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Sinus et cosinus

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé $(O,\ \overrightarrow{i} ;\ \overrightarrow{j})$ . Il sera également muni d’un cercle $\mathcal{C}$ appelé cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $\mathcal{C}$ faisant un angle $x$ avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

L’abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $\cos(x)$ .
L’ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $\sin(x)$ .
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ .

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$ .

Périodicité

Ainsi pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

$\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$
$\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$

Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$\cos(-x) = \cos(x)$ (la fonction cosinus est paire)
$\sin(-x) = -\sin(x)$ (la fonction sinus est impaire)
$\cos(\pi + x) = -\cos(x)$
$\sin(\pi + x) = -\sin(x)$
$\cos(\pi - x) = -\cos(x)$
$\sin(\pi - x) = \sin(x)$
$\cos \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$
$\sin \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = \cos(x)$
$\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)$
$\sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos(x)$
$\cos(x + y) = \cos(x) \times \cos(y) - \sin(x) \times \sin(y)$
$\sin(x + y) = \sin(x) \times \cos(y) + \cos(x) \times \sin(y)$
$\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$

Résolution d’équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.

Résolution d’équations

Soient $x$ et $y$ deux réels. On a les relations suivantes :

$\cos(x) = \cos(y) \iff \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ \text{ou} \\ y = -x + 2k\pi\end{cases}$
$\sin(x) = \sin(y) \iff \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ \text{ou} \\ y = \pi - x + 2k\pi\end{cases}$

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

Fonctions réciproques

Définition

Soient $x$ et $y$ $\in \mathbb{R}$ , on admettra qu’il existe une fonction réciproque à $\cos$ (notée $\arccos$ ) et une fonction réciproque à $\sin$ (notée $\arcsin$ ). On a les relations suivantes pour tout $x \in [0; 2\pi]$ et $y \in [-1; 1]$ :

$\cos(x) = y \iff x = \arccos(y)$
$\sin(x) = y \iff x = \sin(y)$

Cela signifie qu’à tout $x \in [0; 2\pi]$ , la fonction $\arccos$ y associe son antécédent $y$ par rapport à $\cos$ (pareil pour $\arcsin$ avec $\sin$ ).

Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d’équations.

Étude des fonctions trigonométriques

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ , on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$\cos'(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x))$
$\sin'(u(x)) = u'(x)\cos(u(x))$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$ , on trouve :

$\cos'(x) = -\sin(x)$
$\sin'(x) = \cos(x)$

Signe et variations

L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$ .

Signe et variation de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$ .

Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en $\pm\infty$ . Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre $-1$ et $1$ .

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de $x$ (à $2k\pi$ près, $k \in \mathbb{Z}$ )	Valeur de $\cos(x)$	Valeur de $\sin(x)$
$0$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{2}$	$0$	$1$
$\frac{2\pi}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{3\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{5\pi}{6}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\pi$	$-1$	$0$

Représentation graphique

À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.