Chapitre IV – Les fonctions trigonométriques

Fiche résumée

Terminale Terminale Moyen

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente. Ce cours permettra d'étudier ces fonctions et d'en visualiser des propriétés (périodicité, parité, valeurs remarquables, et plus encore).

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Sinus et cosinus

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé (O, i→; j→)(O,\ \overrightarrow{i} ;\ \overrightarrow{j}). Il sera également muni d’un cercle C\mathcal{C} appelé cercle trigonométrique de centre OO et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit MM un point quelconque situé sur le cercle C\mathcal{C} faisant un angle xx avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de MM sont :

  • L’abscisse de MM appelée cosinus est notée cos⁡(x)\cos(x).

  • L’ordonnée de MM appelée sinus est notée sin⁡(x)\sin(x).

  • Pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, on a −1≤cos⁡(x)≤1-1 \leq \cos(x) \leq 1 et −1≤sin⁡(x)≤1-1 \leq \sin(x) \leq 1.

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π2\pi.

Périodicité

Ainsi pour tout xx réel et kk entier relatif :

  • cos⁡(x)=cos⁡(x+2kπ)\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)

  • sin⁡(x)=sin⁡(x+2kπ)\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)

Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} :

  • cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x) (la fonction cosinus est paire)

  • sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x) = -\sin(x) (la fonction sinus est impaire)

  • cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos(\pi + x) = -\cos(x)

  • sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(\pi + x) = -\sin(x)

  • cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x)

  • sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(\pi - x) = \sin(x)

  • cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)\cos \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)

  • sin⁡(π2+x)=cos⁡(x)\sin \left(\frac{\pi}{2} + x \right) = \cos(x)

  • cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \sin(x)

  • sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)\sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos(x)

  • cos⁡(x+y)=cos⁡(x)×cos⁡(y)−sin⁡(x)×sin⁡(y)\cos(x + y) = \cos(x) \times \cos(y) - \sin(x) \times \sin(y)

  • sin⁡(x+y)=sin⁡(x)×cos⁡(y)+cos⁡(x)×sin⁡(y)\sin(x + y) = \sin(x) \times \cos(y) + \cos(x) \times \sin(y)

  • cos⁡(x)2+sin⁡(x)2=1\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1

Résolution d’équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.

Résolution d’équations

Soient xx et yy deux réels. On a les relations suivantes :

  • cos⁡(x)=cos⁡(y)  ⟺   il existe k∈Z tel que {y=x+2kπouy=−x+2kπ\cos(x) = \cos(y) \iff \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ \text{ou} \\ y = -x + 2k\pi\end{cases}

  • sin⁡(x)=sin⁡(y)  ⟺   il existe k∈Z tel que {y=x+2kπouy=π−x+2kπ\sin(x) = \sin(y) \iff \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ \text{ou} \\ y = \pi - x + 2k\pi\end{cases}

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

Fonctions réciproques

Définition

Soient xx et yy ∈R\in \mathbb{R}, on admettra qu’il existe une fonction réciproque à cos⁡\cos (notée arccos⁡\arccos) et une fonction réciproque à sin⁡\sin (notée arcsin⁡\arcsin). On a les relations suivantes pour tout x∈[0;2π]x \in [0; 2\pi] et y∈[−1;1]y \in [-1; 1] :

  • cos⁡(x)=y  ⟺  x=arccos⁡(y)\cos(x) = y \iff x = \arccos(y)

  • sin⁡(x)=y  ⟺  x=sin⁡(y)\sin(x) = y \iff x = \sin(y)

Cela signifie qu’à tout x∈[0;2π]x \in [0; 2\pi], la fonction arccos⁡\arccos y associe son antécédent yy par rapport à cos⁡\cos (pareil pour arcsin⁡\arcsin avec sin⁡\sin).

Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d’équations.

Étude des fonctions trigonométriques

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction uu dérivable sur un intervalle II, on a pour tout xx appartenant à cet intervalle :

  • cos⁡′(u(x))=−u′(x)sin⁡(u(x))\cos'(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x))

  • sin⁡′(u(x))=u′(x)cos⁡(u(x))\sin'(u(x)) = u'(x)\cos(u(x))

Dérivée

Ainsi, si pour tout x∈Ix \in I on a u(x)=xu(x) = x, on trouve :

  • cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x) = -\sin(x)

  • sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x) = \cos(x)

Signe et variations

L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

image

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période 2π2\pi.

Signe et variation de la fonction sinus

image

Ce tableau est également périodique de période 2π2\pi.

Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en ±∞\pm\infty. Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre −1-1 et 11.

Valeurs remarquables

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de xx (à 2kπ2k\pi près, k∈Zk \in \mathbb{Z}) Valeur de cos⁡(x)\cos(x) Valeur de sin⁡(x)\sin(x)
00 11 00
π6\displaystyle{\frac{\pi}{6}} 32\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}} 12\displaystyle{\frac{1}{2}}
π4\displaystyle{\frac{\pi}{4}} 22\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}} 22\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}
π3\displaystyle{\frac{\pi}{3}} 12\displaystyle{\frac{1}{2}} 32\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}
π2\displaystyle{\frac{\pi}{2}} 00 11
2π3\displaystyle{\frac{2\pi}{3}} −12\displaystyle{-\frac{1}{2}} 32\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}
3π4\displaystyle{\frac{3\pi}{4}} −22\displaystyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}} 22\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}
5π6\displaystyle{\frac{5\pi}{6}} −32\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}} 12\displaystyle{\frac{1}{2}}
π\pi −1-1 00

Représentation graphique

À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.