I – Rappels sur les variables aléatoires
1. Définition
Nous allons rappeler quelques notions vues en classe de Première sur les variables aléatoires.
Définition
Une variable aléatoire
2. Loi de probabilité
Définition
Soit
On représente généralement les lois de probabilité par un tableau.
Représentation d'une loi de probabilité par un tableau
Soit
... | ||||
---|---|---|---|---|
... |
On a
3. Espérance, variance et écart-type
Espérance
L'espérance
Variance et écart-type
La variance
Chacun de ces paramètres a une utilité bien précise. En effet :
Signification des paramètres
- L'espérance est la valeur moyenne prise par
. - La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par
. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs sont dispersées autour de l'espérance.
II – Loi de Bernoulli
1. Succession d'épreuves indépendantes
Univers associé
Soit une succession de
Alors l'univers associé à cette succession d'épreuves indépendantes est le produit cartésien
Calcul de probabilité
Soit une succession de
2. Épreuve et schéma de Bernoulli
Derrière ces noms qui peuvent sembler compliquer, se cache une notion finalement simple, et que l'on rencontre souvent dans la vie quotidienne.
Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'admet que deux issues possibles : le succès et l'échec.
Il est souvent possible de répéter plusieurs fois une épreuve de Bernoulli. C'est ce qu'on appelle un schéma de Bernoulli.
Schéma de Bernoulli
Soit une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes. On appelle cette succession un schéma de Bernoulli.
3. Qu'est-ce qu'une loi de Bernoulli ?
Définition
Soient
$x_i$ | $0$ | $1$ |
$p_i$ | $1 - p$ | $p$ |
C'est-à-dire, qu'on a une probabilité
Il est possible de calculer facilement l'espérance, la variable et l'écart-type d'une variable aléatoire suivant ce type de loi.
Espérance, variance et écart-type
Soit
. . .
III – Loi binomiale
1. Définition
Une loi de Bernoulli permet de modéliser ce qui se passe dans le cas d'une seule épreuve de Bernoulli. Cependant, il peut arriver que l'on souhaite voir ce qu'il se passe dans le cadre d'un schéma de Bernoulli (c'est-à-dire, en répétant indépendamment plusieurs fois une épreuve de Bernoulli).
Définition
Soient
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces
2. Calculs de probabilités
Probabilité d'un nombre de succès
Soit
Comme on l'a dit précédemment, il est tout à fait possible d'utiliser des arbres de probabilités pour répondre à ce genre de questions.
3. Espérance, variance et écart-type
Espérance, variance et écart-type
Soit
. . .