I – Définitions

1. Ensemble d'éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d'ensemble en mathématiques.

Définition

Un ensemble désigne une collection finie ou infinie d'objets distincts qu'on appelle ses éléments.

On note si l'objet appartient à . Dans le cas contraire, on note .

À noter que l'ordre des objets n'a aucune importance lorsque l'on compare deux ensembles.

Exemple

Voici quelques exemples d'ensembles :

  • est un ensemble contenant éléments.
  • et sont deux ensembles contenant une infinité d'éléments.
  • est un ensemble ne contenant aucun élément : c'est l'ensemble vide, noté .
  • est un ensemble content élément : c'est un singleton.

Il est possible de créer des ensembles contenant autre choses que des nombres. Par exemple, on définit les fonctions et . Alors l'ensemble est un ensemble contenant des fonctions.

Réunion et intersection

Soient et deux ensembles.

  • Leur réunion notée est l'ensemble constitué des éléments de et des éléments de .
  • Leur intersection notée est l'ensemble constitué des éléments communs à et .
  • Si , on dit que et sont disjoints.

2. Sous-ensemble

Définition

Soient et deux ensembles. On dit que est un sous-ensemble (ou une partie) de si tout élément de est un élément de .

On note ceci par (qui signifie est inclus dans ).

Exemple

Soient et deux ensembles. Alors et .

3. Liste d'éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l'ordre des éléments.

Définition

Un -uplet (ou une -liste) d'un ensemble désigne une collection ordonnée de éléments de .

Remarquons que l'on ne demande pas que les éléments d'un -uplet soient tous distincts.

Attention à l'ordre des éléments

Il faut bien faire attention à l'ordre des éléments ! Prenons par exemple deux points du plan et .

On peut voir et comme des -uplets de . Or, ce sont deux points différents, d'où la nécessité de bien faire attention à ne pas mélanger et .

Notation

Bien que l'on note un ensemble avec des accolades, on note plutôt un -uplet avec des parenthèses. Ainsi :

  • désigne l'ensemble constitué des nombres entiers de à (on a ).
  • désigne le -uplet constitué des nombres entiers de à (on a ).

II – Combinaisons

1. Factorielle

Définition

Soit un nombre entier. On appelle factorielle de le nombre entier .

Convention

Par convention, on pose .

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

2. Qu'est-ce-qu'une combinaison ?

Définition

Une combinaison de éléments parmi éléments, notée , est le nombre de sous-ensembles de éléments que possède un ensemble de éléments.

Calcul d'une combinaison

Soient et deux entiers. Alors .

Exemple

Soit . On cherche à connaître le nombre de sous-ensembles de éléments que possède . Pour cela, il suffit d'appliquer la formule :

contient sous-ensembles de éléments.

3. Formules

Formules

Soient et deux entiers.

Triangle de Pascal

Une autre formule très utile est . Elle peut se retrouver à l'aide du triangle de Pascal, que l'on construit comme tel :

  1. Dans une pyramide, on place un au sommet de la pyramide.
  2. On place et en dessous, de part et d'autre.
  3. Les extrémités des lignes sont toujours des , et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.

Les premières lignes du triangle de Pascal sont donc :

Triangle de Pascal

On a alors que le -ième coefficient de la -ième ligne est égal à (en partant de ) .

III – Dénombrement

1. Principe additif

Principe additif

Soient et deux ensembles disjoints contenant respectivement et éléments. Alors contient éléments.

Exemple

Si on pose et . On a bien que et sont disjoints donc contient éléments.

2. Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Produit cartésien

Soient et deux ensembles. Leur produit cartésien est l'ensemble des couples et .

Exemple

Cette définition peut sembler un peu compliquée, mais elle est en faite très intuitive. Prenons et .

Alors on a .

Construction du plan cartésien

Prenons maintenant .

Le produit cartésien est l'ensemble des couples et .

Il s'agit en fait du plan cartésien.

Principe multiplicatif

Soient et deux ensembles contenant respectivement et éléments. Alors contient éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

3. Formules de dénombrement

Permutations

Soit un ensemble de taille . On appelle permutation de tout -uplet d'éléments distincts de .

Exemple

Prenons . Alors admet permutations qui sont :

Formules

Soit un ensemble possédant éléments.

  • Le nombre de -uplets d'éléments de est égal à .
  • Le nombre de -uplets d'éléments distincts de est égal à .
  • Le nombre de permutations de est égal à .
  • Le nombre de sous-ensembles de est égal à .
  • Le nombre de sous-ensembles de éléments que possède est égal à (pour rappel).

À noter également une dernière petite formule qu'il peut être utile de savoir démontrer à l'aide des formules ci-dessus.

pour tout .

Démonstration

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