TerminaleEnsemble d’éléments
Cette partie donne quelques rappels sur la notion d’ensemble en mathématiques.
Définition
Un ensemble désigne une collection finie ou infinie d’objets distincts qu’on appelle ses éléments.
On note si l’objet appartient à . Dans le cas contraire, on note .
À noter que l’ordre des objets n’a aucune importance lorsque l’on compare deux ensembles.
Réunion et intersection
Soient et deux ensembles.
- Leur réunion notée est l’ensemble constitué des éléments de et des éléments de .
- Leur intersection notée est l’ensemble constitué des éléments communs à et .
- Si , on dit que et sont disjoints.
Sous-ensemble
Définition
Soient et deux ensembles. On dit que est un sous-ensemble (ou une partie) de si tout élément de est un élément de .
On note ceci par (qui signifie est inclus dans
).
Liste d’éléments
Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l’ordre des éléments.
Définition
Un -uplet (ou une -liste) d’un ensemble désigne une collection ordonnée de éléments de .
Remarquons que l’on ne demande pas que les éléments d’un -uplet soient tous distincts.
Factorielle
Définition
Soit un nombre entier. On appelle factorielle de le nombre entier suivant :
Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.
Définition
Définition
Une combinaison de éléments parmi éléments, notée , est le nombre de sous-ensembles de éléments que possède un ensemble de éléments.
Calcul d’une combinaison
Soient et deux entiers. Alors .
Formules
Formules
Soient et deux entiers.
Principe additif
Principe additif
Soient et deux ensembles disjoints contenant respectivement et éléments. Alors contient éléments.
Principe multiplicatif
Commençons cette sous-section par une définition.
Produit cartésien
Soient et deux ensembles. Leur produit cartésien est l’ensemble des couples où et .
Principe multiplicatif
Soient et deux ensembles contenant respectivement et éléments. Alors contient éléments.
Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.
Formules de dénombrement
Permutations
Soit un ensemble de taille . On appelle permutation de tout -uplet d’éléments distincts de .
Formules
Soit un ensemble possédant éléments.
- Le nombre de -uplets d’éléments de est égal à .
- Le nombre de -uplets d’éléments distincts de est égal à .
- Le nombre de permutations de est égal à .
- Le nombre de sous-ensembles de est égal à .
- Le nombre de sous-ensembles de éléments que possède est égal à (pour rappel).