Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque événement élémentaire de l’univers $\Omega$ y associe un nombre réel. C’est-à-dire : $X:\Omega \to \mathbb{R}$.

Définition

Soit $X$ une variable aléatoire. La loi de probabilité de $X$ attribue à chaque valeur $x_i$ la probabilité $p_i=P(X=x_i)$ de l’événement $X=x_i$ constitué de tous les événements élémentaires dont l’image par $X$ est $x_i$.

Représentation d’une loi de probabilité par un tableau

Soit $X$ une variable aléatoire. On peut représenter sa loi de probabilité par le tableau ci-contre :

On a $p_1+p_2+\cdots +p_n=1$.

Espérance

L’espérance $E(X)$ d’une variable aléatoire $X$ est le réel : $$E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+\cdots +x_n\times p_n$$

Variance et écart-type

La variance $V(X)$ et l’écart-type $\sigma (X)$ d’une variable aléatoire $X$ sont les réels positifs suivants :

• $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$
• $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$

Signification des paramètres

• L’espérance est la valeur moyenne prise par $X$.
• La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l’espérance.

Univers associé

Soit une succession de $n$ épreuves indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une n’a pas d’incidence sur le résultat de la suivante). On note les univers associés à chaque expérience respectivement par ${\Omega }_1$, ${\Omega }_2$, ... , ${\Omega }_n$.

Alors l’univers associé à cette succession d’épreuves indépendantes est le produit cartésien ${\Omega }_1\times {\Omega }_2\times \cdots \times {\Omega }_n$.

Calcul de probabilité

Soit une succession de $n$ épreuves indépendantes et soit $({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)$ une issue de cette succession d’épreuves. Alors $P(({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n))=P({\omega }_1)\times \cdots \times P({\omega }_n)$.

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’admet que deux issues possibles : le succès et l’échec.

Schéma de Bernoulli

Soit une succession d’épreuves de Bernoulli indépendantes. On appelle cette succession un schéma de Bernoulli.

Définition

Soient $X$ une variable aléatoire et $p\in ]0;1[$. On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (qui se note $\mathcal{B}(p)$) si la loi de $X$ est la suivante :

C’est-à-dire, qu’on a une probabilité $p$ d’obtenir un succès (représenté par $1$) et une probabilité de $1-p$ d’obtenir un échec (représenté par $0$).

Espérance, variance et écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$. Alors :

• $E(X)=p$.
• $V(X)=p(1-p)$.
• $\sigma (X)=\sqrt{p(1-p)}$.

Définition

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\in ]0;1[$. On se place dans le cadre d’un schéma de Bernoulli à $n$ répétitions et où la probabilité de succès des épreuves est $p$.

La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces $n$ répétitions est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $\mathcal{B}(n;p)$).

Probabilité d’un nombre de succès

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi $\mathcal{B}(n;p)$. Alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on a $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Espérance, variance et écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{B}(n;p)$. Alors :

• $E(X)=np$.
• $V(X)=np(1-p)$.
• $\sigma (X)=\sqrt{np(1-p)}$.