Terminale > Dénombrement > Fiche résumée

Définitions

Ensemble d’éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d’ensemble en mathématiques.

Définition

Un ensemble $E$ désigne une collection finie ou infinie d’objets distincts qu’on appelle ses éléments.

On note $x \in E$ si l’objet $x$ appartient à $E$ . Dans le cas contraire, on note $x \in / E$ .

À noter que l’ordre des objets n’a aucune importance lorsque l’on compare deux ensembles.

Réunion et intersection

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

Leur réunion notée $E \cup F$ est l’ensemble constitué des éléments de $E$ et des éléments de $F$ .
Leur intersection notée $E \cap F$ est l’ensemble constitué des éléments communs à $E$ et $F$ .
Si $E \cap F = \emptyset$ , on dit que $E$ et $F$ sont disjoints.

Sous-ensemble

Définition

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $F$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $E$ si tout élément de $F$ est un élément de $E$ .

On note ceci par $F \subset E$ (qui signifie $F$ est inclus dans $E$ ).

Liste d’éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l’ordre des éléments.

Définition

Un $p$ -uplet (ou une $p$ -liste) d’un ensemble $E$ désigne une collection ordonnée de $p$ éléments de $E$ .

Remarquons que l’on ne demande pas que les éléments d’un $p$ -uplet soient tous distincts.

Combinaisons

Factorielle

Définition

Soit $n$ un nombre entier. On appelle factorielle de $n$ le nombre entier suivant : $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

Définition

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ éléments, notée $(k n)$ , est le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède un ensemble de $n$ éléments.

Calcul d’une combinaison

Soient $n$ et $k$ deux entiers. Alors $(k n) = \frac{n !}{( n - k )! k !}$ .

Formules

Soient $n$ et $k$ deux entiers.

$(0 n) = (n n) = 1$
$(1 n) = (n - 1 n) = n$
$(k n) = (n - k n)$

Dénombrement

Principe additif

Soient $E$ et $F$ deux ensembles disjoints contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \cup F$ contient $n + m$ éléments.

Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Produit cartésien

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Leur produit cartésien $E \times F$ est l’ensemble des couples $(e; f)$ où $e \in E$ et $f \in F$ .

Principe multiplicatif

Soient $E$ et $F$ deux ensembles contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \times F$ contient $n \times m$ éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

Formules de dénombrement

Permutations

Soit $E$ un ensemble de taille $n$ . On appelle permutation de $E$ tout $n$ -uplet d’éléments distincts de $E$ .

Formules

Soit $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.

Le nombre de $p$ -uplets d’éléments de $E$ est égal à $n^{p}$ .
Le nombre de $p$ -uplets d’éléments distincts de $E$ est égal à $\frac{n !}{( n - p )!}$ .
Le nombre de permutations de $E$ est égal à $n!$ .
Le nombre de sous-ensembles de $E$ est égal à $2^{n}$ .
Le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède $E$ est égal à $(k n)$ (pour rappel).