Terminale
I – Rappels sur les variables aléatoires
1. Définition
Nous allons rappeler quelques notions vues en classe de Première sur les variables aléatoires.
Définition
Une variable aléatoire
2. Loi de probabilité
Définition
Soit
On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.
Représentation d'une loi de probabilité par un tableau
Soit
| ... | ||||
|---|---|---|---|---|
| ... |
On a
Cette définition peut sembler un peu compliquée mais elle signifie juste qu'une loi de probabilité assigne une probabilité à chaque valeur prise par notre variable aléatoire.
3. Espérance, variance et écart-type
Espérance
L'espérance
Variance et écart-type
La variance
Exemple
Calcul de l'espérance, de la variance et de l'écart-type. Soit
| $x_i$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $6$ |
| $p_i$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
On a :
Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :
Signification des paramètres
- L'espérance est la valeur moyenne prise par
- La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par
II – Loi de Bernoulli
1. Succession d'épreuves indépendantes
Univers associé
Soit une succession de
Alors l'univers associé à cette succession d'épreuves indépendantes est le produit cartésien
Exemple
On effectue deux lancers de dé équilibrés à
Ainsi, l'univers associé à cette succession de
Par exemple, une issue possible à cette succession d'épreuves est
Arbre de probabilité
Il est tout à fait possible de modéliser ce type d'expérience à l'aide d'un arbre de probabilité. Cependant, cela peut
devenir compliqué dès lors que le nombre d'épreuves dépasse
Un arbre de probabilité permet également de représenter une succession d'épreuves non-indépendantes.
Calcul de probabilité
Soit une succession de
Exemple
En reprenant les notations de l'exemple précédent, on a
D'ailleurs, on se trouve dans une situation d'équiprobabilité car toutes les issues ont une probabilité de
2. Épreuve et schéma de Bernoulli
Derrière ces noms qui peuvent sembler compliquer, se cache une notion finalement simple, et que l'on rencontre souvent dans la vie quotidienne.
Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'admet que deux issues possibles : le succès et l'échec.
Tout choix aléatoire binaire est une épreuve de Bernoulli. On peut donner l'exemple d'un lancer de pièce, obtenir un résultat durant un lancer de dé, ou même le fait que vous décidiez de laisser une bonne note ou non à l'application Bacomathiques !
Il est souvent possible de répéter plusieurs fois une épreuve de Bernoulli. C'est ce qu'on appelle un schéma de Bernoulli.
Schéma de Bernoulli
Soit une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes. On appelle cette succession un schéma de Bernoulli.
3. Qu'est-ce qu'une loi de Bernoulli ?
Définition
Soient
| $x_i$ | $0$ | $1$ |
| $p_i$ | $1 - p$ | $p$ |
C'est-à-dire, qu'on a une probabilité
Il est possible de calculer facilement l'espérance, la variable et l'écart-type d'une variable aléatoire suivant ce type de loi.
Espérance, variance et écart-type
Soit
Exemple
Plaçons-nous dans le cadre d'un lancer de pièce truquée qui a deux chances sur trois de tomber sur Pile. Supposons que nous souhaitons tomber sur Face (on a donc une chance sur trois de réussir).
Soit
Et enfin on a
III – Loi binomiale
1. Définition
Une loi de Bernoulli permet de modéliser ce qui se passe dans le cas d'une seule épreuve de Bernoulli. Cependant, il peut arriver que l'on souhaite voir ce qu'il se passe dans le cadre d'un schéma de Bernoulli (c'est-à-dire, en répétant indépendamment plusieurs fois une épreuve de Bernoulli).
Définition
Soient
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces
Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
2. Calculs de probabilités
Probabilité d'un nombre de succès
Soit
Exemple
On lance
Soit
On cherche donc à calculer
La probabilité d'obtenir au plus
Il ne reste qu'à appliquer la formule :
Finalement, on trouve
Petite remarque supplémentaire : comme
Comme on l'a dit précédemment, il est tout à fait possible d'utiliser des arbres de probabilités pour répondre à ce genre de questions. Cependant, essayez de représenter la situation donnée dans l'exemple précédent à l'aide d'un tel arbre et vous vous rendrez vite compte qu'il est beaucoup plus facile d'utiliser les propriétés de la loi binomiale.
3. Espérance, variance et écart-type
Espérance, variance et écart-type
Soit
Exemple
En se replaçant dans l'exemple du lancer de dé vu dans la sous-section précédente, on a