La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente. Ce cours permettra d'étudier ces fonctions et d'en visualiser des propriétés (périodicité, parité, valeurs remarquables, et plus encore).
Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé (O,i;j). Il sera également muni d’un cercle C appelé cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :
Cosinus et sinus
Soit M un point quelconque situé sur le cercle C faisant un angle x avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de M sont :
L’abscisse de M appelée cosinus est notée cos(x).
L’ordonnée de M appelée sinus est notée sin(x).
Pour tout x∈R, on a −1≤cos(x)≤1 et −1≤sin(x)≤1.
Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
Périodicité
Ainsi pour tout x réel et k entier relatif :
cos(x)=cos(x+2kπ)
sin(x)=sin(x+2kπ)
Formules de trigonométrie
Formules
On a les relations suivantes pour tout x∈R :
cos(−x)=cos(x) (la fonction cosinus est paire)
sin(−x)=−sin(x) (la fonction sinus est impaire)
cos(π+x)=−cos(x)
sin(π+x)=−sin(x)
cos(π−x)=−cos(x)
sin(π−x)=sin(x)
cos(2π+x)=−sin(x)
sin(2π+x)=cos(x)
cos(2π−x)=sin(x)
sin(2π−x)=cos(x)
cos(x+y)=cos(x)×cos(y)−sin(x)×sin(y)
sin(x+y)=sin(x)×cos(y)+cos(x)×sin(y)
cos(x)2+sin(x)2=1
Résolution d’équations
Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.
Résolution d’équations
Soient x et y deux réels. On a les relations suivantes :
cos(x)=cos(y)⟺ il existe k∈Z tel que ⎩⎨⎧y=x+2kπouy=−x+2kπ
sin(x)=sin(y)⟺ il existe k∈Z tel que ⎩⎨⎧y=x+2kπouy=π−x+2kπ
Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.
Fonctions réciproques
Définition
Soient x et y∈R, on admettra qu’il existe une fonction réciproque à cos (notée arccos) et une fonction réciproque à sin (notée arcsin). On a les relations suivantes pour tout x∈[0;2π] et y∈[−1;1] :
cos(x)=y⟺x=arccos(y)
sin(x)=y⟺x=sin(y)
Cela signifie qu’à tout x∈[0;2π], la fonction arccos y associe son antécédenty par rapport à cos (pareil pour arcsin avec sin).
Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d’équations.
Étude des fonctions trigonométriques
Dérivée
Dérivée d’une composée
Soit une fonction u dérivable sur un intervalle I, on a pour tout x appartenant à cet intervalle :
cos′(u(x))=−u′(x)sin(u(x))
sin′(u(x))=u′(x)cos(u(x))
Dérivée
Ainsi, si pour tout x∈I on a u(x)=x, on trouve :
cos′(x)=−sin(x)
sin′(x)=cos(x)
Signe et variations
L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.
Signe et variation de la fonction cosinus
Veuillez noter que ce tableau est périodique de période 2π.
Signe et variation de la fonction sinus
Ce tableau est également périodique de période 2π.
Limite
Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en ±∞. Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre −1 et 1.
Valeurs remarquables
Valeurs remarquables
Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :
Valeur de x (à 2kπ près, k∈Z)
Valeur de cos(x)
Valeur de sin(x)
0
1
0
6π
23
21
4π
22
22
3π
21
23
2π
0
1
32π
−21
23
43π
−22
22
65π
−23
21
π
−1
0
Représentation graphique
À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :
De même pour la fonction sinus :
On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.
Terminale
