Définitions

Ensemble d'éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d'ensemble en mathématiques.

Un ensemble $E$ désigne une collection finie ou infinie d'objets distincts qu'on appelle ses éléments.

On note $x \in E$ si l'objet $x$ appartient à $E$. Dans le cas contraire, on note $x \notin E$.

À noter que l'ordre des objets n'a aucune importance lorsque l'on compare deux ensembles.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

  • Leur réunion notée $E \, \cup \, F$ est l'ensemble constitué des éléments de $E$ et des éléments de $F$.
  • Leur intersection notée $E \, \cap \, F$ est l'ensemble constitué des éléments communs à $E$ et $F$.
  • Si $E \, \cap \, F = \emptyset$, on dit que $E$ et $F$ sont disjoints.

Sous-ensemble

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $F$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $E$ si tout élément de $F$ est un élément de $E$.

On note ceci par $F \subset E$ (qui signifie $F$ est inclus dans $E$).

Liste d'éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l'ordre des éléments.

Un $p$-uplet (ou une $p$-liste) d'un ensemble $E$ désigne une collection ordonnée de $p$ éléments de $E$.

Remarquons que l'on ne demande pas que les éléments d'un $p$-plet soient tous distincts.

Combinaisons

Factorielle

Soit $n$ un nombre entier. On appelle factorielle de $n$ le nombre entier $n! = 1 \times 2 \times \text{ ... } \times n$.

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

Qu'est-ce-qu'une combinaison ?

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ éléments, notée $\displaystyle{\binom{n}{k}}$, est le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède un ensemble de $n$ éléments.

Soient $n$ et $k$ deux entiers. Alors $\displaystyle{\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}}$.

Formules

Soient $n$ et $k$ deux entiers.

  • $\displaystyle{\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1}$
  • $\displaystyle{\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n}$
  • $\displaystyle{\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}}$

Dénombrement

Principe additif

Soient $E$ et $F$ deux ensembles disjoints contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \, \cup \, F$ contient $n + m$ éléments.

Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Leur produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(e; f)$ où $e \in E$ et $f \in F$.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \times F$ contient $n \times m$ éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

Formules de dénombrement

Soit $E$ un ensemble de taille $n$. On appelle permutation de $E$ tout $n$-uplet d'éléments distincts de $E$.

Soit $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.

  • Le nombre de $p$-uplets d'éléments de $E$ est égal à $n^p$.
  • Le nombre de $p$-uplets d'éléments distincts de $E$ est égal à $\frac{n!}{(n-p)!}$.
  • Le nombre de permutations de $E$ est égal à $n!$.
  • Le nombre de sous-ensembles de $E$ est égal à $2^n$.
  • Le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède $E$ est égal à $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ (pour rappel).

À noter également une dernière petite formule qu'il peut-être utile de savoir démontrer à l'aide des formules ci-dessus.

$\displaystyle{\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.