I – Définitions
1. Ensemble d'éléments
Cette partie donne quelques rappels sur la notion d'ensemble en mathématiques.
Définition
Un ensemble
On note
À noter que l'ordre des objets n'a aucune importance lorsque l'on compare deux ensembles.
Exemple
Voici quelques exemples d'ensembles :
est un ensemble contenant éléments. et sont deux ensembles contenant une infinité d'éléments. est un ensemble ne contenant aucun élément : c'est l'ensemble vide, noté . est un ensemble content élément : c'est un singleton.
Il est possible de créer des ensembles contenant autre choses que des nombres. Par exemple, on définit les fonctions
Réunion et intersection
Soient
- Leur réunion notée
est l'ensemble constitué des éléments de et des éléments de . - Leur intersection notée
est l'ensemble constitué des éléments communs à et . - Si
, on dit que et sont disjoints.
2. Sous-ensemble
Définition
Soient
On note ceci par
Exemple
Soient
3. Liste d'éléments
Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l'ordre des éléments.
Définition
Un
Remarquons que l'on ne demande pas que les éléments d'un
Attention à l'ordre des éléments
Il faut bien faire attention à l'ordre des éléments ! Prenons par exemple deux points du plan
On peut voir
Notation
Bien que l'on note un ensemble avec des accolades, on note plutôt un
désigne l'ensemble constitué des nombres entiers de à (on a ). désigne le -uplet constitué des nombres entiers de à (on a ).
II – Combinaisons
1. Factorielle
Définition
Soit
Convention
Par convention, on pose
Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.
2. Qu'est-ce-qu'une combinaison ?
Définition
Une combinaison de
Calcul d'une combinaison
Soient
Exemple
Soit
3. Formules
Formules
Soient
Triangle de Pascal
Une autre formule très utile est
- Dans une pyramide, on place un
au sommet de la pyramide. - On place
et en dessous, de part et d'autre. - Les extrémités des lignes sont toujours des
, et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.
Les premières lignes du triangle de Pascal sont donc :
On a alors que le
III – Dénombrement
1. Principe additif
Principe additif
Soient
Exemple
Si on pose
2. Principe multiplicatif
Commençons cette sous-section par une définition.
Produit cartésien
Soient
Exemple
Cette définition peut sembler un peu compliquée, mais elle est en faite très intuitive. Prenons
Alors on a
Construction du plan cartésien
Prenons maintenant
Le produit cartésien
Il s'agit en fait du plan cartésien.
Principe multiplicatif
Soient
Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.
3. Formules de dénombrement
Permutations
Soit
Exemple
Prenons
Formules
Soit
- Le nombre de
-uplets d'éléments de est égal à . - Le nombre de
-uplets d'éléments distincts de est égal à . - Le nombre de permutations de
est égal à . - Le nombre de sous-ensembles de
est égal à . - Le nombre de sous-ensembles de
éléments que possède est égal à (pour rappel).
À noter également une dernière petite formule qu'il peut être utile de savoir démontrer à l'aide des formules ci-dessus.