Propriétés du logarithme népérien
Définition
Définition
Le logarithme népérien notée est la fonction définie sur telle que pour tout et réels :
Ainsi, a tout réel strictement positif , la fonction logarithme népérien y associe son unique antécédent par rapport à la fonction exponentielle. De même pour la fonction exponentielle.
On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de et ou et ).
Exemple
Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n’en est rien ! Prenons , on a :
(tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne .
Si on prend maintenant , on a :
, on a donc .
Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :
Relations entre fonctions réciproques
Pour tout réel strictement positif, on a .
Et pour tout réel , on a .
Relations algébriques
Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu’il faut connaître.
Formules
Pour tous réels et strictement positifs :
pour
pour
Certaines de ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.
Représentation graphique
Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :
On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment : et par exemple. On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace également la droite d’équation :
On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la droite et on voit que la fonction logarithme népérien croît moins vite que la fonction puissance qui elle-même croît moins vite que la fonction exponentielle. Cette propriété est importante : c’est la croissance comparée.
Étude de la fonction
Limites
Limites
Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :
Il faut aussi savoir que la fonction puissance l’emporte
sur
le logarithme népérien (voir la partie Représentation
graphique
).
Croissances comparées
Pour tout :
.
.
Croissances comparées
Nous allons démontrer le second point en utilisant le premier (qui n’est pas éligible à une démonstration au lycée) dans le cas . Pour tout , posons .
On a donc pour tout, .
Or, quand tend vers , tend vers . Par le premier point : Et en remplaçant par dans le résultat ci-dessus, on a bien ce que l’on cherchait.
Pour finir, on donne une limite qu’il peut être utile de savoir redémontrer.
La fonction logarithme népérien est dérivable en (voir sous-section suivante), on peut donc écrire :
Dérivée
Dérivée d’une composée
Soit une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle :
Dérivée
Ainsi, si pour tout on a , on trouve :
Variations
Avec la dérivée donnée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d’obtenir les variations de la fonction logarithme népérien.
Signe et variations
On remarque qu’avec le tableau de variation, il est possible d’obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).
Ainsi, sur , est strictement négative et sur , est strictement positive et, comme vu précédemment, .
On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.
Igirubuntu Bonfils
On a beaucoup adoré. On aimerai aussi comprendre sur comment on trouve les Asymptotes. Du genre"comment on peut déterminer (A.H;AV;A.O). Merci
27/10/2024 22:37:40