Définition

Le logarithme népérien notée $\ln$ est la fonction définie sur $]0;+\infty [$ telle que pour tout $x>0$ et $y$ réels : $$\ln (x)=y⟺x=e^y$$

Exemple

Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n’en est rien ! Prenons $x=0$, on a :

$e^0=1$ (tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne $\ln (1)=0$.

Si on prend maintenant $x=1$, on a :

$e^1=e$, on a donc $\ln (e)=1$.

Relations entre fonctions réciproques

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a $e^{\ln (x)}=x$.

Et pour tout réel $x$, on a $\ln (e^x)=x$.

Formules

Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :

• $\ln (x\times y)=\ln (x)+\ln (y)$

• $\ln (x^n)=n\times \ln (x)$ pour $n\in \mathbb{Z}$

• $\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y)$

• $\ln \left(\frac{1}{y}\right)=-\ln (y)$

• $\ln (\sqrt[p]{x})=\frac{1}{p}\times \ln (x)$ pour $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\infty$

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (x)=+\infty$

Croissances comparées

Pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x^n}=0$.

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln (x)=0$.

Croissances comparées

Nous allons démontrer le second point en utilisant le premier (qui n’est pas éligible à une démonstration au lycée) dans le cas $n=1$. Pour tout $x>0$, posons $y=\frac{1}{x}$.

On a donc pour tout, $x\ln (x)=\frac{1}{y}\ln \left(\frac{1}{y}\right)=-\frac{\ln (y)}{y}$.

Or, quand $x$ tend vers $0^{+}$, $y$ tend vers $+\infty$. Par le premier point : $$\underset{\begin{array}{c}y\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{\ln (y)}{y}=0⟺\underset{\begin{array}{c}y\to +\infty \end{array}}{\lim }-\frac{\ln (y)}{y}=0$$ Et en remplaçant $y$ par $\frac{1}{x}$ dans le résultat ci-dessus, on a bien ce que l’on cherchait.

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$$

La fonction logarithme népérien est dérivable en $1$ (voir sous-section suivante), on peut donc écrire : $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)-\ln (1)}{x}={\ln }^{\prime }(1)=\frac{1}{1}=1$$

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $${\ln }^{\prime }(u(x))=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x\in I$ on a $u(x)=x$, on trouve : $${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$$

Signe et variations

On remarque qu’avec le tableau de variation, il est possible d’obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).

Ainsi, sur $]0;1[$, $\ln$ est strictement négative et sur $]1;+\infty [$, $\ln (x)$ est strictement positive et, comme vu précédemment, $\ln (1)=0$.

On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.