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Sinus et cosinus

Définition

Dans tout le cours, le plan sera muni d’un repère orthonormé $(O, i; j)$ . Il sera également muni d’un cercle $C$ appelé cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (c’est le sens direct) :

Cosinus et sinus

Soit $M$ un point quelconque situé sur le cercle $C$ faisant un angle $x$ avec l’axe des abscisses. Les coordonnées de $M$ sont :

L’abscisse de $M$ appelée cosinus est notée $cos (x)$ .
L’ordonnée de $M$ appelée sinus est notée $sin (x)$ .
Pour tout $x \in R$ , on a $- 1 \leq cos (x) \leq 1$ et $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ .

Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2 π$ .

Périodicité

Ainsi pour tout $x$ réel et $k$ entier relatif :

$cos (x) = cos (x + 2 kπ)$
$sin (x) = sin (x + 2 kπ)$

Formules de trigonométrie

Formules

On a les relations suivantes pour tout $x \in R$ :

$cos (- x) = cos (x)$ (la fonction cosinus est paire)
$sin (- x) = - sin (x)$ (la fonction sinus est impaire)
$cos (π + x) = - cos (x)$
$sin (π + x) = - sin (x)$
$cos (π - x) = - cos (x)$
$sin (π - x) = sin (x)$
$cos (\frac{π}{2} + x) = - sin (x)$
$sin (\frac{π}{2} + x) = cos (x)$
$cos (\frac{π}{2} - x) = sin (x)$
$sin (\frac{π}{2} - x) = cos (x)$
$cos (x + y) = cos (x) \times cos (y) - sin (x) \times sin (y)$
$sin (x + y) = sin (x) \times cos (y) + cos (x) \times sin (y)$
$cos (x)^{2} + sin (x)^{2} = 1$

Résolution d’équations

Il est possible de résoudre des équations incluant des sinus et des cosinus.

Résolution d’équations

Soient $x$ et $y$ deux réels. On a les relations suivantes :

$cos (x) = cos (y) ⟺ il existe k \in Z tel que ⎩ ⎨ ⎧ y = x + 2 kπ ou y = - x + 2 kπ$
$sin (x) = sin (y) ⟺ il existe k \in Z tel que ⎩ ⎨ ⎧ y = x + 2 kπ ou y = π - x + 2 kπ$

Comme précédemment, ces formules peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

Fonctions réciproques

Définition

Soient $x$ et $y$ $\in R$ , on admettra qu’il existe une fonction réciproque à $cos$ (notée $arccos$ ) et une fonction réciproque à $sin$ (notée $arcsin$ ). On a les relations suivantes pour tout $x \in [0; 2 π]$ et $y \in [- 1; 1]$ :

$cos (x) = y ⟺ x = arccos (y)$
$sin (x) = y ⟺ x = sin (y)$

Cela signifie qu’à tout $x \in [0; 2 π]$ , la fonction $arccos$ y associe son antécédent $y$ par rapport à $cos$ (pareil pour $arcsin$ avec $sin$ ).

Ces fonctions (accessibles depuis la calculatrice) peuvent également être utilisées pour résoudre certains types d’équations.

Étude des fonctions trigonométriques

Dérivée

Dérivée d’une composée

Soit une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ , on a pour tout $x$ appartenant à cet intervalle :

$cos^{'} (u (x)) = - u^{'} (x) sin (u (x))$
$sin^{'} (u (x)) = u^{'} (x) cos (u (x))$

Dérivée

Ainsi, si pour tout $x \in I$ on a $u (x) = x$ , on trouve :

$cos^{'} (x) = - sin (x)$
$sin^{'} (x) = cos (x)$

Signe et variations

L’étude du signe des dérivées des fonctions trigonométriques permet d’obtenir les variations de celles-ci. Nous allons donc voir le signe et les variations de ces fonctions.

Signe et variation de la fonction cosinus

variations-cos

Veuillez noter que ce tableau est périodique de période $2 π$ .

Signe et variation de la fonction sinus

variations-sin

Ce tableau est également périodique de période $2 π$ .

Limite

Les fonctions trigonométriques ont pour particularité de ne pas admettre de limite en $\pm \infty$ . Ceci provenant du fait que ces fonctions sont périodiques et que leur valeur oscille entre $- 1$ et $1$ .

Valeurs remarquables

Voici un tableau regroupant quelques valeurs remarquables de sinus et de cosinus :

Valeur de $x$ (à $2 kπ$ près, $k \in Z$ )	Valeur de $cos (x)$	Valeur de $sin (x)$
$0$	$1$	$0$
$\frac{π}{6}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$
$\frac{π}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$\frac{π}{2}$	$0$	$1$
$\frac{2 π}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$\frac{3 π}{4}$	$- \frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$
$\frac{5 π}{6}$	$- \frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$
$π$	$- 1$	$0$

Représentation graphique

À l’aide de toutes les informations et valeurs données précédemment, il est possible d’établir une représentation graphique de la fonction cosinus :

De même pour la fonction sinus :

On remarque sur ces graphiques plusieurs propriétés données : parité, signe, périodicité, etc.