Chapitre XV – Matrices et graphes (Maths expertes)

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En mathématiques, les matrices sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire.
Dans ce chapitre nous étudierons les propriétés et les lois qui régissent l'algèbre des matrices.
Ce cours contient également une partie sur les graphes, et permet faire un lien entre ces deux notions (via les matrices d'adjacence, notamment).

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I – Matrices

1. Définition

Définition

Soient et deux entiers non nuls. Une matrice réelle de taille est un tableau de réels tel que :

Où , , , ..., sont les coefficients de la matrice. L'ensemble des matrices à coefficients réels est noté .

Il serait également possible de prendre des matrices à coefficients entiers ou même complexes, mais nous nous limiterons ici au cas des matrices réelles.

Types de matrices

Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :

  • Une matrice est une matrice ligne de taille .
  • Une matrice est une matrice colonne de taille .
  • Une matrice est une matrice carrée d'ordre . L'ensemble de ces matrices est noté .
  • Une matrice est un réel.
  • La matrice dont tous les termes sont nuls est la matrice nulle et est notée (ou plus simplement ).

2. Types de matrices carrées

Types de matrices carrées

Il existe différentes matrices carrées remarquables :

  • Une matrice carrée dont tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.
  • Une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure stricte.
  • Une matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.
  • Une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure stricte.
  • Une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale .
  • Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à est une matrice identité. Si la taille d'une telle matrice est , alors on la note .

Diagonale d'une matrice carrée

La diagonale d'une matrice carrée d'ordre représente l'ensemble des coefficients où varie de à .

II – Opérations sur les matrices

1. Somme

Somme de deux matrices

Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d'additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement :

Attention !

Il n'est possible d'additionner que deux matrices de même taille.

2. Produit

Multiplication d'une matrice par un réel

Soit un réel. Le produit d'une matrice par est la matrice de même taille dont les coefficients sont tous multipliés par . Plus spécifiquement :

Si est la matrice de gauche, on note la matrice de droite.

Soustraction de deux matrices

Pour soustraire deux matrices et , on additionne et i.e. .

Produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne

Soient une matrice ligne de taille et une matrice colonne de taille .

Le produit de ces deux matrices (noté ) est le réel .

Plus généralement, le produit matriciel ne se limite pas qu'à la multiplication d'une matrice ligne avec une matrice colonne.

Produit de deux matrices

Soient une matrice de taille et une matrice de taille deux matrices. Le produit de ces deux matrices (notée ou ) est la matrice de taille dont le coefficient à la position est égal au produit de la -ième ligne de par la -ième colonne de . Plus spécifiquement, en notant la -ème ligne de et la -ième colonne de :

où .

Attention !

Le produit matriciel n'est pas commutatif ! Donc en général, .

De plus, il faut bien s'assurer que le nombre de lignes de est égal au nombre de colonnes de .

Si et sont deux matrices diagonales de taille . Leur produit est la matrice diagonale de même taille dont le coefficient à la position est le produit du coefficient de à la position par celui du coefficient de à la position . Plus spécifiquement, en notant et :

De plus, on a .

Propriétés du produit matriciel

Soient , et trois matrices carrées d'ordre . Alors :

  • Le produit matriciel est associatif : .
  • Le produit matriciel est distributif : .
  • est l'unité de : .
  • est le zéro de : et .
  • Pour tout , .

Attention !

Si on a une égalité du type , cela n'implique pas forcément que ou !

De plus, si on a , on n'a pas forcément .

Cela peut sembler logique, mais on signale tout de même que les priorités les opératoires sont les mêmes que dans les ensembles de nombres comme ou (la multiplication prime sur l'addition, etc.).

3. Inverse et déterminant

Inverse d'une matrice

Soit une matrice carrée d'ordre . est dite inversible s'il existe une matrice telle que .

Si cette matrice existe, elle est unique et s'appelle inverse de . De plus, et commutent.

Le déterminant permet, entre autres, de calculer l'inverse d'une matrice (s'il existe). Nous nous limiterons ici au cas des matrices carrées d'ordre , mais il est possible de le généraliser encore plus.

Déterminant d'une matrice

Soit une matrice carrée d'ordre .

Alors le déterminant de (noté ) est le réel . De plus, est inversible si et seulement si .

Inverse d'une matrice

Soit une matrice carrée d'ordre dont le déterminant ne s'annule pas.

Alors .

Exemple

Calculons le produit de par , et déduisons-en que est inversible sans utiliser la formule donnée précédemment.

Le produit nous donnera une matrice carrée d'ordre car on multiplie deux matrices carrées d'ordre :

Donc . Ainsi, est inversible et .

4. Puissance

Puissance d'une matrice carrée

Soient une matrice carrée d'ordre et un entier naturel :

  • Si , .
  • Si , .
  • Si , .

De plus, pour tout entier naturel , on a .

Puissance d'une matrice diagonale

Si est une matrice diagonale, alors est la matrice de même taille où tous les termes de la diagonale sont mis à la puissance (cela vaut aussi si est négatif et que la diagonale ne comporte pas de ).

5. Transposition

Définition

Soit une matrice. La matrice transposée de (notée ) est la matrice dont la -ième ligne correspond à la -ième colonne de .

Exemple

Soient et . Calculons et .

On a et .

III – Applications

1. Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires

Lien entre système d'équations linéaires et matrices

Soient quatre réels , , et et soient deux réels et . Le système d'équations linéaires à deux inconnues (d'inconnues et ) peut s'écrire matriciellement :

Résolution du système

Avec les notations ci-dessus, si est inversible (voir les paragraphes suivants) alors le système admet une unique solution .

Exemple

Cela peut sembler compliqué à appliquer, mais il n'en est rien !

Par exemple, transformons le système en une égalité de matrices :

Or l'inverse de est . D'où .

Or deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont tous égaux. Donc on a et .

Nous avons travaillé ici avec un système de deux équations, mais il est tout à fait possible de généraliser cette méthode à plus de deux équations !

2. Suites de matrices colonnes

Soit une suite de matrices colonnes de taille vérifiant une relation du type pour tout et où .

Alors, pour tout , .

Il peut sembler étrange de manipuler des suites de matrices, mais c'est en réalité très intuitif. Par exemple, définissions la suite par et pour tout par et cherchons son terme général.

Par la formule précédente, pour tout , . Or, est une matrice diagonale, donc , et ainsi :

On remarque en particulier que la suite est divergente (à cause de sa deuxième coordonnée qui tend vers ).

Soit une suite de matrices colonnes de taille vérifiant une relation du type pour tout et où , . Supposons qu'il existe une matrice telle que .

Alors, pour tout , .

3. Transformations géométriques du plan

Il est possible de faire le lien entre les matrices et certains types de transformations géométriques du plan.

On se place dans un repère . Soient et deux points du plan.

  • est l'image de par la translation de vecteur si et seulement si .
  • est l'image de par la rotation de centre et d'angle si et seulement si .

Exemple

On pose . Calculons les coordonnées de qui est l'image de par la translation de vecteur , et de qui est l'image de par la rotation de centre et d'angle .

On a :

et .

Donc et .

IV – Graphes

1. Graphes non-orientés et orientés

Graphe non-orienté

Un graphe non-orienté est un couple où :

  • est l'ensemble des sommets de .
  • est un ensemble contenant les éléments de la forme où , , et correspond aux arêtes de .

Exemple

Par exemple, est un graphe non-orienté que l'on peut représenter comme tel :

Graphe 1

Signalons tout de même que l'ordre dans lequel on relie les sommets n'a pas d'importance.

Graphe orienté

Un graphe orienté est un couple où :

  • est l'ensemble des sommets de .
  • est un sous-ensemble de , et correspond aux arêtes orientées de .

Exemple

Par exemple, est un graphe orienté que l'on peut représenter comme tel :

Graphe 2

À noter que dans les deux cas, il est possible de relier un sommet à lui-même (en faisant une boucle).

Définition

Soit un graphe. Donnons quelques définitions nécessaires pour la suite :

  • L'ordre de est le nombre de sommets que possède (i.e. le cardinal de ).
  • Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui passent par ce sommet (quelque-soit le sens de l'arête dans le cas où est orienté). Les boucles comptent pour .
  • Un sommet est adjacent à un autre sommet s'il existe une arête reliant à (i.e. si dans le cas où est orienté / si ou si n'est pas orienté). Si n'est adjacent à aucun autre sommet, alors est un sommet isolé.
  • est dit complet si tout sommet de est adjacent à chacun des autres.

Soit un graphe. On note par son nombre d'arêtes, et par la somme des degrés de ses sommets. Alors .

Exemple

On considère le graphe orienté suivant :

Graphe 3

Alors :

  • n'est pas complet.
  • L'ordre de est égal à .
  • a arêtes (donc la somme des degrés des sommets de vaut ).
  • Le degré des sommets et est égal à .
  • Le degré des sommets , et est égal à .
  • Le sommet est adjacent au sommet (mais n'est pas adjacent à ).
  • est un sommet isolé.
  • L'arête orientée qui va de à est une boucle.

2. Chaînes et chemins

Définition

Soit un graphe non-orienté. On appelle chaîne de taille , toute succession de arêtes de telle que l'extrémité de chacune est l'origine de la suivante.

Si est un graphe orienté, on parle de chemin plutôt que de chaîne.

Définition

Dans un graphe non-orienté :

  • Si l'origine d'une chaîne coïncide avec sa fin, on parle de chaîne fermée (ou de chemin fermé si est orienté).
  • Si la chaîne est composée d'arêtes toutes distinctes, on parle de cycle (ou de circuit si est orienté).

Exemple

On considère le graphe non-orienté suivant :

Graphe 4

Alors :

  • est un chemin fermé de longueur (c'est même un cycle).
  • est un chemin de longueur reliant à (mais il y en a beaucoup d'autres).

3. Matrices d'adjacence

Le but de cette section est d'étudier le lien étroit qui relie les matrices et les graphes.

Définition

Soit un graphe d'ordre . On note l'ensemble des sommets de .

On fait correspondre à la matrice carrée d'ordre dont le coefficient à la ligne et la colonne est égal au nombre d'arêtes reliant le sommet au sommet . Cette matrice est appelée matrice d'adjacence du graphe .

On notera qu'une telle matrice est symétrique (par rapport à sa diagonale) si le graphe en question est non-orienté.

Exemple

On considère le graphe orienté suivant :

Graphe 5

Sa matrice d'adjacence est la matrice .

Exemple

On considère le graphe non-orienté suivant (i.e. le même que le mais sans les orientations) :

Graphe 6

Sa matrice d'adjacence est la matrice .

Remarquons sur ces deux exemples que le caractère orienté ou non d'un graphe change sa matrice d'adjacence !

Nombre de chemins de longueur

Soient un graphe orienté d'ordre et sa matrice d'adjacence. On note l'ensemble des sommets de .

Alors le coefficient à la ligne et à la colonne de est le nombre de chemins de longueur reliant le sommet au sommet .

Démonstration

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