Terminale > La fonction logarithme népérien

Définition

Le logarithme népérien notée $ln$ est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ telle que pour tout $x > 0$ et $y$ réels : $ln (x) = y ⟺ x = e^{y}$

Ainsi, a tout réel strictement positif $x$ , la fonction logarithme népérien y associe son unique antécédent $y$ par rapport à la fonction exponentielle. De même pour la fonction exponentielle.

On dit que ces fonctions sont des fonctions réciproques (à la manière de $sin$ et $arcsin$ ou $cos$ et $arccos$ ).

Exemple

Cette relation peut sembler compliquer à assimiler mais il n’en est rien ! Prenons $x = 0$ , on a :

$e^{0} = 1$ (tout réel mis à la puissance zéro vaut un), la relation précédente nous donne $ln (1) = 0$ .

Si on prend maintenant $x = 1$ , on a :

$e^{1} = e$ , on a donc $ln (e) = 1$ .

Les relations suivantes sont par conséquent disponibles :

Relations entre fonctions réciproques

Pour tout réel $x$ strictement positif, on a $e^{l n (x)} = x$ .

Et pour tout réel $x$ , on a $ln (e^{x}) = x$ .

Relations algébriques

Le logarithme népérien a plusieurs propriétés intéressantes qu’il faut connaître.

Formules

Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :

$ln (x \times y) = ln (x) + ln (y)$
$ln (x^{n}) = n \times ln (x)$ pour $n \in Z$
$ln (\frac{x}{y}) = ln (x) - ln (y)$
$ln (\frac{1}{y}) = - ln (y)$
$ln (p x) = \frac{1}{p} \times ln (x)$ pour $p \in N^{*}$

Certaines de ces propriétés peuvent se déduire les unes des autres.

Représentation graphique

Voici une représentation graphique de la fonction logarithme népérien :

On voit sur ce graphique plusieurs propriétés données précédemment : $ln (1) = 0$ et $ln (e) = 1$ par exemple. On trace maintenant le graphe de la fonction logarithme népérien, avec celui de la fonction exponentielle. On trace également la droite d’équation $y = x$ :

On remarque plusieurs choses : le graphe de la fonction logarithme népérien est le symétrique de celui de la fonction exponentielle par rapport à la droite $y = x$ et on voit que la fonction logarithme népérien croît moins vite que la fonction puissance qui elle-même croît moins vite que la fonction exponentielle. Cette propriété est importante : c’est la croissance comparée.

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

$x \to 0^{+} lim ln (x) = - \infty$
$x \to + \infty lim ln (x) = + \infty$

Il faut aussi savoir que la fonction puissance l’emporte sur le logarithme népérien (voir la partie Représentation graphique).

Croissances comparées

Pour tout $n \in N$ :

$x \to + \infty lim \frac{l n ( x )}{x ^{n}} = 0$ .
$x \to 0^{+} lim x^{n} ln (x) = 0$ .

Démonstration

Croissances comparées

Nous allons démontrer le second point en utilisant le premier (qui n’est pas éligible à une démonstration au lycée) dans le cas $n = 1$ . Pour tout $x > 0$ , posons $y = \frac{1}{x}$ .

On a donc pour tout, $x ln (x) = \frac{1}{y} ln (\frac{1}{y}) = - \frac{l n ( y )}{y}$ .

Or, quand $x$ tend vers $0^{+}$ , $y$ tend vers $+ \infty$ . Par le premier point : $y \to + \infty lim \frac{ln ( y )}{y} = 0 ⟺ y \to + \infty lim - \frac{ln ( y )}{y} = 0$ Et en remplaçant $y$ par $\frac{1}{x}$ dans le résultat ci-dessus, on a bien ce que l’on cherchait.

Pour finir, on donne une limite qu’il peut être utile de savoir redémontrer.

$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$

Démonstration

La fonction logarithme népérien est dérivable en $1$ (voir sous-section suivante), on peut donc écrire : $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = x \to 0 lim \frac{ln ( x + 1 ) - ln ( 1 )}{x} = ln^{'} (1) = \frac{1}{1} = 1$

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle : $ln^{'} (u (x)) = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u (x) = x$ , on trouve : $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$

Variations

Avec la dérivée donnée précédemment ainsi que les limites données, il est désormais possible d’obtenir les variations de la fonction logarithme népérien.

Signe et variations

On remarque qu’avec le tableau de variation, il est possible d’obtenir le signe de la fonction (avec le théorème des valeurs intermédiaires).

Ainsi, sur $] 0; 1 [$ , $ln$ est strictement négative et sur $] 1; + \infty [$ , $ln (x)$ est strictement positive et, comme vu précédemment, $ln (1) = 0$ .

On observe également les variations de la fonction : strictement croissante sur son ensemble de définition.

Chapitre V – La fonction logarithme népérien

Définition

Définition

Exemple

Relations entre fonctions réciproques

Relations algébriques

Formules

Représentation graphique

Limites

Limites

Croissances comparées

Croissances comparées

Dérivée

Dérivée d’une composée

Dérivée

Variations

Signe et variations

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Propriétés du logarithme népérien

Définition

Définition

Exemple

Relations entre fonctions réciproques

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Étude de la fonction

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Croissances comparées

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Dérivée

Dérivée d’une composée

Dérivée

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