I – Matrices
1. Définition
Définition
Soient
Où
Il serait également possible de prendre des matrices à coefficients entiers ou même complexes, mais nous nous limiterons ici au cas des matrices réelles.
Types de matrices
Selon leur taille, on peut avoir différents types de matrices :
- Une matrice
est une matrice ligne de taille . - Une matrice
est une matrice colonne de taille . - Une matrice
est une matrice carrée d'ordre . L'ensemble de ces matrices est noté . - Une matrice
est un réel. - La matrice
dont tous les termes sont nuls est la matrice nulle et est notée (ou plus simplement ).
2. Types de matrices carrées
Types de matrices carrées
Il existe différentes matrices carrées remarquables :
- Une matrice carrée dont tous les coefficients en dessous de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure.
- Une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire supérieure stricte.
- Une matrice carrée dont tous les coefficients au-dessus de la diagonale principale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure.
- Une matrice triangulaire inférieure dont les coefficients sur la diagonale sont nuls est une matrice triangulaire inférieure stricte.
- Une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls est une matrice diagonale .
- Une matrice diagonale dont les coefficients sont égaux à
est une matrice identité. Si la taille d'une telle matrice est , alors on la note .
Diagonale d'une matrice carrée
La diagonale d'une matrice carrée d'ordre
II – Opérations sur les matrices
1. Somme
Somme de deux matrices
Pour additionner deux matrices de même taille, il suffit d'additionner leurs coefficients deux-à-deux. Plus spécifiquement :
Attention !
Il n'est possible d'additionner que deux matrices de même taille.
2. Produit
Multiplication d'une matrice par un réel
Soit
Si
Soustraction de deux matrices
Pour soustraire deux matrices
Produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne
Soient
Le produit de ces deux matrices (noté
Plus généralement, le produit matriciel ne se limite pas qu'à la multiplication d'une matrice ligne avec une matrice colonne.
Produit de deux matrices
Soient
Attention !
Le produit matriciel n'est pas commutatif ! Donc en général,
De plus, il faut bien s'assurer que le nombre de lignes de
Si
De plus, on a
Propriétés du produit matriciel
Soient
- Le produit matriciel est associatif :
. - Le produit matriciel est distributif :
. est l'unité de : . est le zéro de : et .- Pour tout
, .
Attention !
Si on a une égalité du type
De plus, si on a
Cela peut sembler logique, mais on signale tout de même que les priorités les opératoires sont les mêmes que dans les
ensembles de nombres comme
3. Inverse et déterminant
Inverse d'une matrice
Soit
Si cette matrice existe, elle est unique et s'appelle inverse de
Le déterminant permet, entre autres, de calculer l'inverse d'une matrice (s'il existe). Nous nous limiterons ici au
cas des matrices carrées d'ordre
Déterminant d'une matrice
Soit
Alors le déterminant de
Inverse d'une matrice
Soit
Alors
Exemple
Calculons le produit de
Le produit nous donnera une matrice carrée d'ordre
Donc
4. Puissance
Puissance d'une matrice carrée
Soient
- Si
, . - Si
, . - Si
, .
De plus, pour tout entier naturel
Puissance d'une matrice diagonale
Si
5. Transposition
Définition
Soit
Exemple
Soient
On a
III – Applications
1. Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires
Lien entre système d'équations linéaires et matrices
Soient quatre réels
Résolution du système
Avec les notations ci-dessus, si
Exemple
Cela peut sembler compliqué à appliquer, mais il n'en est rien !
Par exemple, transformons le système
Or l'inverse de
Or deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont tous égaux. Donc on a
Nous avons travaillé ici avec un système de deux équations, mais il est tout à fait possible de généraliser cette méthode à plus de deux équations !
2. Suites de matrices colonnes
Soit
Alors, pour tout
Il peut sembler étrange de manipuler des suites de matrices, mais c'est en réalité très intuitif. Par exemple,
définissions la suite
Par la formule précédente, pour tout
On remarque en particulier que la suite
Soit
Alors, pour tout
3. Transformations géométriques du plan
Il est possible de faire le lien entre les matrices et certains types de transformations géométriques du plan.
On se place dans un repère
est l'image de par la translation de vecteur si et seulement si . est l'image de par la rotation de centre et d'angle si et seulement si .
Exemple
On pose
On a :
Donc
IV – Graphes
1. Graphes non-orientés et orientés
Graphe non-orienté
Un graphe
est l'ensemble des sommets de . est un ensemble contenant les éléments de la forme où , , et correspond aux arêtes de .
Exemple
Par exemple,
Signalons tout de même que l'ordre dans lequel on relie les sommets n'a pas d'importance.
Graphe orienté
Un graphe
est l'ensemble des sommets de . est un sous-ensemble de , et correspond aux arêtes orientées de .
Exemple
Par exemple,
À noter que dans les deux cas, il est possible de relier un sommet à lui-même (en faisant une boucle).
Définition
Soit
- L'ordre de
est le nombre de sommets que possède (i.e. le cardinal de ). - Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui passent par ce sommet (quelque-soit le sens de l'arête dans le cas
où
est orienté). Les boucles comptent pour . - Un sommet
est adjacent à un autre sommet s'il existe une arête reliant à (i.e. si dans le cas où est orienté / si ou si n'est pas orienté). Si n'est adjacent à aucun autre sommet, alors est un sommet isolé. est dit complet si tout sommet de est adjacent à chacun des autres.
Soit
Exemple
On considère le graphe orienté
Alors :
n'est pas complet.- L'ordre de
est égal à . a arêtes (donc la somme des degrés des sommets de vaut ).- Le degré des sommets
et est égal à . - Le degré des sommets
, et est égal à . - Le sommet
est adjacent au sommet (mais n'est pas adjacent à ). est un sommet isolé.- L'arête orientée qui va de
à est une boucle.
2. Chaînes et chemins
Définition
Soit
Si
Définition
Dans un graphe
- Si l'origine d'une chaîne coïncide avec sa fin, on parle de chaîne fermée (ou de chemin fermé si
est orienté). - Si la chaîne est composée d'arêtes toutes distinctes, on parle de cycle (ou de circuit si
est orienté).
Exemple
On considère le graphe non-orienté suivant :
Alors :
est un chemin fermé de longueur (c'est même un cycle). est un chemin de longueur reliant à (mais il y en a beaucoup d'autres).
3. Matrices d'adjacence
Le but de cette section est d'étudier le lien étroit qui relie les matrices et les graphes.
Définition
Soit
On fait correspondre à
On notera qu'une telle matrice est symétrique (par rapport à sa diagonale) si le graphe en question est non-orienté.
Exemple
On considère le graphe orienté
Sa matrice d'adjacence est la matrice
Exemple
On considère le graphe non-orienté
Sa matrice d'adjacence est la matrice
Remarquons sur ces deux exemples que le caractère orienté ou non d'un graphe change sa matrice d'adjacence !
Nombre de chemins de longueur
Soient
Alors le coefficient à la ligne