Sinus et cosinus

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé $(O,\ \overrightarrow\imath ;\ \overrightarrow\jmath)$. Il sera également muni d'un cercle $\mathcal{C}$ appelé cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est le sens direct) :

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $\mathcal{C}$ faisant un angle $x$ avec l'axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

• L'abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $\cos(x)$.
• L'ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $\sin(x)$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$.

Ainsi pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

• $\cos(x) = \cos(x + 2k\pi)$
• $\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$

Formules de trigonométrie

On a les relations suivantes pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

• $\cos(-x) = \cos(x)$ (la fonction cosinus est paire)
• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (la fonction sinus est impaire)
• $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$
• $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$
• $\cos(x - \pi) = -\cos(x)$
• $\sin(x - \pi) = \sin(x)$
• $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$
• $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$
• $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$
• $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$
• $\cos(x + y) = \cos(x) \times \cos(y) - \sin(x) \times \sin(y)$
• $\sin(x + y) = \sin(x) \times \cos(y) + \cos(x) \times \sin(y)$
• $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$

Résolution d'équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.

Soient $x$ et $y$ deux réels. On a les relations suivantes :

• $\cos(x) = \cos(y) \iff \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ \text{ou} \\ y = -x + 2k\pi\end{cases}$
• $\sin(x) = \sin(y) \iff \text{ il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } \begin{cases} y = x + 2k\pi \\ \text{ou} \\ y = \pi - x + 2k\pi\end{cases}$

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l'aide du cercle trigonométrique.

Étude des fonctions trigonométriques

Dérivée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

• $\cos'(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x))$
• $\sin'(u(x)) = u'(x)\cos(u(x))$

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u(x) = x$, on trouve :

• $\cos'(x) = -\sin(x)$
• $\sin'(x) = \cos(x)$

Signe et variations

L'étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d'obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2\pi$.

Ce tableau est également périodique de période $2\pi$.

Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en $\pm\infty$. Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre $-1$ et $1$.

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de $x$ (à $2k\pi$ près, $k \in \mathbb{Z}$)	Valeur de $\cos(x)$	Valeur de $\sin(x)$
$0$	$1$	$0$
$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$	$0$	$1$
$\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}$	$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{3\pi}{4}}$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\frac{5\pi}{6}}$	$\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$	$\displaystyle{\frac{1}{2}}$
$\pi$	$-1$	$0$

Représentation graphique

À l'aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d'établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc...