Terminale > Chapitre IX – Dénombrement

Définitions

Ensemble d’éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d’ensemble en mathématiques.

Définition

Un ensemble $E$ désigne une collection finie ou infinie d’objets distincts qu’on appelle ses éléments.

On note $x \in E$ si l’objet $x$ appartient à $E$ . Dans le cas contraire, on note $x \notin E$ .

À noter que l’ordre des objets n’a aucune importance lorsque l’on compare deux ensembles.

Exemple

Voici quelques exemples d’ensembles :

$\{2; 4; 6\}$ est un ensemble contenant $3$ éléments.
$\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}$ sont deux ensembles contenant une infinité d’éléments.
$\{\}$ est un ensemble ne contenant aucun élément : c’est l’ensemble vide, noté $\emptyset$ .
$\{1\}$ est un ensemble content $1$ élément : c’est un singleton.

Il est possible de créer des ensembles contenant autre choses que des nombres. Par exemple, on définit les fonctions $f : x \mapsto x^2$ et $g : x \mapsto x^3 + 1$ . Alors l’ensemble $E = \{f; g\}$ est un ensemble contenant des fonctions.

Réunion et intersection

Soient $E$ et $F$ deux ensembles.

Leur réunion notée $E \, \cup \, F$ est l’ensemble constitué des éléments de $E$ et des éléments de $F$ .
Leur intersection notée $E \, \cap \, F$ est l’ensemble constitué des éléments communs à $E$ et $F$ .
Si $E \, \cap \, F = \emptyset$ , on dit que $E$ et $F$ sont disjoints.

Sous-ensemble

Définition

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $F$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $E$ si tout élément de $F$ est un élément de $E$ .

On note ceci par $F \subset E$ (qui signifie $F$ est inclus dans $E$ ).

Exemple

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E \, \cap \, F \subset E$ et $E \, \cap \, F \subset F$ .

Liste d’éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l’ordre des éléments.

Définition

Un $p$ -uplet (ou une $p$ -liste) d’un ensemble $E$ désigne une collection ordonnée de $p$ éléments de $E$ .

Remarquons que l’on ne demande pas que les éléments d’un $p$ -uplet soient tous distincts.

Attention à l’ordre des éléments

Il faut bien faire attention à l’ordre des éléments ! Prenons par exemple deux points du plan $A = (1; 2)$ et $B = (2; 1)$ .

On peut voir $A$ et $B$ comme des $2$ -uplets de $\mathbb{R}$ . Or, ce sont deux points différents, d’où la nécessité de bien faire attention à ne pas mélanger $(1; 2)$ et $(2; 1)$ .

Notation

Bien que l’on note un ensemble avec des accolades, on note plutôt un $p$ -uplet avec des parenthèses. Ainsi :

$\{1; 2; 3; 4; 5\}$ désigne l’ensemble constitué des nombres entiers de $1$ à $5$ (on a $\{1; 2; 3; 4; 5\} = \{2; 1; 3; 4; 5\} = \{5; 4; 3; 2; 1\} = ...$ ).
$(1; 2; 3; 4; 5)$ désigne le $5$ -uplet constitué des nombres entiers de $1$ à $5$ (on a $(1; 2; 3; 4; 5) \neq (2; 1; 3; 4; 5) \neq (5; 4; 3; 2; 1) \neq ...$ ).

Combinaisons

Factorielle

Définition

Soit $n$ un nombre entier. On appelle factorielle de $n$ le nombre entier $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ .

Convention

Par convention, on pose $0! = 1$ .

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

Qu’est-ce-qu’une combinaison ?

Définition

Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ éléments, notée $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ , est le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède un ensemble de $n$ éléments.

Calcul d’une combinaison

Soient $n$ et $k$ deux entiers. Alors $\displaystyle{\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}}$ .

Exemple

Soit $E = \{1, 2, 3, \dots, 30 \}$ . On cherche à connaître le nombre de sous-ensembles de $3$ éléments que possède $E$ . Pour cela, il suffit d’appliquer la formule :

$\displaystyle{\binom{30}{3} = \frac{30!}{27!3!} = \frac{28 \times 29 \times 30}{1 \times 2 \times 3} = 4060}$

$E$ contient $4060$ sous-ensembles de $3$ éléments.

Formules

Soient $n$ et $k$ deux entiers.

$\displaystyle{\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1}$
$\displaystyle{\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n}$
$\displaystyle{\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}}$

Triangle de Pascal

Une autre formule très utile est $\displaystyle{\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}}$ . Elle peut se retrouver à l’aide du triangle de Pascal, que l’on construit comme tel :

Dans une pyramide, on place un $1$ au sommet de la pyramide.
On place $1$ et $1$ en dessous, de part et d’autre.
Les extrémités des lignes sont toujours des $1$ , et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.

Les premières lignes du triangle de Pascal sont donc :

Ainsi, le $k$ -ième coefficient de la $n$ -ième ligne est égal à $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ (en partant de $0$ ).

Dénombrement

Principe additif

Soient $E$ et $F$ deux ensembles disjoints contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \, \cup \, F$ contient $n + m$ éléments.

Exemple

Si on pose $E = \{1; 3; 5\}$ et $F = \{2; 4; 6; 8\}$ . $E$ et $F$ sont alors bien disjoints, donc $E \, \cup \, F$ contient $3 + 4 = 7$ éléments.

Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Produit cartésien

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Leur produit cartésien $E \times F$ est l’ensemble des couples $(e; f)$ où $e \in E$ et $f \in F$ .

Exemple

Cette définition peut sembler un peu compliquée, mais elle est en faite très intuitive. Prenons $E = \{1; 2; 3\}$ et $F = \{4; 5\}$ .

Alors on a $E \times F = \{(1; 4); (1; 5); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5)\}$ .

Construction du plan cartésien

Prenons maintenant $E = F = \mathbb{R}$ .

Le produit cartésien $E \times F$ est l’ensemble des couples $(x; y)$ où $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$ .

Il s’agit en fait du plan cartésien.

Principe multiplicatif

Soient $E$ et $F$ deux ensembles contenant respectivement $n$ et $m$ éléments. Alors $E \times F$ contient $n \times m$ éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

Formules de dénombrement

Permutations

Soit $E$ un ensemble de taille $n$ . On appelle permutation de $E$ tout $n$ -uplet d’éléments distincts de $E$ .

Exemple

Prenons $E = \{1; 2; 3\}$ . Alors $E$ admet $6$ permutations qui sont :

$(1; 2; 3)$
$(1; 3; 2)$
$(2; 1; 3)$
$(2; 3; 1)$
$(3; 1; 2)$
$(3; 2; 1)$

Formules

Soit $E$ un ensemble possédant $n$ éléments.

Le nombre de $p$ -uplets d’éléments de $E$ est égal à $n^p$ .
Le nombre de $p$ -uplets d’éléments distincts de $E$ est égal à $\frac{n!}{(n-p)!}$ .
Le nombre de permutations de $E$ est égal à $n!$ .
Le nombre de sous-ensembles de $E$ est égal à $2^n$ .
Le nombre de sous-ensembles de $k$ éléments que possède $E$ est égal à $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ (pour rappel).

À noter également une dernière petite formule qu’il peut être utile de savoir démontrer à l’aide des formules ci-dessus.

$\displaystyle{\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Démonstration

Chapitre IX – Dénombrement

Définitions

Ensemble d’éléments

Définition

Exemple

Réunion et intersection

Sous-ensemble

Définition

Exemple

Liste d’éléments

Définition

Attention à l’ordre des éléments

Notation

Combinaisons

Factorielle

Définition

Convention

Qu’est-ce-qu’une combinaison ?

Définition

Calcul d’une combinaison

Exemple

Formules

Formules

Triangle de Pascal

Dénombrement

Principe additif

Principe additif

Exemple

Principe multiplicatif

Produit cartésien

Exemple

Construction du plan cartésien

Principe multiplicatif

Formules de dénombrement

Permutations

Exemple

Formules

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