Sinus et cosinus

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé . Il sera également muni d’un cercle appelé cercle trigonométrique de centre et de rayon orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit un point quelconque situé sur le cercle faisant un angle avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de sont :

  • L’abscisse de appelée cosinus est notée .
  • L’ordonnée de appelée sinus est notée .
  • Pour tout , on a et .

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période .

Périodicité

Ainsi pour tout réel et entier relatif :

Concrètement, cela signifie que et idem pour .

Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout :

  • (la fonction cosinus est paire)
  • (la fonction sinus est impaire)

Retrouver les formules

Il n’est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l’aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l’exemple de :

On remarque que l’ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule .

Résolution d’équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.

Résolution d’équations

Soient et deux réels. On a les relations suivantes :

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

Fonctions réciproques

Définition

Soient et , on admettra qu’il existe une fonction réciproque à (notée ) et une fonction réciproque à (notée ). On a les relations suivantes pour tout et :

Cela signifie qu’à tout , la fonction y associe son antécédent par rapport à (pareil pour avec ).

Exemple

, et , .

Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d’équations.

Étude des fonctions trigonométriques

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle :

Dérivée

Ainsi, si pour tout on a , on trouve :

Signe et variations

L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

image

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période .

Signe et variation de la fonction sinus

image

Ce tableau est également périodique de période .

Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en . Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre et .

Valeurs remarquables

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de près, )Valeur de Valeur de

Représentation graphique

À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.

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pour

pour

Vraiment s est génial

12/05/2023 23:43:40
Skyost

Skyost Modérateur

Merci beaucoup ! 😉

22/07/2021 15:13:58
kedoh

kedoh

bonjour, je vous avoue que j'ai tellement adoré ce cours. Merci pour pour ce que vous faites à la jeunesse mondiale.

21/07/2021 10:35:08

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