Définition

Le logarithme népérien est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $x \mapsto \ln(x)$.

On a la relation fondamentale suivante pour tout $x > 0$ et $y$ réels :

$\ln(x) = y \iff x = e^y$.

Relations entre fonctions réciproques

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a $e^{\ln(x)} = x$.

Et pour tout réel $x$, on a $\ln(e^x) = x$.

Formules

Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :

• $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$

• $\ln(x^n) = n \times \ln(x)$ pour $n \in \mathbb{Z}$

• $\displaystyle{\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)}$

• $\displaystyle{\ln\left(\frac{1}{y}\right) = -\ln(y)}$

• $\displaystyle{\ln(\sqrt[p]{x}) = \frac{1}{p} \times \ln(x)}$ pour $p \in \mathbb{N}^*$

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

• $\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty$

• $\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty$

Croissances comparées

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

• $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0}$.

• $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} x^n \ln(x) = 0}$.

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1}$

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$\displaystyle{\ln'(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$.

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$, on trouve :

$\displaystyle{\ln'(x) = \frac{1}{x}}$.

Signe et variations

On remarque qu’avec le tableau de variation, il est possible d’obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).

Ainsi, sur $]0;1[$, $\ln$ est strictement négative et sur $]1;+\infty[$, $\ln(x)$ est strictement positive et, comme vu précédemment, $\ln(1) = 0$.

On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.