Chapitre IX – Dénombrement

Fiche résumée

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En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble.
Nous allons voir, dans ce chapitre, toutes les formules utiles au dénombrement (combinaisons, permutations, nombre de sous-ensembles, principe additif et multiplicatif, etc...). Nous ferons également quelques rappels concernant la théorie des ensembles.

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I – Définitions

1. Ensemble d'éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d'ensemble en mathématiques.

Définition

Un ensemble désigne une collection finie ou infinie d'objets distincts qu'on appelle ses éléments.

On note si l'objet appartient à . Dans le cas contraire, on note .

À noter que l'ordre des objets n'a aucune importance lorsque l'on compare deux ensembles.

Réunion et intersection

Soient et deux ensembles.

  • Leur réunion notée est l'ensemble constitué des éléments de et des éléments de .
  • Leur intersection notée est l'ensemble constitué des éléments communs à et .
  • Si , on dit que et sont disjoints.

2. Sous-ensemble

Définition

Soient et deux ensembles. On dit que est un sous-ensemble (ou une partie) de si tout élément de est un élément de .

On note ceci par (qui signifie est inclus dans ).

3. Liste d'éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l'ordre des éléments.

Définition

Un -uplet (ou une -liste) d'un ensemble désigne une collection ordonnée de éléments de .

Remarquons que l'on ne demande pas que les éléments d'un -uplet soient tous distincts.

II – Combinaisons

1. Factorielle

Définition

Soit un nombre entier. On appelle factorielle de le nombre entier .

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

2. Qu'est-ce-qu'une combinaison ?

Définition

Une combinaison de éléments parmi éléments, notée , est le nombre de sous-ensembles de éléments que possède un ensemble de éléments.

Calcul d'une combinaison

Soient et deux entiers. Alors .

3. Formules

Formules

Soient et deux entiers.

III – Dénombrement

1. Principe additif

Principe additif

Soient et deux ensembles disjoints contenant respectivement et éléments. Alors contient éléments.

2. Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Produit cartésien

Soient et deux ensembles. Leur produit cartésien est l'ensemble des couples où et .

Principe multiplicatif

Soient et deux ensembles contenant respectivement et éléments. Alors contient éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

3. Formules de dénombrement

Permutations

Soit un ensemble de taille . On appelle permutation de tout -uplet d'éléments distincts de .

Formules

Soit un ensemble possédant éléments.

  • Le nombre de -uplets d'éléments de est égal à .
  • Le nombre de -uplets d'éléments distincts de est égal à .
  • Le nombre de permutations de est égal à .
  • Le nombre de sous-ensembles de est égal à .
  • Le nombre de sous-ensembles de éléments que possède est égal à (pour rappel).