Définition
Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé . Il sera également muni d’un cercle appelé cercle trigonométrique de centre et de rayon orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :
Cosinus et sinus
Soit un point quelconque situé sur le cercle faisant un angle avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de sont :
- L’abscisse de appelée cosinus est notée .
- L’ordonnée de appelée sinus est notée .
- Pour tout , on a et .
Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période .
Périodicité
Ainsi pour tout réel et entier relatif :
Concrètement, cela signifie que et idem pour .
Formules de trigonométrie
Formules
On a les relations suivantes pour tout :
- (la fonction cosinus est paire)
- (la fonction sinus est impaire)
Retrouver les formules
Il n’est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l’exemple de :
On remarque que l’ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule .
Résolution d’équations
Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.
Résolution d’équations
Soient et deux réels. On a les relations suivantes :
Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.
Fonctions réciproques
Définition
Soient et , on admettra qu’il existe une fonction réciproque à (notée ) et une fonction réciproque à (notée ). On a les relations suivantes pour tout et :
Cela signifie qu’à tout , la fonction y associe son antécédent par rapport à (pareil pour avec ).
Exemple
, et , .
Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d’équations.
Dérivée
Dérivée d’une composée
Soit une fonction dérivable sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle :
Dérivée
Ainsi, si pour tout on a , on trouve :
Signe et variations
L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.
Signe et variation de la fonction cosinus
Veuillez noter que ce tableau est périodique de période .
Signe et variation de la fonction sinus
Ce tableau est également périodique de période .
Limite
Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en . Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre et .
Valeurs remarquables
Valeurs remarquables
Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :
Valeur de (à près, ) | Valeur de | Valeur de |
---|---|---|
Représentation graphique
À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :
De même pour la fonction sinus :
On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.
Faissal
Oui très bon résumé de cours
15/06/2023 13:30:35