Propriétés du logarithme népérien

Définition

Le logarithme népérien est une fonction qui est définie sur $]0;+\infty[$ par $x \mapsto \ln(x)$.

On a la relation fondamentale suivante pour tout $x \gt 0$ et $y$ réels :

$\ln(x) = y \iff x = e^y$.

Ainsi, a tout réel strictement positif $x$, la fonction logarithme népérien y associe son unique antécédent $y$ par rapport à la fonction exponentielle. De même pour la fonction exponentielle.

On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de $\sin$ et $\arcsin$ ou $\cos$ et $\arccos$).

Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n'en est rien ! Prenons $x = 0$, on a :

$e^0 = 1$ (tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne $\ln(1) = 0$.

Si on prend maintenant $x = 1$, on a :

$e^1 = e$, on a donc $\ln(e) = 1$.

Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a $e^{\ln(x)} = x$.

Et pour tout réel $x$, on a $\ln(e^x) = x$.

Relations algébriques

Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu'il faut connaître.

Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :

  • $\ln(x \times y) = \ln(x) + \ln(y)$
  • $\ln(x^n) = n \times \ln(x)$ pour $n \in \mathbb{Z}$
  • $\displaystyle{\ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)}$
  • $\displaystyle{\ln\left(\frac{1}{y}\right) = -\ln(y)}$
  • $\displaystyle{\ln(\sqrt[p]{x}) = \frac{1}{p} \times \ln(x)}$ pour $p \in \mathbb{N}^*$

Certaines des ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :

On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ par exemple.

On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace également la droite d'équation $y = x$ :

On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la

droite $y = x$ et on voit que la fonction logarithme népérien croît moins vite que la fonction puissance qui elle-même croît moins vite que la fonction exponentielle. Cette propriété est importante : c'est la croissance comparée.

Étude de la fonction

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

  • $\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty$
  • $\lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty$

Il faut aussi savoir que la fonction puissance l'emporte sur le logarithme népérien (voir la partie Représentation graphique).

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

  • $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0}$.
  • $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} x^n \ln(x) = 0}$.

Nous allons démontrer le second point en utilisant le premier (qui n'est pas éligible à une démonstration au lycée) dans le cas $n = 1$. Pour tout $x \gt 0$, posons $y = \frac{1}{x}$.

On a donc pour tout, $x \ln(x) = \frac{1}{y} \ln\left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{\ln(y)}{y}$.

Or, quand $x$ tend vers $0^+$, $y$ tend vers $+\infty$. Par le premier point :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{y \rightarrow +\infty}} \frac{\ln(y)}{y} = 0 \iff \lim\limits_{\substack{y \rightarrow +\infty}} -\frac{\ln(y)}{y} = 0}$.

Et en remplaçant $y$ par $\frac{1}{x}$ dans le résultat ci-dessus, on a bien ce que l'on cherchait.

Pour finir, on donne une limite qu'il peut être utile de savoir redémontrer.

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1}$

La fonction logarithme népérien est dérivable en $1$ (voir sous-section suivante), on peut donc écrire :

$\displaystyle{\ln'(1) = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1}} \frac{\ln(x) - \ln(1)}{x - 1}}$

Ce qui est équivalent à (car on a $\ln(1) = 0$ et $\ln'(1) = 1$) :

$\displaystyle{1 = \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1}} \frac{\ln(x)}{x - 1}}$

On pose $y = x-1$ ce qui nous donne finalement :

$\displaystyle{\lim\limits_{\substack{y \rightarrow 0}} \frac{\ln(y - 1)}{y} = 1}$

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$\displaystyle{\ln'(u(x)) = \frac{u'(x)}{u(x)}}$.

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$, on trouve :

$\displaystyle{\ln'(x) = \frac{1}{x}}$.

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d'obtenir les variations de la fonction logarithme népérien.

Tableau de variations de la fonction logarithme

On remarque qu'avec le tableau de variation, il est possible d'obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).

Ainsi, sur $]0;1[$, $\ln$ est strictement négative et sur $]1;+\infty[$, $\ln(x)$ est strictement positive et, comme vu précédemment, $\ln(1) = 0$.

On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.

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