I – Définitions
1. Ensemble d'éléments
Cette partie donne quelques rappels sur la notion d'ensemble en mathématiques.
Définition
Un ensemble
On note
À noter que l'ordre des objets n'a aucune importance lorsque l'on compare deux ensembles.
Réunion et intersection
Soient
- Leur réunion notée
est l'ensemble constitué des éléments de et des éléments de . - Leur intersection notée
est l'ensemble constitué des éléments communs à et . - Si
, on dit que et sont disjoints.
2. Sous-ensemble
Définition
Soient
On note ceci par
3. Liste d'éléments
Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l'ordre des éléments.
Définition
Un
Remarquons que l'on ne demande pas que les éléments d'un
II – Combinaisons
1. Factorielle
Définition
Soit
Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.
2. Qu'est-ce-qu'une combinaison ?
Définition
Une combinaison de
Calcul d'une combinaison
Soient
3. Formules
Formules
Soient
III – Dénombrement
1. Principe additif
Principe additif
Soient
2. Principe multiplicatif
Commençons cette sous-section par une définition.
Produit cartésien
Soient
Principe multiplicatif
Soient
Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.
3. Formules de dénombrement
Permutations
Soit
Formules
Soit
- Le nombre de
-uplets d'éléments de est égal à . - Le nombre de
-uplets d'éléments distincts de est égal à . - Le nombre de permutations de
est égal à . - Le nombre de sous-ensembles de
est égal à . - Le nombre de sous-ensembles de
éléments que possède est égal à (pour rappel).