I – Propriétés du logarithme népérien
1. Définition
Définition
Le logarithme népérien est une fonction qui est définie sur
On a la relation fondamentale suivante pour tout
Ainsi, a tout réel strictement positif
On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de
Exemple
Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n'en est rien ! Prenons
Si on prend maintenant
Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :
Relations entre fonctions réciproques
Pour tout réel
Et pour tout réel
2. Relations algébriques
Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu'il faut connaître.
Formules
Pour tous réels
pour pour
Certaines de ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.
3. Représentation graphique
Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :
On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment :
On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace
également la droite d'équation
On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la
droite
II – Étude de la fonction
1. Limites
Limites
Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :
Il faut aussi savoir que la fonction puissance l'emporte sur le logarithme népérien (voir la partie Représentation graphique).
Croissances comparées
Pour tout
. .
Pour finir, on donne une limite qu'il peut être utile de savoir redémontrer.
2. Dérivée
Dérivée d'une composée
Soit une fonction
Dérivée
Ainsi, si pour tout
3. Variations
Avec la dérivée donnée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction logarithme népérien.
Signe et variations
On remarque qu'avec le tableau de variation, il est possible d'obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).
Ainsi, sur
On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.