Définitions

Ensemble d’éléments

Cette partie donne quelques rappels sur la notion d’ensemble en mathématiques.

Définition

Un ensemble EE désigne une collection finie ou infinie d’objets distincts qu’on appelle ses éléments.

On note xEx \in E si l’objet xx appartient à EE. Dans le cas contraire, on note xEx \notin E.

À noter que l’ordre des objets n’a aucune importance lorsque l’on compare deux ensembles.

Exemple

Voici quelques exemples d’ensembles :

  • {2;4;6}\{2; 4; 6\} est un ensemble contenant 33 éléments.

  • Z\mathbb{Z} et R\mathbb{R} sont deux ensembles contenant une infinité d’éléments.

  • {}\{\} est un ensemble ne contenant aucun élément : c’est l’ensemble vide, noté \emptyset.

  • {1}\{1\} est un ensemble content 11 élément : c’est un singleton.

Il est possible de créer des ensembles contenant autre choses que des nombres. Par exemple, on définit les fonctions f:xx2f : x \mapsto x^2 et g:xx3+1g : x \mapsto x^3 + 1. Alors l’ensemble E={f;g}E = \{f; g\} est un ensemble contenant des fonctions.

Réunion et intersection

Soient EE et FF deux ensembles.

  • Leur réunion notée EFE \, \cup \, F est l’ensemble constitué des éléments de EE et des éléments de FF.

  • Leur intersection notée EFE \, \cap \, F est l’ensemble constitué des éléments communs à EE et FF.

  • Si EF=E \, \cap \, F = \emptyset, on dit que EE et FF sont disjoints.

Sous-ensemble

Définition

Soient EE et FF deux ensembles. On dit que FF est un sous-ensemble (ou une partie) de EE si tout élément de FF est un élément de EE.

On note ceci par FEF \subset E (qui signifie FF est inclus dans EE).

Exemple

Soient EE et FF deux ensembles. Alors EFEE \, \cap \, F \subset E et EFFE \, \cap \, F \subset F.

Liste d’éléments

Nous allons désormais voir un type de collection similaire aux ensembles, mais qui prend en compte l’ordre des éléments.

Définition

Un pp-uplet (ou une pp-liste) d’un ensemble EE désigne une collection ordonnée de pp éléments de EE.

Remarquons que l’on ne demande pas que les éléments d’un pp-uplet soient tous distincts.

Attention à l’ordre des éléments

Il faut bien faire attention à l’ordre des éléments ! Prenons par exemple deux points du plan A=(1;2)A = (1; 2) et B=(2;1)B = (2; 1).

On peut voir AA et BB comme des 22-uplets de R\mathbb{R}. Or, ce sont deux points différents, d’où la nécessité de bien faire attention à ne pas mélanger (1;2)(1; 2) et (2;1)(2; 1).

Notation

Bien que l’on note un ensemble avec des accolades, on note plutôt un pp-uplet avec des parenthèses. Ainsi :

  • {1;2;3;4;5}\{1; 2; 3; 4; 5\} désigne l’ensemble constitué des nombres entiers de 11 à 55 (on a {1;2;3;4;5}={2;1;3;4;5}={5;4;3;2;1}=...\{1; 2; 3; 4; 5\} = \{2; 1; 3; 4; 5\} = \{5; 4; 3; 2; 1\} = ...).

  • (1;2;3;4;5)(1; 2; 3; 4; 5) désigne le 55-uplet constitué des nombres entiers de 11 à 55 (on a (1;2;3;4;5)(2;1;3;4;5)(5;4;3;2;1)...(1; 2; 3; 4; 5) \neq (2; 1; 3; 4; 5) \neq (5; 4; 3; 2; 1) \neq ...).

Combinaisons

Factorielle

Définition

Soit nn un nombre entier. On appelle factorielle de nn le nombre entier n!=1×2××nn! = 1 \times 2 \times \dots \times n.

Convention

Par convention, on pose 0!=10! = 1.

Il est très courant de rencontrer des calculs avec des factorielles en mathématiques, leur utilisation ne se limitant pas au dénombrement.

Qu’est-ce-qu’une combinaison ?

Définition

Une combinaison de kk éléments parmi nn éléments, notée (nk)\displaystyle{\binom{n}{k}}, est le nombre de sous-ensembles de kk éléments que possède un ensemble de nn éléments.

Calcul d’une combinaison

Soient nn et kk deux entiers. Alors (nk)=n!(nk)!k!\displaystyle{\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}}.

Exemple

Soit E={1,2,3,,30}E = \{1, 2, 3, \dots, 30 \}. On cherche à connaître le nombre de sous-ensembles de 33 éléments que possède EE. Pour cela, il suffit d’appliquer la formule :

(303)=30!27!3!=28×29×301×2×3=4060\displaystyle{\binom{30}{3} = \frac{30!}{27!3!} = \frac{28 \times 29 \times 30}{1 \times 2 \times 3} = 4060}

EE contient 40604060 sous-ensembles de 33 éléments.

Formules

Formules

Soient nn et kk deux entiers.

  • (n0)=(nn)=1\displaystyle{\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1}

  • (n1)=(nn1)=n\displaystyle{\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n}

  • (nk)=(nnk)\displaystyle{\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}}

Triangle de Pascal

Une autre formule très utile est (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\displaystyle{\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}}. Elle peut se retrouver à l’aide du triangle de Pascal, que l’on construit comme tel :

  1. Dans une pyramide, on place un 11 au sommet de la pyramide.

  2. On place 11 et 11 en dessous, de part et d’autre.

  3. Les extrémités des lignes sont toujours des 11, et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.

Les premières lignes du triangle de Pascal sont donc : image

Ainsi, le kk-ième coefficient de la nn-ième ligne est égal à (nk)\displaystyle{\binom{n}{k}} (en partant de 00).

Dénombrement

Principe additif

Principe additif

Soient EE et FF deux ensembles disjoints contenant respectivement nn et mm éléments. Alors EFE \, \cup \, F contient n+mn + m éléments.

Exemple

Si on pose E={1;3;5}E = \{1; 3; 5\} et F={2;4;6;8}F = \{2; 4; 6; 8\}. EE et FF sont alors bien disjoints, donc EFE \, \cup \, F contient 3+4=73 + 4 = 7 éléments.

Principe multiplicatif

Commençons cette sous-section par une définition.

Produit cartésien

Soient EE et FF deux ensembles. Leur produit cartésien E×FE \times F est l’ensemble des couples (e;f)(e; f)eEe \in E et fFf \in F.

Exemple

Cette définition peut sembler un peu compliquée, mais elle est en faite très intuitive. Prenons E={1;2;3}E = \{1; 2; 3\} et F={4;5}F = \{4; 5\}.

Alors on a E×F={(1;4);(1;5);(2;4);(2;5);(3;4);(3;5)}E \times F = \{(1; 4); (1; 5); (2; 4); (2; 5); (3; 4); (3; 5)\}.

Construction du plan cartésien

Prenons maintenant E=F=RE = F = \mathbb{R}.

Le produit cartésien E×FE \times F est l’ensemble des couples (x;y)(x; y)xRx \in \mathbb{R} et yRy \in \mathbb{R}.

Il s’agit en fait du plan cartésien.

Principe multiplicatif

Soient EE et FF deux ensembles contenant respectivement nn et mm éléments. Alors E×FE \times F contient n×mn \times m éléments.

Ce principe (tout comme le principe additif vu précédemment) sont notamment utilisés en probabilités.

Formules de dénombrement

Permutations

Soit EE un ensemble de taille nn. On appelle permutation de EE tout nn-uplet d’éléments distincts de EE.

Exemple

Prenons E={1;2;3}E = \{1; 2; 3\}. Alors EE admet 66 permutations qui sont :

  • (1;2;3)(1; 2; 3)

  • (1;3;2)(1; 3; 2)

  • (2;1;3)(2; 1; 3)

  • (2;3;1)(2; 3; 1)

  • (3;1;2)(3; 1; 2)

  • (3;2;1)(3; 2; 1)

Formules

Soit EE un ensemble possédant nn éléments.

  • Le nombre de pp-uplets d’éléments de EE est égal à npn^p.

  • Le nombre de pp-uplets d’éléments distincts de EE est égal à n!(np)!\frac{n!}{(n-p)!}.

  • Le nombre de permutations de EE est égal à n!n!.

  • Le nombre de sous-ensembles de EE est égal à 2n2^n.

  • Le nombre de sous-ensembles de kk éléments que possède EE est égal à (nk)\displaystyle{\binom{n}{k}} (pour rappel).

À noter également une dernière petite formule qu’il peut être utile de savoir démontrer à l’aide des formules ci-dessus.

k=0n(nk)=2n\displaystyle{\sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} = 2^n} pour tout nNn \in \mathbb{N}.

Démonstration

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Anonyme

c'est impeut bizza

14/10/2021 19:50:37