f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) donc f′(0)=1f'(0) = 1.

Par conséquent, une équation de la tangente est y=f′(0)(x−0)+f(0)=x+1y = f'(0)(x-0)+f(0) = x + 1 : on retrouve ce qui a été constaté sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

Fonction dérivée

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II.

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de ff la fonction gg qui à tout réel xx de II, associe le nombre dérivé f′(x)f'(x) (i.e. g(x)=f′(x)g(x) = f'(x)).

Très souvent, la fonction gg sera notée f′f'.

Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d’une fonction, il est possible d’obtenir le sens de variation de cette fonction.

Variations d’une fonction

Soit une fonction ff dérivable sur un intervalle II.

  • Si f′>0f' > 0 sur II, alors ff est strictement croissante sur II.

  • Si f′<0f' < 0 sur II, alors ff est strictement décroissante sur II.

  • Si f′=0f' = 0 sur II, alors ff est constante sur II.

Il est également possible d’en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d’une fonction.

Étude des extrema

Soient ff dérivable sur un intervalle II, et a∈Ia \in I :

  • Si ff admet un extremum local en aa, alors on a f′(a)=0f'(a) = 0.

  • Si f′(a)=0f'(a) = 0 et que le signe de f′f' est différent avant et après aa, alors f′(a)f'(a) est un extremum local de ff.

  • Si f′(a)=0f'(a) = 0 et qu’on est négatif avant aa et positif après, cet extremum local est un minimum local.

  • Si f′(a)=0f'(a) = 0 et qu’on est positif avant aa et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
λ\lambda 00 R\mathbb{R}
xnx^n avec n∈N∗n \in \mathbb{N}^* nxn−1nx^{n-1} R\mathbb{R}
1x\displaystyle{\frac{1}{x}} −1x2\displaystyle{-\frac{1}{x^2}} R∗\mathbb{R}^*
x\sqrt{x} 12x\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}} R∗+\mathbb{R}^+_*
exe^x exe^x R\mathbb{R}
ln⁡(x)\ln(x) 1x\displaystyle{\frac{1}{x}} R∗+\mathbb{R}^+_*
sin⁡(x)\sin(x) cos⁡(x)\cos(x) R\mathbb{R}
cos⁡(x)\cos(x) −sin⁡(x)-\sin(x) R\mathbb{R}

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions uu et vv :

Soient deux fonctions uu et vv et soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
λ×u\lambda \times u λ×u′\lambda \times u' En tout point où uu est dérivable.
u+vu + v u′+v′u' + v' En tout point où uu et vv sont dérivables.
u×vu \times v u′×v+u×v′u' \times v + u \times v' En tout point où uu et vv sont dérivables.
1v\displaystyle{\frac{1}{v}} −v′v2\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}} En tout point où vv est dérivable et non nulle.
uv\displaystyle{\frac{u}{v}} u′×v−u×v′v2\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2} En tout point où uu et vv sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Soit uu une fonction.

Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité
unu^n avec n∈N∗n \in \mathbb{N}^* nu′un−1nu'u^{n-1} En tout point où uu est dérivable.
1u\displaystyle{\frac{1}{u}} −u′u2\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}} En tout point où uu est dérivable et non nulle.
u\sqrt{u} u′2u\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}} En tout point où uu est dérivable et strictement positive.
eue^u u′euu'e^u En tout point où uu est dérivable.
ln⁡(u)\ln(u) u′u\displaystyle{\frac{u'}{u}} En tout point où uu est dérivable et strictement positive.
sin⁡(u)\sin(u) u′cos⁡(u)u'\cos(u) En tout point où uu est dérivable.
cos⁡(u)\cos(u) −u′sin⁡(u)-u'\sin(u) En tout point où uu est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Dérivée d’une composée

Soient ff dérivable sur II et gg dérivable sur l’ensemble des valeurs prises par ff sur II. On a alors (g∘f)′=(g′∘f)×f′(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'.

Fonction composée

On rappelle que la fonction g∘fg \circ f est la fonction définie pour tout xx par (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)).

Convexité

Dérivée seconde d’une fonction

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II, de dérivée f′f' dérivable sur II.

On appelle dérivée seconde (notée f′′f'') de ff, la fonction dérivée de f′f'.

Ainsi, pour calculer f′′f'', on calcule d’abord f′f', puis on dérive f′f'.

Exemple

Soit ff la fonction définie pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} par f(x)=sin⁡(2x)f(x) = \sin(2x). Calculons f′′f''.

On applique la formule pour dérivée sin⁡(u)\sin(u) (où uu est la fonction u:x↦2xu : x \mapsto 2x) :

Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′(x)=u′cos⁡(u)=2cos⁡(2x)f'(x) = u' \cos(u) = 2 \cos(2x).

Pour finir, il suffit juste de dériver f′f' : pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, f′′(x)=2×(−2sin⁡(2x))=−4sin⁡(2x)f''(x) = 2 \times (-2 \sin(2x)) = -4 \sin(2x).

Fonction convexe

Définition

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II, de dérivée f′f' dérivable sur II.

  • On dit que ff est convexe sur II si f′′f'' est positive sur II.

  • On dit que ff est concave sur II si f′′f'' est négative sur II.

  • On dit que a∈Ia \in I est un point d’inflexion si f′′f'' change de signe en aa (i.e. f′′(a)=0f''(a) = 0 et f′′f'' est positive avant aa puis négative après ou inversement).

Dire que f′′f'' est positive sur II revient à dire que f′f' est croissante sur II. De même, dire que f′′f'' est négative sur II revient à dire que f′f' est décroissante sur II.

Lien avec les tangentes

Lien avec la représentation graphique

Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle II, de dérivée f′f' dérivable sur II. On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff.

  • ff est convexe sur II si Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de chacune de ses tangentes sur II.

  • ff est concave sur II si Cf\mathcal{C}_f est en dessous de chacune de ses tangentes sur II.

Exemple

À titre d’exemple, la fonction exponentielle est une fonction convexe.

Vous avez aimé ce cours ?

Faîtes-le nous savoir dans les commentaires !

Avatar (prévisualisation)
avatar

Skyost Modérateur

C'est quelque chose qui est prévu, mais je ne sais pas pour quand. Le temps ne me le permet actuellement pas, pour être honnête.

28/07/2021 07:25:31
avatar

Anonyme

Mettre des exercices et corrigés sinon ça ne plairas pas aux gens

24/07/2021 12:18:16
avatar

Anonyme

très bien

03/06/2020 12:35:30
avatar

Skyost Modérateur

Des exercices seront rajoutés sûrement pour l'année scolaire prochaine (à cause du changement de programme).

04/05/2020 11:02:54
avatar

Anonyme

je veux des exercices

04/05/2020 06:23:58
avatar

Anonyme

sa me rappel le banc en TD

23/06/2019 12:06:24