Définitions

Ensemble d'éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d'ensemble en mathématiques.

Un ensemble $E$ désigne une collection finie ou infinie d'objets distincts qu'on appelle ses éléments.

On note $x \in E$ si l'objet $x$ appartient à $E$. Dans le cas contraire, on note $x \notin E$.

À noter que l'ordre des objets n'a aucune importance lorsque l'on compare deux ensembles.

Voici quelques exemples d'ensembles :

  • $\{2; 4; 6\}$ est un ensemble contenant $3$ éléments.
  • $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}$ sont deux ensembles contenant une infinité d'éléments.
  • $\{\}$ est un ensemble ne contenant aucun élément : c'est l'ensemble vide, noté $\emptyset$.
  • $\{1\}$ est un ensemble content $1$ élément : c'est un singleton.

Il est possible de créer des ensembles contenant autre choses que des nombres. Par exemple, on définit les fonction $f : x \mapsto x^2$ et $g : x \mapsto x^3 + 1$. Alors l'ensemble $E = \{f; g\}$ est un ensemble contenant des fonctions.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

  • Leur réunion notée $E \, \cup \, F$ est l'ensemble constitué des éléments de $E$ et des éléments de $F$.
  • Leur intersection notée $E \, \cap \, F$ est l'ensemble constitué des éléments communs à $E$ et $F$.
  • Si $E \, \cap \, F = \emptyset$, on dit que $E$ et $F$ sont disjoints.

Sous-ensemble

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $F$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $E$ si tout élément de $F$ est un élément de $E$.

On note ceci par $F \subset E$ (qui signifie $F$ est inclus dans $E$).

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E \, \cap \, F \subset E$ et $E \, \cap \, F \subset F$.

Liste d'éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l'ordre des éléments.

Un $p$-uplet (ou une $p$-liste) d'un ensemble $E$ désigne une collection ordonnée de $p$ éléments de $E$.

Remarquons que l'on ne demande pas que les éléments d'un $p$-plet soient tous distincts.

Il faut bien faire attention à l'ordre des éléments ! Prenons par exemple deux points du plan $A = (1; 2)$ et $B = (2; 1)$.

On peut voir $A$ et $B$ comme des $2$-uplets de $\mathbb{R}$. Or, ce sont deux points différents, d'où la nécessité de bien faire attention à ne pas mélanger $(1; 2)$ et $(2; 1)$.

Bien que l'on note un ensemble avec des accolades, on note plutôt un $p$-uplet avec des parenthèses. Ainsi :

  • $\{1; 2; 3; 4; 5\}$ désigne l'ensemble constitué des nombres entiers de $1$ à $5$ (on a $\{1; 2; 3; 4; 5\} = \{2; 1; 3; 4; 5\} = \{5; 4; 3; 2; 1\} = ...$).
  • $(1; 2; 3; 4; 5)$ désigne le $5$-uplet constitué des nombres entiers de $1$ à $5$ (on a $(1; 2; 3; 4; 5) \neq (2; 1; 3; 4; 5) \neq (5; 4; 3; 2; 1) \neq ...$).

Combinaisons

Factorielle

Soit $n$ un nombre entier. On appelle factorielle de $n$ le nombre entier $n! = 1 \times 2 \times \text{ ... } \times n$.

Par convention, on pose $0! = 1$.

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

Qu'est-ce-qu'une combinaison ?

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ éléments, notée $\displaystyle{\binom{n}{k}}$, est le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède un ensemble de $n$ éléments.

Soient $n$ et $k$ deux entiers. Alors $\displaystyle{\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}}$.

Soit $E = \{1, 2, 3, \text{ ... }, 30 \}$. On cherche à connaître le nombre de sous-ensembles de $3$ éléments que possède $E$. Pour cela, il suffit d'appliquer la formule :

$\displaystyle{\binom{30}{3} = \frac{30!}{27!3!} = \frac{28 \times 29 \times 30}{1 \times 2 \times 3} = 4060}$

$E$ contient $4060$ sous-ensembles de $3$ éléments.

Formules

Soient $n$ et $k$ deux entiers.

  • $\displaystyle{\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1}$
  • $\displaystyle{\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n}$
  • $\displaystyle{\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}}$

Une autre formule très utile est $\displaystyle{\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}}$. Elle peut se retrouver à l'aide du triangle de Pascal, que l'on construit comme tel :

  1. Dans une pyramide, on place un $1$ au sommet de la pyramide.
  2. On place $1$ et $1$ en dessous, de part et d'autre.
  3. Les extrémités des lignes sont toujours des $1$, et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.

Les premières lignes du triangle de Pascal sont donc :

Triangle de Pascal

On a alors que le $k$-ième coefficient de la $n$-ième ligne est égal à $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ (en partant de $0$).

Dénombrement

Principe additif

Soient $E$ et $F$ deux ensembles disjoints contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \, \cup \, F$ contient $n + m$ éléments.

Si on pose $E = \{1; 3; 5\}$ et $F = \{2; 4; 6; 8\}$. On a bien que $E$ et $F$ sont disjoints donc $E \, \cup \, F$ contient $3 + 4 = 7$ éléments.

Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Leur produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(e; f)$ où $e \in E$ et $f \in F$.

Cette définition peut sembler un peu compliquée, mais elle est en faite très intuitive. Prenons $E = \{1; 2; 3\}$ et $F = \{4; 5\}$.

Alors on a $E \times F = \{(1; 4); (1; 5); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5)\}$.

Prenons maintenant $E = F = \mathbb{R}$.

Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble des couples $(x; y)$ où $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$.

Il s'agit en fait du plan cartésien.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \times F$ contient $n \times m$ éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

Formules de dénombrement

Soit $E$ un ensemble de taille $n$. On appelle permutation de $E$ tout $n$-uplet d'éléments distincts de $E$.

Prenons $E = \{1; 2; 3\}$. Alors $E$ admet $6$ permutations qui sont :

  • $(1; 2; 3)$
  • $(1; 3; 2)$
  • $(2; 1; 3)$
  • $(2; 3; 1)$
  • $(3; 1; 2)$
  • $(3; 2; 1)$

Soit $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.

  • Le nombre de $p$-uplets d'éléments de $E$ est égal à $n^p$.
  • Le nombre de $p$-uplets d'éléments distincts de $E$ est égal à $\frac{n!}{(n-p)!}$.
  • Le nombre de permutations de $E$ est égal à $n!$.
  • Le nombre de sous-ensembles de $E$ est égal à $2^n$.
  • Le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède $E$ est égal à $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ (pour rappel).

À noter également une dernière petite formule qu'il peut-être utile de savoir démontrer à l'aide des formules ci-dessus.

$\displaystyle{\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Soit $n \in \mathbb{N}$ et soit $E$ un ensemble à $n$ éléments.

Par la dernière formule de dénombrement, $E$ a $\displaystyle{\binom{n}{0}}$ sous-ensembles qui possèdent $0$ éléments, $\displaystyle{\binom{n}{1}}$ sous-ensembles qui possèdent $1$ éléments, ...

En fait, pour tout $k$ compris entre $0$ et $n$, $E$ a exactement $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ sous-ensembles qui possèdent $k$ éléments (toujours d'après la dernière formule).

Donc finalement, on obtient bien que la somme des $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ vaut $2^n$ (qui est, d'après l'avant-dernière formule, le nombre de sous-ensembles que possède $E$).

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