I – Sinus et cosinus

1. Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé . Il sera également muni d'un cercle appelé cercle trigonométrique de centre et de rayon orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit un point quelconque situé sur le cercle faisant un angle avec l'axe des abscisses. Les coordonnées de sont :

  • L'abscisse de appelée cosinus est notée .
  • L'ordonnée de appelée sinus est notée .
  • Pour tout , on a et .

2. Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période .

Périodicité

Ainsi pour tout réel et entier relatif :

Concrètement, cela signifie que et idem pour .

3. Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout :

  • (la fonction cosinus est paire)
  • (la fonction sinus est impaire)

Retrouver les formules

Il n'est aucunement demandé de mémoriser ces formules (sauf les trois dernières). Cependant, il doit être possible de les retrouver à l'aide du cercle trigonométrique. Ainsi, prenons l'exemple de :

On remarque que l'ordonnée reste la même (le sinus est le même). Cependant, on a bien une abscisse opposée. On a retrouvé la formule .

4. Résolution d'équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.

Résolution d'équations

Soient et deux réels. On a les relations suivantes :

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l'aide du cercle trigonométrique.

5. Fonctions réciproques

Définition

Soient et , on admettra qu'il existe une fonction réciproque à (notée ) et une fonction réciproque à (notée ). On a les relations suivantes pour tout et :

Cela signifie qu'à tout , la fonction y associe son antécédent par rapport à ( pareil pour avec ).

Exemple

, et , .

Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d'équations.

II – Étude des fonctions trigonométriques

1. Dérivée

Dérivée d'une composée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle , on a pour tout appartenant à cet intervalle :

Dérivée

Ainsi, si pour tout on a , on trouve :

2. Signe et variations

L'étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d'obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

Tableau de variations de la fonction cosinus

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période .

Signe et variation de la fonction sinus

Tableau de variations de la fonction sinus

Ce tableau est également périodique de période .

3. Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en . Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre et .

4. Valeurs remarquables

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de près, )Valeur de Valeur de

5. Représentation graphique

À l'aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d'établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.

Vous avez aimé ce cours ?

Faîtes-le nous savoir dans les commentaires !

Avatar (prévisualisation)
Il n'y a pas de commentaire sur ce cours pour le moment.