Terminale > Chapitre XV – Matrices et graphes (Maths expertes) > Fiche résumée

Matrices

Définition

Soient $m$ et $n$ deux entiers non nuls. Une matrice réelle $A$ de taille $m \times n$ est un tableau de réels tel que : $A = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix}$ où $a_{1,1}$ , $a_{1,2}$ , $a_{2,1}$ , ..., $a_{m,n}$ sont les coefficients de la matrice. L’ensemble des matrices à coefficients réels est noté $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

Il serait également possible de prendre des matrices à coefficients entiers ou même complexes, mais nous nous limiterons ici au cas des matrices réelles.

Types de matrices

Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :

Une matrice $1 \times n$ est une matrice ligne de taille $n$ .
Une matrice $m \times 1$ est une matrice colonne de taille $m$ .
Une matrice $n \times n$ est une matrice carrée d’ordre $n$ . L’ensemble de ces matrices est noté $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .
Une matrice $1 \times 1$ est un réel.
La matrice $m \times n$ dont tous les termes sont nuls est la matrice nulle et est notée $0_{\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})}$ (ou plus simplement $0_{m,n}$ ).

Types de matrices carrées

Il existe différentes matrices carrées remarquables :

Une matrice carrée dont tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.
Une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure stricte.
Une matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.
Une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure stricte.
Une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale.
Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à $1$ est une matrice identité. Si la taille d’une telle matrice est $n$ , alors on la note $I_n$ .

Opérations sur les matrices

Somme

Somme de deux matrices

Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d’additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement :

$\displaystyle \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m,1} & b_{m,2} & \dots & b_{m,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} + b_{m,1} & a_{m,2} + b_{m,2} & \dots & a_{m,n} + b_{m,n}\end{pmatrix}$

Produit

Multiplication d’une matrice par un réel

Soit $\lambda$ un réel. Le produit d’une matrice par $\lambda$ est la matrice de même taille dont les coefficients sont tous multipliés par $\lambda$ . Plus spécifiquement : $\lambda \times \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda \times a_{1,1} & \lambda \times a_{1,2} & \dots & \lambda \times a_{1,n} \\ \lambda \times a_{2,1} & \lambda \times a_{2,2} & \dots & \lambda \times a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \times a_{m,1} & \lambda \times a_{m,2} & \dots & \lambda \times a_{m,n}\end{pmatrix}$ Si $A$ est la matrice de gauche, on note $\lambda A$ la matrice de droite.

Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

Soient $L = \begin{pmatrix}l_1 & ... & l_n\end{pmatrix}$ une matrice ligne de taille $n$ et $C = \begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}$ une matrice colonne de taille $n$ .

Le produit de ces deux matrices (noté $LC$ ) est le réel $LC = l_1 \times c_1 + \dots + l_n \times c_n$ .

Plus généralement, le produit matriciel ne se limite pas qu’à la multiplication d’une matrice ligne avec une matrice colonne.

Produit de deux matrices

Soient $A$ une matrice de taille $m \times n$ et $B$ une matrice de taille $n \times p$ deux matrices. Le produit de ces deux matrices (notée $A \times B$ ou $AB$ ) est la matrice de taille $m \times p$ dont le coefficient à la position $(i; j)$ est égal au produit de la $i$ -ième ligne de $A$ par la $j$ -ième colonne de $B$ . Plus spécifiquement, en notant $L_i$ la $i$ -ème ligne de $A$ et $C_j$ la $j$ -ième colonne de $B$ : $AB = \begin{pmatrix}c_{1,1} & c_{1,2} & \dots & c_{1,p} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & \dots & c_{2,p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m,1} & c_{m,2} & \dots & c_{m,p}\end{pmatrix}$ où $c_{i,j} = L_i \times C_j$ .

Propriétés du produit matriciel

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois matrices carrées d’ordre $n$ . Alors :

Le produit matriciel est associatif : $A(BC) = (AB)C$ .
Le produit matriciel est distributif : $A(B + C) = AB + AC$ .
$I_n$ est l’unité de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ : $AI_n = I_nA = A$ .
$0_n$ est le zéro de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ : $A0_n = 0_nA = 0_n$ et $A + 0_n = A$ .
Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ , $\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$ .

Cela peut sembler logique, mais on signale tout de même que les priorités les opératoires sont les mêmes que dans les ensembles de nombres comme $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (la multiplication prime sur l’addition, etc...).

Inverse et déterminant

Inverse d’une matrice

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ . $A$ est dite inversible s’il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $A \times A^{-1} = I_n$ .

Si cette matrice existe, elle est unique et s’appelle inverse de $A$ . De plus, $A$ et $A^{-1}$ commutent.

Le déterminant permet, entre autres, de calculer l’inverse d’une matrice (s’il existe). Nous nous limiterons ici au cas des matrices carrées d’ordre $2$ , mais il est possible de le généraliser encore plus.

Déterminant d’une matrice $2 \times 2$

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d’ordre $2$ .

Alors le déterminant de $A$ (noté $\det(A)$ ) est le réel $\det(A) = ad - bc$ . De plus, $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .

Inverse d’une matrice $2 \times 2$

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d’ordre $2$ dont le déterminant ne s’annule pas. Alors : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Puissance

Puissance d’une matrice carrée

Soient $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ et $i$ un entier naturel :

Si $i > 0$ , $A^i = \underbrace{A \times \dots \times A}_{i \text{ fois}} = A^{i-1} \times A$ .
Si $i = 0$ , $A^i = A^0 = I_n$ .
Si $i < 0$ , $A^i = \underbrace{A^{-1} \times \dots \times A^{-1}}_{i \text{ fois}} = A^{i-1} \times A^{-1}$ .

De plus, pour tout entier naturel $j$ , on a $A^i \times A^j = A^{i+j}$ .

Transposition

Définition

Soit $A$ une matrice. La matrice transposée de $A$ (notée $^tA$ ) est la matrice dont la $i$ -ième ligne correspond à la $i$ -ième colonne de $A$ .

Applications

Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

Lien entre système d’équations linéaires et matrices

Soient quatre réels $a$ , $b$ , $c$ et $d$ et soient deux réels $\alpha$ et $\beta$ . Le système d’équations linéaires à deux inconnues $\begin{cases}ax + by = \alpha \\ cx + dy = \beta\end{cases} \tag{S}$ (d’inconnues $x$ et $y$ ) peut s’écrire matriciellement : $(S) \iff \underbrace{\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}_{= \, A} \underbrace{\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}}_{= \, X} = \underbrace{\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}}_{= \, B}$

Résolution du système $(S)$

Avec les notations ci-dessus, si $A$ est inversible (voir les paragraphes suivants) alors le système $(S)$ admet une unique solution $X = A^{-1}B$ .

Nous avons travaillé ici avec un système de deux équations, mais il est tout à fait possible de généraliser cette méthode à plus de deux équations !

Suites de matrices colonnes

Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ vérifiant une relation du type $U_{n+1} = A U_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et où $A \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$ .

Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $U_n = A^n U_0$ .

Soit $(V_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ vérifiant une relation du type $V_{n+1} = A V_n + B$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et où $A$ , $B \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$ . Supposons qu’il existe une matrice $X \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R})$ telle que $AX + B = X$ .

Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $U_n = A^n (U_0 - X) + X$ .

Transformations géométriques du plan

Il est possible de faire le lien entre les matrices et certains types de transformations géométriques du plan.

On se place dans un repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ . Soient $A = (x_A; y_A)$ et $B = (x_B; y_B)$ deux points du plan.

$B$ est l’image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{u}} \\ y_{\overrightarrow{u}} \end{pmatrix}$ si et seulement si $\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{\overrightarrow{u}} \\ y_{\overrightarrow{u}} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$ .
$B$ est l’image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta \in \mathbb{R}$ si et seulement si $\begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$ .

Graphes

Graphes non-orientés et orientés

Graphe non-orienté

Un graphe $G$ non-orienté est un couple $(S; A)$ où :

$S$ est l’ensemble des sommets de $G$ .
$A$ est un ensemble contenant les éléments de la forme $\{s_i; s_j\}$ où $s_i$ , $s_j \in S$ , et correspond aux arêtes de $G$ .

Graphe orienté

Un graphe $G$ orienté est un couple $(S; A)$ où :

$S$ est l’ensemble des sommets de $G$ .
$A$ est un sous-ensemble de $S \times S$ , et correspond aux arêtes orientées de $G$ .

Définition

Soit $G = (S; A)$ un graphe. Donnons quelques définitions nécessaires pour la suite :

L’ordre de $G$ est le nombre de sommets que possède $G$ (i.e. le cardinal de $S$ ).
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui passent par ce sommet (quelque-soit le sens de l’arête dans le cas où $G$ est orienté). Les boucles comptent pour $2$ .
Un sommet $A$ est adjacent à un autre sommet $B$ s’il existe une arête reliant $A$ à $B$ (i.e. si $(A; B) \in A$ dans le cas où $G$ est orienté / si $(A; B)$ ou $(B; A) \in A$ si $G$ n’est pas orienté). Si $A$ n’est adjacent à aucun autre sommet, alors $A$ est un sommet isolé.
$G$ est dit complet si tout sommet de $A$ est adjacent à chacun des autres.

Soit $G$ un graphe. On note par $a$ son nombre d’arêtes, et par $d$ la somme des degrés de ses sommets. Alors $d = 2a$ .

Chaînes et chemins

Définition

Soit $G$ un graphe non-orienté. On appelle chaîne de taille $n$ , toute succession de $n$ arêtes de $G$ telle que l’extrémité de chacune est l’origine de la suivante.

Si $G$ est un graphe orienté, on parle de chemin plutôt que de chaîne.

Définition

Dans un graphe $G$ non-orienté :

Si l’origine d’une chaîne coïncide avec sa fin, on parle de chaîne fermée (ou de chemin fermé si $G$ est orienté).
Si la chaîne est composée d’arêtes toutes distinctes, on parle de cycle (ou de circuit si $G$ est orienté).

Matrices d’adjacence

Le but de cette section est d’étudier le lien étroit qui relie les matrices et les graphes.

Définition

Soit $G = (S; A)$ un graphe d’ordre $n$ . On note $S = \{s_1, \dots, s_n\}$ l’ensemble des sommets de $G$ .

On fait correspondre à $G$ la matrice carrée d’ordre $n$ dont le coefficient à la ligne $i$ et la colonne $j$ est égal au nombre d’arêtes reliant le sommet $s_i$ au sommet $s_j$ . Cette matrice est appelée matrice d’adjacence du graphe $G$ .

On notera qu’une telle matrice est symétrique (par rapport à sa diagonale) si le graphe en question est non-orienté.

Remarquons sur ces deux exemples que le caractère orienté ou non d’un graphe change sa matrice d’adjacence !

Nombre de chemins de longueur $k$

Soient $G = (S; A)$ un graphe orienté d’ordre $n$ et $M$ sa matrice d’adjacence. On note $S = \{s_1, \dots, s_n\}$ l’ensemble des sommets de $G$ .

Alors le coefficient à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de $M^k$ est le nombre de chemins de longueur $k$ reliant le sommet $s_i$ au sommet $s_j$ .

Matrices

Définition

Définition

Types de matrices

Types de matrices carrées

Types de matrices carrées

Opérations sur les matrices

Somme

Somme de deux matrices

Produit

Multiplication d’une matrice par un réel

Produit d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

Produit de deux matrices

Propriétés du produit matriciel

Inverse et déterminant

Inverse d’une matrice

Déterminant d’une matrice 2×22 \times 22×2

Inverse d’une matrice 2×22 \times 22×2

Puissance

Puissance d’une matrice carrée

Transposition

Définition

Applications

Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires

Lien entre système d’équations linéaires et matrices

Résolution du système (S)(S)(S)

Suites de matrices colonnes

Transformations géométriques du plan

Graphes

Graphes non-orientés et orientés

Graphe non-orienté

Graphe orienté

Définition

Chaînes et chemins

Définition

Définition

Matrices d’adjacence

Définition

Nombre de chemins de longueur kkk

Déterminant d’une matrice $2 \times 2$

Inverse d’une matrice $2 \times 2$

Résolution du système $(S)$

Nombre de chemins de longueur $k$