Définition

Soient $m$ et $n$ deux entiers non nuls. Une matrice réelle $A$ de taille $m\times n$ est un tableau de réels tel que : $$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right)$$ où $a_{1,1}$, $a_{1,2}$, $a_{2,1}$, ..., $a_{m,n}$ sont les coefficients de la matrice. L’ensemble des matrices à coefficients réels est noté ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$.

Types de matrices

Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :

• Une matrice $1\times n$ est une matrice ligne de taille $n$.

• Une matrice $m\times 1$ est une matrice colonne de taille $m$.

• Une matrice $n\times n$ est une matrice carrée d’ordre $n$. L’ensemble de ces matrices est noté ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

• Une matrice $1\times 1$ est un réel.

• La matrice $m\times n$ dont tous les termes sont nuls est la matrice nulle et est notée $0_{{\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})}$ (ou plus simplement $0_{m,n}$).

Types de matrices carrées

Il existe différentes matrices carrées remarquables :

• Une matrice carrée dont tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.

• Une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure stricte.

• Une matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.

• Une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure stricte.

• Une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale.

• Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à $1$ est une matrice identité. Si la taille d’une telle matrice est $n$, alors on la note $I_n$.

Diagonale d’une matrice carrée

La diagonale d’une matrice carrée d’ordre $n$ représente l’ensemble des coefficients $a_{i,i}$ où $i$ varie de $1$ à $n$.

Somme de deux matrices

Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d’additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement : $$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \dots & b_{1,n}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& \dots & b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m,1}& b_{m,2}& \dots & b_{m,n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}+b_{1,1}& a_{1,2}+b_{1,2}& \dots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ a_{2,1}+b_{2,1}& a_{2,2}+b_{2,2}& \dots & a_{2,n}+b_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}+b_{m,1}& a_{m,2}+b_{m,2}& \dots & a_{m,n}+b_{m,n}\end{array}\right)$$

Attention !

Il n’est possible d’additionner que deux matrices de même taille.

Multiplication d’une matrice par un réel

Soit $\lambda$ un réel. Le produit d’une matrice par $\lambda$ est la matrice de même taille dont les coefficients sont tous multipliés par $\lambda$. Plus spécifiquement : $$\lambda \times \left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\lambda \times a_{1,1}& \lambda \times a_{1,2}& \dots & \lambda \times a_{1,n}\\ \lambda \times a_{2,1}& \lambda \times a_{2,2}& \dots & \lambda \times a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda \times a_{m,1}& \lambda \times a_{m,2}& \dots & \lambda \times a_{m,n}\end{array}\right)$$ Si $A$ est la matrice de gauche, on note $\lambda A$ la matrice de droite.

Soustraction de deux matrices

Pour soustraire deux matrices $A$ et $B$, on additionne $A$ et $(-1)B$ i.e. $A-B=A+(-1)B$.

Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

Soient $L=\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& ...& l_n\end{array}\right)$ une matrice ligne de taille $n$ et $C=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$ une matrice colonne de taille $n$.

Le produit de ces deux matrices (noté $LC$) est le réel $LC=l_1\times c_1+\cdots +l_n\times c_n$.

Produit de deux matrices

Soient $A$ une matrice de taille $m\times n$ et $B$ une matrice de taille $n\times p$ deux matrices. Le produit de ces deux matrices (notée $A\times B$ ou $AB$) est la matrice de taille $m\times p$ dont le coefficient à la position $(i;j)$ est égal au produit de la $i$-ième ligne de $A$ par la $j$-ième colonne de $B$. Plus spécifiquement, en notant $L_i$ la $i$-ème ligne de $A$ et $C_j$ la $j$-ième colonne de $B$ : $$AB=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{1,1}& c_{1,2}& \dots & c_{1,p}\\ c_{2,1}& c_{2,2}& \dots & c_{2,p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{m,1}& c_{m,2}& \dots & c_{m,p}\end{array}\right)$$ où $c_{i,j}=L_i\times C_j$.

Attention !

Le produit matriciel n’est pas commutatif ! Donc en général, $AB\ne BA$.

De plus, il faut bien s’assurer que le nombre de lignes de $A$ est égal au nombre de colonnes de $B$.

Si $A$ et $B$ sont deux matrices diagonales de taille $n$. Leur produit est la matrice diagonale de même taille dont le coefficient à la position $(i;i)$ est le produit du coefficient de $A$ à la position $(i;i)$ par celui du coefficient de $B$ à la position $(i;i)$. De plus, on a $AB=BA$.

Propriétés du produit matriciel

Soient $A$, $B$ et $C$ trois matrices carrées d’ordre $n$. Alors :

• Le produit matriciel est associatif : $A(BC)=(AB)C$.

• Le produit matriciel est distributif : $A(B+C)=AB+AC$.

• $I_n$ est l’unité de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : $A{I}_n=I_{n}A=A$.

• $0_n$ est le zéro de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ : $A{0}_n=0_{n}A=0_n$ et $A+0_n=A$.

• Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$.

Attention !

Si on a une égalité du type $A\times B=0$, cela n’implique pas forcément que $A=0$ ou $B=0$ !

De plus, si on a $AB=AC$, on n’a pas forcément $B=C$.

Inverse d’une matrice

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$. $A$ est dite inversible s’il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=I_n$.

Si cette matrice existe, elle est unique et s’appelle inverse de $A$. De plus, $A$ et $A^{-1}$ commutent.

Déterminant d’une matrice $2\times 2$

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ une matrice carrée d’ordre $2$.

Alors le déterminant de $A$ (noté $\det (A)$) est le réel $\det (A)=ad-bc$. De plus, $A$ est inversible si et seulement si $\det (A)\ne 0$.

Inverse d’une matrice $2\times 2$

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ une matrice carrée d’ordre $2$ dont le déterminant ne s’annule pas. Alors : $$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

Exemple

Calculons le produit de $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& 4\end{array}\right)$ par $B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -6& 2\end{array}\right)$, et déduisons-en que $A$ est inversible sans utiliser la formule donnée précédemment.

Le produit nous donnera une matrice carrée d’ordre $2$ car on multiplie deux matrices carrées d’ordre $2$ : $$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -6& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8-6& -2+2\\ 24-24& -6+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$ Donc $A\times B=2I_2$. Ainsi, $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{2}B$.

Puissance d’une matrice carrée

Soient $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ et $i$ un entier naturel :

• Si $i>0$, $A^i=\underset{i\text{ fois}}{\underbrace{A\times \cdots \times A}}=A^{i-1}\times A$.

• Si $i=0$, $A^i=A^0=I_n$.

• Si $i<0$, $A^i=\underset{i\text{ fois}}{\underbrace{A^{-1}\times \cdots \times A^{-1}}}=A^{i-1}\times A^{-1}$.

De plus, pour tout entier naturel $j$, on a $A^i\times A^j=A^{i+j}$.

Puissance d’une matrice diagonale

Si $A$ est une matrice diagonale, alors $A^i$ est la matrice de même taille où tous les termes de la diagonale sont mis à la puissance $i$ (cela vaut aussi si $i$ est négatif et que la diagonale ne comporte pas de $0$).

Définition

Soit $A$ une matrice. La matrice transposée de $A$ (notée ${}^{t}A$) est la matrice dont la $i$-ième ligne correspond à la $i$-ième colonne de $A$.

Exemple

Soient $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 9\\ 3& 6& 10\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 2& 3& 5\\ 8& 13& 21\end{array}\right)$. Calculons ${}^{t}A$ et ${}^{t}B$.

On a ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\\ 9& 10\end{array}\right)$ et ${}^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 8\\ 1& 3& 13\\ 1& 5& 21\end{array}\right)$.

Lien entre système d’équations linéaires et matrices

Soient quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ et soient deux réels $\alpha$ et $\beta$. Le système d’équations linéaires à deux inconnues $$\{\begin{array}{l}ax+by=\alpha \\ cx+dy=\beta \end{array}\text{\hspace{1em}(S)}$$ (d’inconnues $x$ et $y$) peut s’écrire matriciellement : $$(S)⟺\underset{=A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}}\underset{=X}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}}=\underset{=B}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)}}$$

Résolution du système $(S)$

Avec les notations ci-dessus, si $A$ est inversible (voir les paragraphes suivants) alors le système $(S)$ admet une unique solution $X=A^{-1}B$.

Exemple

Cela peut sembler compliqué à appliquer, mais il n’en est rien !

Par exemple, transformons le système $$\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ 2x+5y=4\end{array}\text{\hspace{1em}(S)}$$ en une égalité de matrices :

$$(S)⟺\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$$

Or l’inverse de $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$ est $\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$. D’où $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$.

Or deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont tous égaux. Donc on a $x=-3$ et $y=2$.

Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ vérifiant une relation du type $U_{n+1}=A{U}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et où $A\in {\mathcal{M}}_m(\mathbb{R})$.

Alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_n=A^n{U}_0$.

Il peut sembler étrange de manipuler des suites de matrices, mais c’est en réalité très intuitif. Par exemple, définissions la suite $(U_n)$ par $U_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ et pour tout $n\ge 1$ par $U_{n+1}=\underset{=A}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)}}{U}_n$ et cherchons son terme général.

Par la formule précédente, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_n=A^n{U}_0$. Or, $A$ est une matrice diagonale, donc $A^n=\left(\begin{array}{cc}{1}^n& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)$, et ainsi : $$U_n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2^{n+1}\end{array}\right)$$ On remarque en particulier que la suite $(U_n)$ est divergente (à cause de sa deuxième coordonnée qui tend vers $+\infty$).

Soit $(V_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ vérifiant une relation du type $V_{n+1}=A{V}_n+B$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et où $A$, $B\in {\mathcal{M}}_m(\mathbb{R})$. Supposons qu’il existe une matrice $X\in {\mathcal{M}}_m(\mathbb{R})$ telle que $AX+B=X$.

Alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $U_n=A^n(U_0-X)+X$.

On se place dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Soient $A=(x_A;y_A)$ et $B=(x_B;y_B)$ deux points du plan.

• $B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{x}_{\overrightarrow{u}}\\ y_{\overrightarrow{u}}\end{array}\right)$ si et seulement si $\left(\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_{\overrightarrow{u}}\\ y_{\overrightarrow{u}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right)$.

• $B$ est l’image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta \in \mathbb{R}$ si et seulement si $\left(\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right)$.

Exemple

On pose $A=(1;1)$. Calculons les coordonnées de $B$ qui est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right)$, et de $C$ qui est l’image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\pi }{4}$.

On a : $$\left(\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{ et }\left(\begin{array}{c}{x}_C\\ y_C\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ Donc $B=(-1;1)$ et $C=(0;\sqrt{2})$.

Graphe non-orienté

Un graphe $G$ non-orienté est un couple $(S;A)$ où :

• $S$ est l’ensemble des sommets de $G$.

• $A$ est un ensemble contenant les éléments de la forme $\{s_i;s_j\}$ où $s_i$, $s_j\in S$, et correspond aux arêtes de $G$.

Exemple

Par exemple, $G=(\{A;B;C;D;E\},\{\{A;B\};\{B;C\};\{C;D\};\{D;A\};\{D;E\};\{E;A\}\})$ est un graphe non-orienté que l’on peut représenter comme tel :

Signalons tout de même que l’ordre dans lequel on relie les sommets n’a pas d’importance.

Graphe orienté

Un graphe $G$ orienté est un couple $(S;A)$ où :

• $S$ est l’ensemble des sommets de $G$.

• $A$ est un sous-ensemble de $S\times S$, et correspond aux arêtes orientées de $G$.

Exemple

Par exemple, $G=\{\{A;B;C;D;E\},\{(A;B);(B;C);(C;D);(D;E);(A;E)\})$ est un graphe orienté que l’on peut représenter comme tel :

À noter que dans les deux cas, il est possible de relier un sommet à lui-même (en faisant une boucle).

Définition

Soit $G=(S;A)$ un graphe. Donnons quelques définitions nécessaires pour la suite :

• L’ordre de $G$ est le nombre de sommets que possède $G$ (i.e. le cardinal de $S$).

• Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui passent par ce sommet (quelque-soit le sens de l’arête dans le cas où $G$ est orienté). Les boucles comptent pour $2$.

• Un sommet $A$ est adjacent à un autre sommet $B$ s’il existe une arête reliant $A$ à $B$ (i.e. si $(A;B)\in A$ dans le cas où $G$ est orienté / si $(A;B)$ ou $(B;A)\in A$ si $G$ n’est pas orienté). Si $A$ n’est adjacent à aucun autre sommet, alors $A$ est un sommet isolé.

• $G$ est dit complet si tout sommet de $A$ est adjacent à chacun des autres.

Soit $G$ un graphe. On note par $a$ son nombre d’arêtes, et par $d$ la somme des degrés de ses sommets. Alors $d=2a$.

Exemple

On considère le graphe orienté $G$ suivant :

Alors :

• $G$ n’est pas complet.

• L’ordre de $G$ est égal à $5$.

• $G$ a $4$ arêtes (donc la somme des degrés des sommets de $G$ vaut $2\times 4=8$).

• Le degré des sommets $A$ et $B$ est égal à $1$.

• Le degré des sommets $C$, $D$ et $E$ est égal à $2$.

• Le sommet $A$ est adjacent au sommet $E$ (mais $E$ n’est pas adjacent à $A$).

• $C$ est un sommet isolé.

• L’arête orientée qui va de $C$ à $C$ est une boucle.

Définition

Soit $G$ un graphe non-orienté. On appelle chaîne de taille $n$, toute succession de $n$ arêtes de $G$ telle que l’extrémité de chacune est l’origine de la suivante.

Si $G$ est un graphe orienté, on parle de chemin plutôt que de chaîne.

Définition

Dans un graphe $G$ non-orienté :

• Si l’origine d’une chaîne coïncide avec sa fin, on parle de chaîne fermée (ou de chemin fermé si $G$ est orienté).

• Si la chaîne est composée d’arêtes toutes distinctes, on parle de cycle (ou de circuit si $G$ est orienté).

Exemple

On considère le graphe non-orienté suivant :

Alors :

• $A-B-C-D-A$ est un chemin fermé de longueur $4$ (c’est même un cycle).

• $A-C-B-D$ est un chemin de longueur $3$ reliant $A$ à $D$ (mais il y en a beaucoup d’autres).

Définition

Soit $G=(S;A)$ un graphe d’ordre $n$. On note $S=\{s_1,\dots ,s_n\}$ l’ensemble des sommets de $G$.

On fait correspondre à $G$ la matrice carrée d’ordre $n$ dont le coefficient à la ligne $i$ et la colonne $j$ est égal au nombre d’arêtes reliant le sommet $s_i$ au sommet $s_j$. Cette matrice est appelée matrice d’adjacence du graphe $G$.

Exemple

On considère le graphe orienté $G_1$ suivant :

Sa matrice d’adjacence est la matrice $M_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$.

Exemple

On considère le graphe non-orienté $G_2$ suivant (i.e. le même que le $G_1$ mais sans les orientations) :

Sa matrice d’adjacence est la matrice $M_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$.

Nombre de chemins de longueur $k$

Soient $G=(S;A)$ un graphe orienté d’ordre $n$ et $M$ sa matrice d’adjacence. On note $S=\{s_1,\dots ,s_n\}$ l’ensemble des sommets de $G$.

Alors le coefficient à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de $M^k$ est le nombre de chemins de longueur $k$ reliant le sommet $s_i$ au sommet $s_j$.

Nombre de chemins de longueur $k$

On pose $m_{i,j}^{(k)}$ le coefficient à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de $M^k$ et on note ${\mathcal{P}}_k$ la propriété définie pour tout $k\ge 1$ par ${\mathcal{P}}_k$ : $m_{i,j}^{(k)}$ est le nombre de chemins de longueur $k$ reliant le sommet $s_i$ au sommet $s_j$. Montrons ${\mathcal{P}}_n$ par récurrence.

Initialisation : On teste la propriété au rang $1$ :

${\mathcal{P}}_1$ est vraie car $m_{i,j}^{(1)}$ est égal au nombre d’arêtes (i.e. de chemins de longueur $1$) reliant le sommet $s_i$ au sommet $s_j$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie jusqu’à un rang $k\ge 1$ et vérifions qu’elle est vraie au rang $k+1$.

On a $M^{n+1}=M^n\times M$. Donc $m_{i,j}^{(k+1)}=m_{i,1}^{(k)}{m}_{1,j}^{(1)}+m_{i,2}^{(k)}{m}_{2,j}^{(1)}+\cdots +m_{i,n}^{(k)}{m}_{n,j}^{(1)}$.

Or, par hypothèse, pour tout $l\in \{1;\dots ;n\}$, $m_{i,l}^{(n)}$ est le nombre de chemins de longueur $n$ reliant $s_i$ à $s_l$ et $m_{l,j}$ est le nombre d’arêtes reliant le sommet $s_l$ au sommet $s_j$.

Ainsi, $m_{i,l}^{(k)}{m}_{l,j}^{(1)}$ est le nombre de chemins de longueur $n+1$ passant par $s_l$ et reliant $s_i$ à $s_j$.

Donc en sommant pour tous les sommets $s_l$, on obtient le nombre de chemins de longueur $n+1$ reliant $s_i$ à $s_j$. Donc ${\mathcal{P}}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion :

La propriété est initialisée au rang $1$ et est héréditaire. Ainsi, ${\mathcal{P}}_n$ est vraie pour tout $n\ge 1$.