Propriétés du logarithme népérien

Définition

Définition

Le logarithme népérien notée est la fonction définie sur telle que pour tout et réels :

Ainsi, a tout réel strictement positif , la fonction logarithme népérien y associe son unique antécédent par rapport à la fonction exponentielle. De même pour la fonction exponentielle.

On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de et ou et ).

Exemple

Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n’en est rien ! Prenons , on a :

(tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne .

Si on prend maintenant , on a :

, on a donc .

Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :

Relations entre fonctions réciproques

Pour tout réel strictement positif, on a .

Et pour tout réel , on a .

Relations algébriques

Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu’il faut connaître.

Formules

Pour tous réels et strictement positifs :

  • pour

  • pour

Certaines de ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :

On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment : et par exemple. On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace également la droite d’équation :

On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la droite et on voit que la fonction logarithme népérien croît moins vite que la fonction puissance qui elle-même croît moins vite que la fonction exponentielle. Cette propriété est importante : c’est la croissance comparée.

Étude de la fonction

Limites

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

Il faut aussi savoir que la fonction puissance l’emporte sur le logarithme népérien (voir la partie Représentation graphique).

Croissances comparées

Pour tout :

  • .

  • .

Croissances comparées

Nous allons démontrer le second point en utilisant le premier (qui n’est pas éligible à une démonstration au lycée) dans le cas . Pour tout , posons .

On a donc pour tout, .

Or, quand tend vers , tend vers . Par le premier point : Et en remplaçant par dans le résultat ci-dessus, on a bien ce que l’on cherchait.

Pour finir, on donne une limite qu’il peut être utile de savoir redémontrer.

La fonction logarithme népérien est dérivable en (voir sous-section suivante), on peut donc écrire :

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle :

Dérivée

Ainsi, si pour tout on a , on trouve :

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d’obtenir les variations de la fonction logarithme népérien.

Signe et variations

variations

On remarque qu’avec le tableau de variation, il est possible d’obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).

Ainsi, sur , est strictement négative et sur , est strictement positive et, comme vu précédemment, .

On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.

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Igirubuntu Bonfils

Igirubuntu Bonfils

On a beaucoup adoré. On aimerai aussi comprendre sur comment on trouve les Asymptotes. Du genre"comment on peut déterminer (A.H;AV;A.O). Merci

27/10/2024 22:37:40
TCHAKONDO

TCHAKONDO

J'ai aimé

28/09/2024 20:59:22
Gratias

Gratias

Très pratique

22/06/2024 08:57:12
Chaima

Chaima

Si j ai bien aimé et bien compris

14/06/2024 04:40:01
sev

sev

en vrai bien woula

12/06/2024 12:35:33
Ketsia Taïba

Ketsia Taïba

Je comprend absolument rien j'suis complètement mélangé

06/06/2024 11:25:22
Ikram

Ikram

Bon cours

08/05/2024 14:55:15
Widdy

Widdy

Cool

18/03/2024 09:00:11
BALLAYIRA Sékou

BALLAYIRA Sékou

Très bon cours.

15/03/2024 09:58:36
Sidy ndir

Sidy ndir

Intéressant

04/03/2024 22:21:23
Noël kuate

Noël kuate

Bon cour contracté. Mais pauvre en exemples

02/03/2024 14:58:05
Ruchama

Ruchama

Je demandais plutôt de m'aider à calculer une fonction ln

22/02/2024 19:29:35
Justin Jahson

Justin Jahson

Content content

15/02/2024 15:15:00
Adjovi

Adjovi

Oui très même

09/01/2024 20:03:37
Hassan

Hassan

Comment calculer les fonctions ln

15/12/2023 21:52:18
Adam

Adam

Oui c'est bon

03/12/2023 20:28:50
Adechinan

Adechinan

J'adore tellement la mathematiques

21/10/2023 12:24:25
Aïssatou

Aïssatou

J'aime beaucoup

14/10/2023 22:06:29
Anonyme

Anonyme

Il me semble qu'il y ai une erreur de signe dans la démonstration de la limite de ln(x+1)/x

21/02/2022 06:52:20
mêtresse de français

mêtresse de français

ex 1,2, 3,4 p 100

17/11/2021 10:41:23