I – Matrices
1. Définition
Définition
Soient
Où
Il serait également possible de prendre des matrices à coefficients entiers ou même complexes, mais nous nous limiterons ici au cas des matrices réelles.
Types de matrices
Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :
- Une matrice
est une matrice ligne de taille . - Une matrice
est une matrice colonne de taille . - Une matrice
est une matrice carrée d'ordre . L'ensemble de ces matrices est noté . - Une matrice
est un réel. - La matrice
dont tous les termes sont nuls est la matrice nulle et est notée (ou plus simplement ).
2. Types de matrices carrées
Types de matrices carrées
Il existe différentes matrices carrées remarquables :
- Une matrice carrée dont tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.
- Une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure stricte.
- Une matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.
- Une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure stricte.
- Une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale .
- Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à
est une matrice identité. Si la taille d'une telle matrice est , alors on la note .
II – Opérations sur les matrices
1. Somme
Somme de deux matrices
Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d'additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement :
2. Produit
Multiplication d'une matrice par un réel
Soit
Si
Produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne
Soient
Le produit de ces deux matrices (noté
Plus généralement, le produit matriciel ne se limite pas qu'à la multiplication d'une matrice ligne avec une matrice colonne.
Produit de deux matrices
Soient
Propriétés du produit matriciel
Soient
- Le produit matriciel est associatif :
. - Le produit matriciel est distributif :
. est l'unité de : . est le zéro de : et .- Pour tout
, .
Cela peut sembler logique, mais on signale tout de même que les priorités les opératoires sont les mêmes que dans les
ensembles de nombres comme
3. Inverse et déterminant
Inverse d'une matrice
Soit
Si cette matrice existe, elle est unique et s'appelle inverse de
Le déterminant permet, entre autres, de calculer l'inverse d'une matrice (s'il existe). Nous nous limiterons ici au
cas des matrices carrées d'ordre
Déterminant d'une matrice
Soit
Alors le déterminant de
Inverse d'une matrice
Soit
Alors
4. Puissance
Puissance d'une matrice carrée
Soient
- Si
, . - Si
, . - Si
, .
De plus, pour tout entier naturel
5. Transposition
Définition
Soit
III – Applications
1. Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires
Lien entre système d'équations linéaires et matrices
Soient quatre réels
Résolution du système
Avec les notations ci-dessus, si
Nous avons travaillé ici avec un système de deux équations, mais il est tout à fait possible de généraliser cette méthode à plus de deux équations !
2. Suites de matrices colonnes
Soit
Alors, pour tout
Soit
Alors, pour tout
3. Transformations géométriques du plan
Il est possible de faire le lien entre les matrices et certains types de transformations géométriques du plan.
On se place dans un repère
est l'image de par la translation de vecteur si et seulement si . est l'image de par la rotation de centre et d'angle si et seulement si .
IV – Graphes
1. Graphes non-orientés et orientés
Graphe non-orienté
Un graphe
est l'ensemble des sommets de . est un ensemble contenant les éléments de la forme où , , et correspond aux arêtes de .
Graphe orienté
Un graphe
est l'ensemble des sommets de . est un sous-ensemble de , et correspond aux arêtes orientées de .
Définition
Soit
- L'ordre de
est le nombre de sommets que possède (i.e. le cardinal de ). - Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui passent par ce sommet (quelque-soit le sens de l'arête dans le cas
où
est orienté). Les boucles comptent pour . - Un sommet
est adjacent à un autre sommet s'il existe une arête reliant à (i.e. si dans le cas où est orienté / si ou si n'est pas orienté). Si n'est adjacent à aucun autre sommet, alors est un sommet isolé. est dit complet si tout sommet de est adjacent à chacun des autres.
Soit
2. Chaînes et chemins
Définition
Soit
Si
Définition
Dans un graphe
- Si l'origine d'une chaîne coïncide avec sa fin, on parle de chaîne fermée (ou de chemin fermé si
est orienté). - Si la chaîne est composée d'arêtes toutes distinctes, on parle de cycle (ou de circuit si
est orienté).
3. Matrices d'adjacence
Le but de cette section est d'étudier le lien étroit qui relie les matrices et les graphes.
Définition
Soit
On fait correspondre à
On notera qu'une telle matrice est symétrique (par rapport à sa diagonale) si le graphe en question est non-orienté.
Nombre de chemins de longueur
Soient
Alors le coefficient à la ligne