Continuité

Définition

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. La fonction $f$ est continue en $a$ si on a $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x) = f(a)$.

$f$ est dite continue sur $I$, si on peut appliquer la formule ci-dessus à tous les réels de l'intervalle $I$.

On dit de manière générale qu'une fonction est continue sur un intervalle s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur cet intervalle sans lever le crayon.

• Toute somme, produit, composée ou quotient (avec le dénominateur ne s'annulant pas) de fonctions continues est également continue sur le même intervalle.
• Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (la réciproque n'est pas vraie cependant).

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue en tout point de son ensemble de définition ($\mathbb{R}^{*}$) mais n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $y_0$ tel que $f(a) \lt y_0 \lt f(b)$ (ou $f(a) \gt y_0 \gt f(b)$), il existe au moins un réel $x_0 \in [a;b]$ tel que $f(x_0) = y_0$.

Ce théorème est très important ! Voici un exemple : soit $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x^3+x^2-x$. Prouvons qu'il existe au moins un réel $x_0 \in [0;3]$ tel que $f(x_0) = 5$. On a $f(0) = 0$ et $f(3) = 33$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $f$ est continue sur $[0;3]$ et que $0 \lt 5 \lt 33$,

il existe un réel $x_0 \in [0,3]$ tel que $f(x_0) = 5$.

On peut encore tenter d'affiner la précision : $f(1) = 1$ et $f(2) = 10$. On a bien $1 \lt 5 \lt 10$ donc $x_0 \in [1;2]$, etc...

Une conséquence de ce théorème est que si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors la fonction $f$ s'annule au moins une fois entre $a$ et $b$.

Enfin, il existe un corollaire permettant qui donne en plus l'unicité du point $x_0$.

Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et que $f$ est strictement monotone sur cet intervalle, alors pour tout réel $y_0$ tel que $f(a) \lt y_0 \lt f(b)$ (ou $f(a) \gt y_0 \gt f(b)$), il existe un unique réel $x_0 \in [a;b]$ tel que $f(x_0) = y_0$.

La partie entière $[x]$

Soit $x \in \mathbb{R}$. La partie entière de $x$ notée $[x]$ (ou $E(x)$) est l'unique réel tel que : $[x] \leq x \lt [x] + 1$.

$[1,216] = 1$ et $[-2,198] = -3$.

La fonction partie entière définie par $x \mapsto [x]$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ :

Dérivation

Nombre dérivé

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux réels $a \in I$ et $h \neq 0$ tels que $(a + h) \in I$.

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si la limite ci-dessous existe et est finie :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}$

Ou en posant $x = a + h$ :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}}$

Si cette limite existe et est finie, alors elle est égale au nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$.

Notez bien que toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La tangente

Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et un réel $a \in I$. Si $f$ est dérivable en $a$, alors la courbe représentative de $f$ admet une tangente $\mathcal{T}$ au point de coordonnées $(a; f(a))$.

De plus, $f'(a)$ est le coefficient directeur de $\mathcal{T}$, et une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.

Soit $f(x) = e^x$ définie sur $\mathbb{R}$ (voir cours sur la fonction exponentielle).

Cherchons une équation de la tangente au point d'abscisse $x = 0$ :

On a $f'(x) = f(x)$ donc $f'(0) = 1$.

Par conséquent, une équation de la tangente est $y = f'(0)(x-0)+f(0) = x + 1$ : on retrouve ce qui a été constaté sur la représentation graphique de la fonction exponentielle.

Fonction dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

On appelle fonction dérivée (ou plus simplement dérivée) de $f$ la fonction $g$ qui à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ (i.e. $g(x) = f'(x)$).

Très souvent, la fonction $g$ sera notée $f'$.

Applications

Plusieurs applications peuvent être trouvées aux dérivées. Avec le signe de la dérivée d'une fonction, il est possible d'obtenir le sens de variation de cette fonction.

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f' \gt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f' \lt 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Il est également possible d'en déduire diverses propriétés sur les extrema dits locaux (sur un certain intervalle) d'une fonction.

Soient $f$ dérivable sur un intervalle $I$, et $a \in I$ :

• Si $f$ admet un extremum local en $a$, alors on a $f'(a) = 0$.
• Si $f'(a) = 0$ et que le signe de $f'$ est différent avant et après $a$, alors $f'(a)$ est un extremum local de $f$.
• Si $f'(a) = 0$ et qu'on est négatif avant $a$ et positif après, cet extremum local est un minimum local.
• Si $f'(a) = 0$ et qu'on est positif avant $a$ et négatif après, cet extremum local est un maximum local.

Tables de dérivation

Dérivées usuelles

Le tableau suivant est à connaître et nous donne la dérivée de la plupart des fonctions usuelles :

Soit $\lambda$ une constante réelle.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$\lambda$	$0$	$\mathbb{R}$
$x^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{x^2}}$	$\mathbb{R^*}$
$\sqrt{x}$	$\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$	$\mathbb{R^+_*}$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\ln(x)$	$\displaystyle{\frac{1}{x}}$	$\mathbb{R^+_*}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Le tableau suivant est également à connaître et nous donne la dérivée qui dépend des opérations sur les fonctions $u$ et $v$ :

Soient deux fonctions $u$ et $v$ et soit $\lambda$ une constante réelle.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$\lambda \times u$	$\lambda \times u'$	En tout point où $u$ est dérivable.
$u + v$	$u' + v'$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$u \times v$	$u' \times v + u \times v'$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables.
$\displaystyle{\frac{1}{v}}$	$\displaystyle{-\frac{v'}{v^2}}$	En tout point où $v$ est dérivable et non nulle.
$\displaystyle{\frac{u}{v}}$	$\frac{u' \times v - u \times v'}{v^2}$	En tout point où $u$ et $v$ sont dérivables et non nulles.

Dérivées de composées

Le tableau suivant, toujours à connaître, nous donne la dérivée des fonctions composées usuelles :

Soit $u$ une fonction.

Fonction	Dérivée	Domaine de dérivabilité
$u^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$	$nu'u^{n-1}$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\displaystyle{\frac{1}{u}}$	$\displaystyle{-\frac{u'}{u^2}}$	En tout point où $u$ est dérivable et non nulle.
$\sqrt{u}$	$\displaystyle{\frac{u'}{2\sqrt{u}}}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$e^u$	$u'e^u$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\ln(u)$	$\displaystyle{\frac{u'}{u}}$	En tout point où $u$ est dérivable et strictement positive.
$\sin(u)$	$u'\cos(u)$	En tout point où $u$ est dérivable.
$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$	En tout point où $u$ est dérivable.

Il est cependant possible de donner une formule plus générale.

Soient $f$ dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $I$. On a alors $(g \circ f)' = (g' \circ f) \times f'$.

On rappelle que la fonction $g \circ f$ est la fonction définie pour tout $x$ par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Convexité

Dérivée seconde d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$ dérivable sur $I$.

On appelle dérivée seconde (notée $f''$) de $f$, la fonction dérivée de $f'$.

Ainsi, pour calculer $f''$, on calcule d'abord $f'$, puis on dérive $f'$.

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = \sin(2x)$. Calculons $f''$.

On applique la formule pour dérivée $\sin(u)$ (où $u$ est la fonction $u : x \mapsto 2x$) :

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = u' \cos(u) = 2 \cos(2x)$.

Pour finir, il suffit juste de dériver $f'$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f''(x) = 2 \times (-2 \sin(2x)) = -4 \sin(2x)$.

Fonction convexe

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$ dérivable sur $I$.

• On dit que $f$ est convexe sur $I$ si $f''$ est positive sur $I$.
• On dit que $f$ est concave sur $I$ si $f''$ est négative sur $I$.
• On dit que $a \in I$ est un point d'inflexion si $f''$ change de signe en $a$ (i.e. $f''(a) = 0$ et $f''$ est positive avant $a$ puis négative après ou inversement).

Dire que $f''$ est positive sur $I$ revient à dire que $f'$ est croissante sur $I$. De même, dire que $f''$ est négative sur $I$ revient à dire que $f'$ est décroissante sur $I$.

Lien avec les tangentes

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, de dérivée $f'$ dérivable sur $I$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.

• $f$ est convexe sur $I$ si $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.
• $f$ est concave sur $I$ si $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de chacune de ses tangentes sur $I$.

À titre d'exemple, la fonction exponentielle est une fonction convexe.