Chapitre V – La fonction logarithme népérien

Niveau : Terminale S Difficulté du cours :

Propriétés du logarithme népérien

Définition

Le logarithme népérien est une fonction qui est définie sur $]0;+\infty[$ par :

$x \mapsto \ln(x)$

Et on a la relation fondamentale suivante pour tout $x \gt 0$ et $y$ réels :

$\ln(x) = y \iff x = e^y$

Ainsi, a tout réel strictement positif $x$, la fonction logarithme népérien y associe son unique antécédent $y$ par rapport à la fonction exponentielle.
De même pour la fonction exponentielle. On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de $\sin(x)$ et $\arcsin(x)$ ou $\cos(x)$ et $\arccos(x)$).

Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n'en est rien ! Prenons $x = 0$, on a :
$e^0 = 1$ (tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne $\ln(1) = 0$.

Si on prend maintenant $x = 1$, on a :
$e^1 = e$, on a donc $\ln(e) = 1$.

Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

$e^{\ln(x)} = x$

Et pour tout réel $x$, on a :

$\ln(e^x) = x$

Relations algébriques

Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu'il faut connaître. Ainsi, pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :

$\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$
$\ln(x^n) = n \times \ln(x)$ pour $n \in \mathbb{Z}$
$\displaystyle{\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)}$
$\displaystyle{\ln\left(\frac{1}{y}\right) = -\ln(y)}$
$\displaystyle{\ln(\sqrt[p]{x}) = \frac{1}{p} \times \ln(x)}$ pour $p \in \mathbb{N}^*$

Certaines des ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :

On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ par exemple. On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace également la droite d'équation $y = x$ :

On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la droite $y = x$ et on voit que la fonction logarithme népérien croît moins vite que la fonction puissance qui elle-même croît moins vite que la fonction exponentielle. Cette propriété est importante : c'est la croissance comparée.

Étude de la fonction

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} \ln(x) = -\infty$
$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \ln(x) = +\infty$

Il faut aussi savoir que la fonction puissance l'emporte sur le logarithme népérien (voir la partie Représentation graphique) :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} \frac{\ln(x)}{x} = 0}$
$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \gt 0}} x \times \ln(x) = 0$

Une autre limite est à connaître (ainsi que sa démonstration) :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1}$

La fonction logarithme népérien est définie et continue en $x = 1$, on peut donc écrire :

$\displaystyle{\ln'(1) = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1}} \frac{\ln(x) - \ln(1)}{x - 1}}$

Ce qui est équivalent à (car on a $\ln(1) = 0$ et $\ln'(1) = 1$) :

$\displaystyle{1 = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1}} \frac{\ln(x)}{x - 1}}$

On pose $y = x-1$ ce qui nous donne finalement :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{y \rightarrow 0}} \frac{\ln(y - 1)}{y} = 1}$

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$\displaystyle{\ln'(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$ :

$\displaystyle{\ln'(x) = \frac{1}{x}}$

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction logarithme népérien :

Tableau de variation de la fonction logarithme népérien — On remarque qu'avec le tableau de variation, il est possible d'obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).
Ainsi, sur $]0;1[$, $\ln$ est **strictement négative** et sur $]1;+\infty[$, $\ln$ est **strictement positive** et, comme vu précédemment, $\ln(1) = 0$.
On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.

Le logarithme décimal

Le logarithme décimal (utilisé en physique-chimie en classe de Terminale S) est défini sur $]0;+\infty[$ par :

$\displaystyle{\log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}}$

Et on a les propriétés suivantes :

$\log_{10}(10) = 1$
$\log_{10}(10^n) = n$ pour $n \in \mathbb{Z}$

Ces formules peuvent se retrouver très facilement ! En effet, pour la première :
$\log_{10}(10) = \frac{\ln(10)}{\ln(10)} = 1$.

Et pour la seconde :
$\log_{10}(10^n) = \frac{n \times \ln(10)}{\ln(10)} = n \times \frac{\ln(10)}{\ln(10)} = n$.