Cosinus et sinus

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $\mathcal{C}$ faisant un angle $x$ avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

• L’abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $\cos (x)$.

• L’ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $\sin (x)$.

• Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $-1\le \cos (x)\le 1$ et $-1\le \sin (x)\le 1$.

Périodicité

Ainsi pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

• $\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$

• $\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$

Concrètement, cela signifie que $\cos (x)=\cos (x+2\pi )=\cos (x+4\pi )=\cdots =\cos (x+2k\pi )$ et idem pour $\sin (x)$.

Formules

On a les relations suivantes pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

• $\cos (-x)=\cos (x)$ (la fonction cosinus est paire)

• $\sin (-x)=-\sin (x)$ (la fonction sinus est impaire)

• $\cos (\pi +x)=-\cos (x)$

• $\sin (\pi +x)=-\sin (x)$

• $\cos (\pi -x)=-\cos (x)$

• $\sin (\pi -x)=\sin (x)$

• $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin (x)$

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos (x)$

• $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin (x)$

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos (x)$

• $\cos (x+y)=\cos (x)\times \cos (y)-\sin (x)\times \sin (y)$

• $\sin (x+y)=\sin (x)\times \cos (y)+\cos (x)\times \sin (y)$

• $\cos (x{)}^2+\sin (x{)}^2=1$

Retrouver les formules

Il n’est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l’exemple de $\cos (x+\pi )$ :

On remarque que l’ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule $\cos (x+\pi )=-\cos (x)$.

Résolution d’équations

Soient $x$ et $y$ deux réels. On a les relations suivantes :

• $\cos (x)=\cos (y)⟺\text{ il existe }k\in \mathbb{Z}\text{ tel que }\{\begin{array}{l}y=x+2k\pi \\ \text{ou}\\ y=-x+2k\pi \end{array}$

• $\sin (x)=\sin (y)⟺\text{ il existe }k\in \mathbb{Z}\text{ tel que }\{\begin{array}{l}y=x+2k\pi \\ \text{ou}\\ y=\pi -x+2k\pi \end{array}$

Définition

Soient $x$ et $y$ $\in \mathbb{R}$, on admettra qu’il existe une fonction réciproque à $\cos$ (notée $\arccos$) et une fonction réciproque à $\sin$ (notée $\arcsin$). On a les relations suivantes pour tout $x\in [0;2\pi ]$ et $y\in [-1;1]$ :

• $\cos (x)=y⟺x=\arccos (y)$

• $\sin (x)=y⟺x=\sin (y)$

Exemple

$\cos (0)=1$, $\arccos (1)=0$ et $\sin (\frac{\pi }{2})=1$, $\arcsin (1)=\frac{\pi }{2}$.

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

• ${\cos }^{\prime }(u(x))=-u^{\prime }(x)\sin (u(x))$

• ${\sin }^{\prime }(u(x))=u^{\prime }(x)\cos (u(x))$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x\in I$ on a $u(x)=x$, on trouve :

• ${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x)$

• ${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$

Signe et variation de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$.

Signe et variation de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$.

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :