Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers $\Omega$ y associe un nombre réel. C’est-à-dire : $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$.

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire. La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de l’événement $X = x_i$ constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par $X$ est $x_i$.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit $X$ une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

On a $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

Espérance

L’espérance $E(X)$ d’une variable aléatoire $X$ est le réel : $$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \dots + x_n \times p_n$$

Variance et écart-type

La variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma(X)$ d’une variable aléatoire $X$ sont les réels positifs suivants :

• $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$

• $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Signification des paramètres

• L’espérance est la valeur moyenne prise par $X$.

• La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.

Univers associé

Soit une succession de $n$ épreuves indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une n’a pas d’incidence sur le résultat de la suivante). On note les univers associés à chaque expérience respectivement par $\Omega_1$, $\Omega_2$, ... , $\Omega_n$.

Alors l’univers associé à cette succession d’épreuves indépendantes est le produit cartésien $\Omega_1 \times \Omega_2 \times \dots \times \Omega_n$.

Calcul de probabilité

Soit une succession de $n$ épreuves indépendantes et soit $(\omega_1, \dots, \omega_n)$ une issue de cette succession d’épreuves. Alors $P((\omega_1, \dots, \omega_n)) = P(\omega_1) \times \dots \times P(\omega_n)$.

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’admet que deux issues possibles : le succès et l’échec.

Schéma de Bernoulli

Soit une succession d’épreuves de Bernoulli indépendantes. On appelle cette succession un schéma de Bernoulli.

Définition

Soient $X$ une variable aléatoire et $p \in ]0; 1[$. On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (qui se note $\mathcal{B}(p)$) si la loi de $X$ est la suivante :

C’est-à-dire, qu’on a une probabilité $p$ d’obtenir un succès (représenté par $1$) et une probabilité de $1-p$ d’obtenir un échec (représenté par $0$).

Espérance, variance et écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$. Alors :

• $E(X) = p$.

• $V(X) = p(1-p)$.

• $\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$.

Définition

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in ]0; 1[$. On se place dans le cadre d’un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions et où la probabilité de succès des épreuves est $p$.

La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces $n$ répétitions est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $\mathcal{B}(n; p)$).

Probabilité d’un nombre de succès

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi $\mathcal{B}(n; p)$. Alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on a $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Espérance, variance et écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{B}(n; p)$. Alors :

• $E(X) = np$.

• $V(X) = np(1-p)$.

• $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.