Rappels sur les variables aléatoires

Définition

Nous allons rappeler quelques notions vues en classe de Première sur les variables aléatoires.

Définition

Une variable aléatoire XX est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers Ω\Omega y associe un nombre réel. C’est-à-dire : X:ΩRX : \Omega \rightarrow \mathbb{R}.

Loi de probabilité

Définition

Soit XX une variable aléatoire. La loi de probabilité de XX attribue à chaque valeur xix_i la probabilité pi=P(X=xi)p_i = P(X = x_i) de l’événement X=xiX = x_i constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par XX est xix_i.

On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit XX une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

xix_i x1x_1 x2x_2 ... xnx_n
pip_i =P(X=xi)=P(X = x_i) p1p_1 =P(X=x1)= P(X = x_1) p2p_2 =P(X=x2)= P(X = x_2) ... pnp_n =P(X=xn)= P(X = x_n)

On a p1+p2++pn=1p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.

Cette définition peut sembler un peu compliquée mais elle signifie juste qu’une loi de probabilité assigne une probabilité à chaque valeur prise par notre variable aléatoire.

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L’espérance E(X)E(X) d’une variable aléatoire XX est le réel : E(X)=x1×p1+x2×p2++xn×pnE(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n.

Variance et écart-type

La variance V(X)V(X) et l’écart-type σ(X)\sigma(X) d’une variable aléatoire XX sont les réels positifs suivants :

  • V(X)=E(X2)E(X)2V(X) = E(X^2) - E(X)^2

  • σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Exemple

Calcul de l’espérance, de la variance et de l’écart-type. Soit XX une variable aléatoire suivant la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous :

xix_i 1-1 00 22 66
pip_i 14\frac{1}{4} 12\frac{1}{2} 18\frac{1}{8} 18\frac{1}{8}

On a :

  • E(X)=1×14+0×12+2×18+6×18=34E(X) = -1 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

  • V(X)=((1)2×14+02×12+22×18+62×18)(34)2=7516V(X) = ((-1)^2 \times \frac{1}{4} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{8} + 6^2 \times \frac{1}{8}) - (\frac{3}{4})^2 = \frac{75}{16}

  • σ(X)=75162.165\sigma(X) = \sqrt{\frac{75}{16}} \approx 2.165

Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :

Signification des paramètres

  • L’espérance est la valeur moyenne prise par XX.

  • La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.

Loi de Bernoulli

Succession d’épreuves indépendantes

Univers associé

Soit une succession de nn épreuves indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une n’a pas d’incidence sur le résultat de la suivante). On note les univers associés à chaque expérience respectivement par Ω1\Omega_1, Ω2\Omega_2, ... , Ωn\Omega_n.

Alors l’univers associé à cette succession d’épreuves indépendantes est le produit cartésien Ω1×Ω2××Ωn\Omega_1 \times \Omega_2 \times \dots \times \Omega_n.

Exemple

On effectue deux lancers de dé équilibrés à 66 faces. Ces lancers sont indépendants et admettent Ω1={1;;6}=Ω2\Omega_1 = \{1; \dots; 6\} = \Omega_2 pour univers.

Ainsi, l’univers associé à cette succession de 22 épreuves indépendantes est Ω1×Ω2={1;;6}×{1;;6}\Omega_1 \times \Omega_2 = \{1; \dots; 6\} \times \{1; \dots; 6\}.

Par exemple, une issue possible à cette succession d’épreuves est (1;6)(1; 6) (qui correspond au fait de faire un 11 avec le premier dé et de faire un 66 avec le deuxième dé).

Arbre de probabilité

Il est tout à fait possible de modéliser ce type d’expérience à l’aide d’un arbre de probabilité. Cependant, cela peut devenir compliqué dès lors que le nombre d’épreuves dépasse 22 ou que le nombre d’issues possibles dépasse 33.

Un arbre de probabilité permet également de représenter une succession d’épreuves non-indépendantes.

Calcul de probabilité

Soit une succession de nn épreuves indépendantes et soit (ω1,,ωn)(\omega_1, \dots, \omega_n) une issue de cette succession d’épreuves. Alors P((ω1,,ωn))=P(ω1)××P(ωn)P((\omega_1, \dots, \omega_n)) = P(\omega_1) \times \dots \times P(\omega_n).

Exemple

En reprenant les notations de l’exemple précédent, on a P((1;6))=P(1)×P(6)=136P((1; 6)) = P(1) \times P(6) = \frac{1}{36}.

D’ailleurs, on se trouve dans une situation d’équiprobabilité car toutes les issues ont une probabilité de 136\frac{1}{36} de se produire.

Épreuve et schéma de Bernoulli

Derrière ces noms qui peuvent sembler compliquer, se cache une notion finalement simple, et que l’on rencontre souvent dans la vie quotidienne.

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’admet que deux issues possibles : le succès et l’échec.

Tout choix aléatoire binaire est une épreuve de Bernoulli. On peut donner l’exemple d’un lancer de pièce, obtenir un résultat durant un lancer de dé, ou même le fait que vous décidiez de laisser une bonne note ou non à l’application Bacomathiques !

Il est souvent possible de répéter plusieurs fois une épreuve de Bernoulli. C’est ce qu’on appelle un schéma de Bernoulli.

Schéma de Bernoulli

Soit une succession d’épreuves de Bernoulli indépendantes. On appelle cette succession un schéma de Bernoulli.

Loi de Bernoulli

Définition

Soient XX une variable aléatoire et p]0;1[p \in ]0; 1[. On dit que XX suit une loi de Bernoulli de paramètre pp (qui se note B(p)\mathcal{B}(p)) si la loi de XX est la suivante :

xix_i 00 11
pip_i 1p1 - p pp

C’est-à-dire, qu’on a une probabilité pp d’obtenir un succès (représenté par 11) et une probabilité de 1p1-p d’obtenir un échec (représenté par 00).

Il est possible de calculer facilement l’espérance, la variable et l’écart-type d’une variable aléatoire suivant ce type de loi.

Espérance, variance et écart-type

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B(p)\mathcal{B}(p). Alors :

  • E(X)=pE(X) = p.

  • V(X)=p(1p)V(X) = p(1-p).

  • σ(X)=p(1p)\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.

Exemple

Plaçons-nous dans le cadre d’un lancer de pièce truquée qui a deux chances sur trois de tomber sur Pile. Supposons que nous souhaitons tomber sur Face (on a donc une chance sur trois de réussir).

Soit XX la variable aléatoire modélisant cette situation. Alors XX suit une loi de Bernoulli B(13)\mathcal{B}\left(\frac{1}{3}\right). Donc :

  • P(X=0)=113=23P(X = 0) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} (on a deux chances sur trois de tomber sur Pile).

  • P(X=1)=23P(X = 1) = \frac{2}{3} (on a deux chances sur trois de tomber sur Face).

Et enfin on a E(X)=23E(X) = \frac{2}{3}, V(X)=29V(X) = \frac{2}{9} et σ(X)=23\sigma(X) = \frac{\sqrt{2}}{3}.

Loi binomiale

Définition

Une loi de Bernoulli permet de modéliser ce qui se passe dans le cas d’une seule épreuve de Bernoulli. Cependant, il peut arriver que l’on souhaite voir ce qu’il se passe dans le cadre d’un schéma de Bernoulli (c’est-à-dire, en répétant indépendamment plusieurs fois une épreuve de Bernoulli).

Définition

Soient nNn \in \mathbb{N}^* et p]0;1[p \in ]0; 1[. On se place dans le cadre d’un schéma de Bernoulli à nn répétitions et où la probabilité de succès des épreuves est pp.

La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces nn répétitions est la loi binomiale de paramètres nn et pp (notée B(n;p)\mathcal{B}(n; p)).

Il s’agit en fait d’une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l’on répète plusieurs fois l’expérience.

Calculs de probabilités

Probabilité d’un nombre de succès

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi B(n;p)\mathcal{B}(n; p). Alors pour tout entier kk compris entre 00 et nn, on a P(X=k)=(nk)pk(1p)nk\displaystyle{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}}.

Démonstration

Exemple

On lance 55 fois un dé équilibré à 66 faces et on souhaite savoir quelle est la probabilité d’obtenir au plus 22 fois un nombre pair.

Soit XX la variable aléatoire modélisant cette situation. Comme la probabilité d’obtenir un nombre pair est de 12\frac{1}{2}, XX suit donc une loi binomiale B(5;0,5)\mathcal{B}(5; 0,5).

On cherche donc à calculer P(X2)P(X \leq 2). Il suffit pour cela de décomposer l’événement :

La probabilité d’obtenir au plus 22 fois un nombre pair est égale à la probabilité d’obtenir 00, 11 ou 22 fois un nombre pair. D’où :

P(X2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

Il ne reste qu’à appliquer la formule :

  • P(X=0)=(50)(0,5)0(10,5)5=0,03125\displaystyle{P(X = 0) = \binom{5}{0}(0,5)^0(1-0,5)^5 = 0,03125}

  • P(X=1)=(51)(0,5)1(10,5)4=0,15625\displaystyle{P(X = 1) = \binom{5}{1}(0,5)^1(1-0,5)^4 = 0,15625}

  • P(X=2)=(52)(0,5)2(10,5)3=0,3125\displaystyle{P(X = 2) = \binom{5}{2}(0,5)^2(1-0,5)^3 = 0,3125}

Finalement, on trouve P(X2)=0,5P(X \leq 2) = 0,5.

Petite remarque supplémentaire : comme P(X3)=P(X>2)=1P(X2)=10,5=0,5P(X \geq 3) = P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0,5 = 0,5, on a qu’il y a autant de chance d’obtenir 22 fois ou moins un nombre pair, qu’il y en a d’en obtenir un nombre pair 33 fois ou plus.

Comme on l’a dit précédemment, il est tout à fait possible d’utiliser des arbres de probabilités pour répondre à ce genre de questions. Cependant, essayez de représenter la situation donnée dans l’exemple précédent à l’aide d’un tel arbre et vous vous rendrez vite compte qu’il est beaucoup plus facile d’utiliser les propriétés de la loi binomiale.

Espérance, variance et écart-type

Espérance, variance et écart-type

Soit XX une variable aléatoire suivant B(n;p)\mathcal{B}(n; p). Alors :

  • E(X)=npE(X) = np.

  • V(X)=np(1p)V(X) = np(1-p).

  • σ(X)=np(1p)\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.

Exemple

En se replaçant dans l’exemple du lancer de dé vu dans la sous-section précédente, on a E(X)=2,5E(X) = 2,5, V(x)=1,25V(x) = 1,25 et σ(X)1,118\sigma(X) \approx 1,118.

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