L’ensemble $\mathbb{C}$

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ qui contient l’ensemble $\mathbb{R}$ ainsi qu’un nombre $i\in \mathbb{C}$ vérifiant $i^2=-1$.

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z$ peut s’écrire $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de $z$. On dit que :

• $x$ est la partie réelle de $z$ (notée $\mathrm{Re}(z)$).

• $y$ est la partie imaginaire de $z$ (notée $\mathrm{Im}(z)$).

Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire

Deux nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ sont égaux si et seulement si $\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}(z^{\prime })$ et $\mathrm{Im}(z)=\mathrm{Im}(z^{\prime })$.

Définition

Tout nombre complexe $z=x+iy$ admet un nombre complexe conjugué noté $\bar{z}$. Ce conjugué est le nombre complexe $\bar{z}=x-iy$.

Relations

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.

• $\overline{z+z^{\prime }}=\bar{z}+\overline{z^{\prime }}$

• $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime }}}$ où $z^{\prime }\ne 0$

• $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ où $n\in \mathbb{N}$

• $\overline{z\times z^{\prime }}=\bar{z}\times \overline{z^{\prime }}$

Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe.

• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$

• $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$

• $z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$

• $z$ est un réel si et seulement si $z=\bar{z}$

• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z=-\bar{z}$

Définition

On appelle module d’un nombre complexe $z=x+iy$ (noté $|z|$) le réel $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Formules

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.

• $|z|\ge 0$

• $|z|=0⟺z=0$

• $|\alpha z|=\sqrt{{\alpha }^2}|z|$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ (en particulier, $|-z|=|z|$)

• $z\bar{z}=|z{|}^2$

• $|z|=|\bar{z}|$

• $|z{z}^{\prime }|=|z|\times |z^{\prime }|$

• $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}$ où $z^{\prime }\ne 0$

• $|z^n|=|z{|}^n$ où $n\in \mathbb{N}$

Définition

Soit $n$ un entier. On dit que $P$ est un polynôme de degré $n$ si $P$ est une expression formelle de la forme : $P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$.

Racine d’un polynôme

On dit qu’un nombre complexe $a$ est une racine d’un polynôme $P$ si on a $P(a)=0$.

Formule du binôme de Newton

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Alors pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})a^k{b}^{n-k}$$

Théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme non-nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines complexes.

Résolution d’une équation du second degré

On considère l’équation $(E):a{z}^2+bz+c=0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a\ne 0$). On pose $\Delta =b^2-4ac$, et alors les solutions de $(E)$ dépendent du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta >0$, $(E)$ admet deux solutions réelles $z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.

• Si $\Delta =0$, $(E)$ admet une solution réelle $z_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta <0$, $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}=\overline{z_1}$.

Factorisation par une racine

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et soit $a$ une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que pour tout $z\in \mathbb{C}$, $P(z)=(z-a)Q(z)$.

Forme trigonométrique

Pour obtenir la forme trigonométrique d’un nombre complexe $z=x+iy$, il faut tout d’abord obtenir son module. La forme trigonométrique de $z$ est ensuite donnée par : $z=|z|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$.

Avec $\theta$ l’argument de $z$ (noté $\arg (z)$) qui doit vérifier :

• $\cos (\theta )=\frac{x}{|z|}$

• $\sin (\theta )=\frac{y}{|z|}$

Forme exponentielle / Formule d’Euler

Soit $z$ un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique $z=|z|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$. Alors $z=|z|e^{i\theta }$.

Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe.

• $z$ est un réel si et seulement si $\arg (z)=k\times \pi$ où $k\in \mathbb{Z}$

• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\arg (z)=k\times \frac{\pi }{2}+k\pi$ où $k\in \mathbb{Z}$

Formules

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.

• $\arg (\bar{z})=-\arg (z)\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg (-z)=-\arg (z)+\pi \mathrm{mod}2\pi$

• $\arg (z\times z^{\prime })=\arg (z)+\arg (z^{\prime })\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg (z)\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg \left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)=\arg (z)-\arg (z^{\prime })\mathrm{mod}2\pi$

• $\arg (z^n)=n\times \arg (z)\mathrm{mod}2\pi$ pour tout $n\in \mathbb{N}$

Affixe d’un point

Un nombre complexe $z=x+iy$ peut être représenté dans le plan par un point $M$ de coordonnées $(x;y)$. $z$ est alors appelé affixe du point $M$ (et réciproquement le point $M$ est l’image de $z$).

Un nombre complexe $z^{\prime }=|z^{\prime }|e^{\theta }$ peut être représenté dans le plan par un point $M^{\prime }$ situé sur le cercle d’origine $O$ et de rayon $|z^{\prime }|$. Le point $M^{\prime }$ est alors situé à l’angle de $\theta$ radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l’argument est un angle.

Affixe d’un vecteur

Soient $A$ et $B$ deux points d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors on associe au vecteur $\overrightarrow{AB}$ son affixe qui est le complexe $z_B-z_A$.

Propriétés

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points d’affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

• La longueur $AB$ est : le module du complexe $z_B-z_A$ (i.e. $|z_B-z_A|$). Il s’agit également de la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

• Le milieu du segment $[AB]$ est : le point $M$ d’affixe $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$.

• L’angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{AB})$ est : l’argument du complexe $z_B-z_A$ (i.e. $\arg (z_B-z_A)$, modulo $2\pi$).

• L’angle $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})$ est : l’argument du complexe $\left(\frac{z_C-z_D}{z_B-z_A}\right)$ (i.e. $\arg \left(\frac{z_C-z_D}{z_B-z_A}\right)$, modulo $2\pi$).

L’ensemble $\mathbb{U}$

On note par $\mathbb{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$.

Stabilité de $\mathbb{U}$

Soient $z$, $z^{\prime }\in \mathbb{U}$. Alors $z\times z^{\prime }\in \mathbb{U}$ et $\frac{1}{z}\in \mathbb{U}$.

Racines $n$-ièmes de l’unité

Soit $z$ un nombre complexe. On dit que $z$ est une racine $n$-ième de l’unité si $z^n=1$.

De plus, en notant par ${\mathbb{U}}_n$ l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité, on a ${\mathbb{U}}_n=\left\{e^{\frac{2i\pi \times 0}{n}},e^{\frac{2i\pi \times 1}{n}},e^{\frac{2i\pi \times 2}{n}},\dots ,e^{\frac{2i\pi \times (n-1)}{n}}\right\}$.