Matrices

Définition

Définition

Soient mm et nn deux entiers non nuls. Une matrice réelle AA de taille m×nm \times n est un tableau de réels tel que :

A=(a1,1a1,2a1,na2,1a2,2a2,nam,1am,2am,n)\displaystyle{A = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix}}

a1,1a_{1,1}, a1,2a_{1,2}, a2,1a_{2,1}, ..., am,na_{m,n} sont les coefficients de la matrice. L’ensemble des matrices à coefficients réels est noté Mm,n(R)\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}).

Il serait également possible de prendre des matrices à coefficients entiers ou même complexes, mais nous nous limiterons ici au cas des matrices réelles.

Types de matrices

Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :

  • Une matrice 1×n1 \times n est une matrice ligne de taille nn.

  • Une matrice m×1m \times 1 est une matrice colonne de taille mm.

  • Une matrice n×nn \times n est une matrice carrée d’ordre nn. L’ensemble de ces matrices est noté Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

  • Une matrice 1×11 \times 1 est un réel.

  • La matrice m×nm \times n dont tous les termes sont nuls est la matrice nulle et est notée 0Mm,n(R)0_{\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})} (ou plus simplement 0m,n0_{m,n}).

Types de matrices carrées

Types de matrices carrées

Il existe différentes matrices carrées remarquables :

  • Une matrice carrée dont tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.

  • Une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure stricte.

  • Une matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.

  • Une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure stricte.

  • Une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale.

  • Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à 11 est une matrice identité. Si la taille d’une telle matrice est nn, alors on la note InI_n.

Opérations sur les matrices

Somme

Somme de deux matrices

Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d’additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement :

(a1,1a1,2a1,na2,1a2,2a2,nam,1am,2am,n)+(b1,1b1,2b1,nb2,1b2,2b2,nbm,1bm,2bm,n)\displaystyle{\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m,1} & b_{m,2} & \dots & b_{m,n}\end{pmatrix}}

=(a1,1+b1,1a1,2+b1,2a1,n+b1,na2,1+b2,1a2,2+b2,2a2,n+b2,nam,1+bm,1am,2+bm,2am,n+bm,n)\displaystyle{= \begin{pmatrix}a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} + b_{m,1} & a_{m,2} + b_{m,2} & \dots & a_{m,n} + b_{m,n}\end{pmatrix}}

Produit

Multiplication d’une matrice par un réel

Soit λ\lambda un réel. Le produit d’une matrice par λ\lambda est la matrice de même taille dont les coefficients sont tous multipliés par λ\lambda. Plus spécifiquement :

λ×(a1,1a1,2a1,na2,1a2,2a2,nam,1am,2am,n)=(λ×a1,1λ×a1,2λ×a1,nλ×a2,1λ×a2,2λ×a2,nλ×am,1λ×am,2λ×am,n)\displaystyle{\lambda \times \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda \times a_{1,1} & \lambda \times a_{1,2} & \dots & \lambda \times a_{1,n} \\ \lambda \times a_{2,1} & \lambda \times a_{2,2} & \dots & \lambda \times a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \times a_{m,1} & \lambda \times a_{m,2} & \dots & \lambda \times a_{m,n}\end{pmatrix}}

Si AA est la matrice de gauche, on note λA\lambda A la matrice de droite.

Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

Soient L=(l1...ln)L = \begin{pmatrix}l_1 & ... & l_n\end{pmatrix} une matrice ligne de taille nn et C=(c1cn)C = \begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} une matrice colonne de taille nn.

Le produit de ces deux matrices (noté LCLC) est le réel LC=l1×c1++ln×cnLC = l_1 \times c_1 + \dots + l_n \times c_n.

Plus généralement, le produit matriciel ne se limite pas qu’à la multiplication d’une matrice ligne avec une matrice colonne.

Produit de deux matrices

Soient AA une matrice de taille m×nm \times n et BB une matrice de taille n×pn \times p deux matrices. Le produit de ces deux matrices (notée A×BA \times B ou ABAB) est la matrice de taille m×pm \times p dont le coefficient à la position (i;j)(i; j) est égal au produit de la ii-ième ligne de AA par la jj-ième colonne de BB. Plus spécifiquement, en notant LiL_i la ii-ème ligne de AA et CjC_j la jj-ième colonne de BB :

AB=(c1,1c1,2c1,pc2,1c2,2c2,pcm,1cm,2cm,p)\displaystyle{AB = \begin{pmatrix}c_{1,1} & c_{1,2} & \dots & c_{1,p} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & \dots & c_{2,p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m,1} & c_{m,2} & \dots & c_{m,p}\end{pmatrix}}ci,j=Li×Cjc_{i,j} = L_i \times C_j.

Propriétés du produit matriciel

Soient AA, BB et CC trois matrices carrées d’ordre nn. Alors :

  • Le produit matriciel est associatif : A(BC)=(AB)CA(BC) = (AB)C.

  • Le produit matriciel est distributif : A(B+C)=AB+ACA(B + C) = AB + AC.

  • InI_n est l’unité de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) : AIn=InA=AAI_n = I_nA = A.

  • 0n0_n est le zéro de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) : A0n=0nA=0nA0_n = 0_nA = 0_n et A+0n=AA + 0_n = A.

  • Pour tout λR\lambda \in \mathbb{R}, λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B).

Cela peut sembler logique, mais on signale tout de même que les priorités les opératoires sont les mêmes que dans les ensembles de nombres comme R\mathbb{R} ou C\mathbb{C} (la multiplication prime sur l’addition, etc...).

Inverse et déterminant

Inverse d’une matrice

Soit AA une matrice carrée d’ordre nn. AA est dite inversible s’il existe une matrice A1A^{-1} telle que A×A1=InA \times A^{-1} = I_n.

Si cette matrice existe, elle est unique et s’appelle inverse de AA. De plus, AA et A1A^{-1} commutent.

Le déterminant permet, entre autres, de calculer l’inverse d’une matrice (s’il existe). Nous nous limiterons ici au cas des matrices carrées d’ordre 22, mais il est possible de le généraliser encore plus.

Déterminant d’une matrice 2×22 \times 2

Soit A=(abcd)\displaystyle{A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} une matrice carrée d’ordre 22.

Alors le déterminant de AA (noté det(A)\det(A)) est le réel det(A)=adbc\det(A) = ad - bc. De plus, AA est inversible si et seulement si det(A)0\det(A) \neq 0.

Inverse d’une matrice 2×22 \times 2

Soit A=(abcd)\displaystyle{A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} une matrice carrée d’ordre 22 dont le déterminant ne s’annule pas.

Alors A1=1det(A)(dbca)\displaystyle{A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}}.

Puissance

Puissance d’une matrice carrée

Soient AA une matrice carrée d’ordre nn et ii un entier naturel :

  • Si i>0i > 0, Ai=A××Ai fois=Ai1×A\displaystyle{A^i = \underbrace{A \times \dots \times A}_{i \text{ fois}} = A^{i-1} \times A}.

  • Si i=0i = 0, Ai=A0=InA^i = A^0 = I_n.

  • Si i<0i < 0, Ai=A1××A1i fois=Ai1×A1\displaystyle{A^i = \underbrace{A^{-1} \times \dots \times A^{-1}}_{i \text{ fois}} = A^{i-1} \times A^{-1}}.

De plus, pour tout entier naturel jj, on a Ai×Aj=Ai+jA^i \times A^j = A^{i+j}.

Transposition

Définition

Soit AA une matrice. La matrice transposée de AA (notée tA^tA) est la matrice dont la ii-ième ligne correspond à la ii-ième colonne de AA.

Applications

Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

Lien entre système d’équations linéaires et matrices

Soient quatre réels aa, bb, cc et dd et soient deux réels α\alpha et β\beta. Le système d’équations linéaires à deux inconnues (S):{ax+by=αcx+dy=β\displaystyle{(S) : \begin{cases}ax + by = \alpha \\ cx + dy = \beta\end{cases}} (d’inconnues xx et yy) peut s’écrire matriciellement :

(S)    (abcd)=A(xy)=X=(αβ)=B\displaystyle{(S) \iff \underbrace{\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}_{= \, A} \underbrace{\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}}_{= \, X} = \underbrace{\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}}_{= \, B}}

Résolution du système (S)(S)

Avec les notations ci-dessus, si AA est inversible (voir les paragraphes suivants) alors le système (S)(S) admet une unique solution X=A1BX = A^{-1}B.

Nous avons travaillé ici avec un système de deux équations, mais il est tout à fait possible de généraliser cette méthode à plus de deux équations !

Suites de matrices colonnes

Soit (Un)(U_n) une suite de matrices colonnes de taille mm vérifiant une relation du type Un+1=AUnU_{n+1} = A U_n pour tout nNn \in \mathbb{N} et où AMm(R)A \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}).

Alors, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un=AnU0U_n = A^n U_0.

Soit (Vn)(V_n) une suite de matrices colonnes de taille mm vérifiant une relation du type Vn+1=AVn+BV_{n+1} = A V_n + B pour tout nNn \in \mathbb{N} et où AA, BMm(R)B \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}). Supposons qu’il existe une matrice XMm(R)X \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}) telle que AX+B=XAX + B = X.

Alors, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un=An(U0X)+XU_n = A^n (U_0 - X) + X.

Transformations géométriques du plan

Il est possible de faire le lien entre les matrices et certains types de transformations géométriques du plan.

On se place dans un repère (O;i,j)(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). Soient A=(xA;yA)A = (x_A; y_A) et B=(xB;yB)B = (x_B; y_B) deux points du plan.

  • BB est l’image de AA par la translation de vecteur u=(xuyu)\displaystyle{\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{u}} \\ y_{\overrightarrow{u}} \end{pmatrix}} si et seulement si (xByB)=(xuyu)+(xAyA)\displaystyle{\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{u}} \\ y_{\overrightarrow{u}} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}}.

  • BB est l’image de AA par la rotation de centre OO et d’angle θR\theta \in \mathbb{R} si et seulement si (xByB)=(cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ))(xAyA)\displaystyle{\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}}.

Graphes

Graphes non-orientés et orientés

Graphe non-orienté

Un graphe GG non-orienté est un couple (S;A)(S; A) où :

  • SS est l’ensemble des sommets de GG.

  • AA est un ensemble contenant les éléments de la forme {si;sj}\{s_i; s_j\}sis_i, sjSs_j \in S, et correspond aux arêtes de GG.

Graphe orienté

Un graphe GG orienté est un couple (S;A)(S; A) où :

  • SS est l’ensemble des sommets de GG.

  • AA est un sous-ensemble de S×SS \times S, et correspond aux arêtes orientées de GG.

Définition

Soit G=(S;A)G = (S; A) un graphe. Donnons quelques définitions nécessaires pour la suite :

  • L’ordre de GG est le nombre de sommets que possède GG (i.e. le cardinal de SS).

  • Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui passent par ce sommet (quelque-soit le sens de l’arête dans le cas où GG est orienté). Les boucles comptent pour 22.

  • Un sommet AA est adjacent à un autre sommet BB s’il existe une arête reliant AA à BB (i.e. si (A;B)A(A; B) \in A dans le cas où GG est orienté / si (A;B)(A; B) ou (B;A)A(B; A) \in A si GG n’est pas orienté). Si AA n’est adjacent à aucun autre sommet, alors AA est un sommet isolé.

  • GG est dit complet si tout sommet de AA est adjacent à chacun des autres.

Soit GG un graphe. On note par aa son nombre d’arêtes, et par dd la somme des degrés de ses sommets. Alors d=2ad = 2a.

Chaînes et chemins

Définition

Soit GG un graphe non-orienté. On appelle chaîne de taille nn, toute succession de nn arêtes de GG telle que l’extrémité de chacune est l’origine de la suivante.

Si GG est un graphe orienté, on parle de chemin plutôt que de chaîne.

Définition

Dans un graphe GG non-orienté :

  • Si l’origine d’une chaîne coïncide avec sa fin, on parle de chaîne fermée (ou de chemin fermé si GG est orienté).

  • Si la chaîne est composée d’arêtes toutes distinctes, on parle de cycle (ou de circuit si GG est orienté).

Matrices d’adjacence

Le but de cette section est d’étudier le lien étroit qui relie les matrices et les graphes.

Définition

Soit G=(S;A)G = (S; A) un graphe d’ordre nn. On note S={s1,,sn}S = \{s_1, \dots, s_n\} l’ensemble des sommets de GG.

On fait correspondre à GG la matrice carrée d’ordre nn dont le coefficient à la ligne ii et la colonne jj est égal au nombre d’arêtes reliant le sommet sis_i au sommet sjs_j. Cette matrice est appelée matrice d’adjacence du graphe GG.

On notera qu’une telle matrice est symétrique (par rapport à sa diagonale) si le graphe en question est non-orienté.

Remarquons sur ces deux exemples que le caractère orienté ou non d’un graphe change sa matrice d’adjacence !

Nombre de chemins de longueur kk

Soient G=(S;A)G = (S; A) un graphe orienté d’ordre nn et MM sa matrice d’adjacence. On note S={s1,,sn}S = \{s_1, \dots, s_n\} l’ensemble des sommets de GG.

Alors le coefficient à la ligne ii et à la colonne jj de MkM^k est le nombre de chemins de longueur kk reliant le sommet sis_i au sommet sjs_j.