L’ensemble des nombres complexes C\mathbb{C}

L’ensemble C\mathbb{C}

L’ensemble C\mathbb{C}

Il existe un ensemble de nombres noté C\mathbb{C} qui contient l’ensemble R\mathbb{R} ainsi qu’un nombre iCi \in \mathbb{C} vérifiant i2=1i^2 = -1.

Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes et obéit aux mêmes règles de calcul que l’ensemble R\mathbb{R}.

Schéma

Il peut être dur de se représenter l’ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus : image

Comme on peut le voir ici, l’ensemble C\mathbb{C} contient l’ensemble R\mathbb{R} mais également des nombres qui ne sont pas réels (ii, 1+i1 + i, etc.).

Forme algébrique d’un nombre complexe

Forme algébrique

Tout nombre complexe zz peut s’écrire z=x+iyz = x+iyxx et yy sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de zz. On dit que :

  • xx est la partie réelle de zz (notée Re(z)\operatorname{Re}(z)).

  • yy est la partie imaginaire de zz (notée Im(z)\operatorname{Im}(z)).

Le nombre zz est dit réel si y=0y = 0 et il est dit imaginaire pur si x=0x = 0.

Égalité entre nombres complexes

Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire

Deux nombres complexes zz et zz' sont égaux si et seulement si Re(z)=Re(z)\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z') et Im(z)=Im(z)\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z').

Ainsi, pour que deux nombres complexes soient égaux, leur partie réelle et leur partie imaginaire doivent toutes deux être égales.

Attention !

Il n’y pas de relation d’ordre dans l’ensemble C\mathbb{C}. On ne pourra donc pas avoir de relation du type zzz \leq z'.

Conjugué

Définition

Tout nombre complexe z=x+iyz = x+iy admet un nombre complexe conjugué noté zˉ\bar{z}. Ce conjugué est le nombre complexe zˉ=xiy\bar{z} = x-iy.

On donne également quelques formules permettant de calculer plus facilement des conjugués de nombres complexes.

Relations

Soient zz et zz' deux nombres complexes.

  • z+z=zˉ+zˉ\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}

  • (zz)=zˉzˉ\displaystyle{\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}}z0z' \neq 0

  • zn=(zˉ)n\overline{z^n} = (\bar{z})^nnNn \in \mathbb{N}

  • z×z=zˉ×zˉ\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}

Enfin, on a plusieurs propriétés intéressantes que l’on peut dégager.

Propriétés

Soit zz un nombre complexe.

  • zˉˉ=z\bar{\bar{z}} = z

  • z+zˉ=2Re(z)z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)

  • zzˉ=2iIm(z)z - \bar{z} = 2i \operatorname{Im}(z)

  • zz est un réel si et seulement si z=zˉz = \bar{z}

  • zz est un imaginaire pur si et seulement si z=zˉz = -\bar{z}

Module

Définition

On appelle module d’un nombre complexe z=x+iyz = x + iy (noté z|z|) le réel z=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Le module possède des propriétés intéressantes (à la manière de la valeur absolue pour les réels).

Formules

Soient zz et zz' deux nombres complexes.

  • z0|z| \geq 0

  • z=0    z=0|z| = 0 \iff z = 0

  • αz=α2z|\alpha z| = \sqrt{\alpha^2} |z| pour tout αR\alpha \in \mathbb{R} (en particulier, z=z|-z| = |z|)

  • zzˉ=z2z\bar{z} = |z|^2

  • z=zˉ|z| = |\bar{z}|

  • zz=z×z|zz'| = |z| \times |z'|

  • zz=zz\displaystyle{\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}}z0z' \neq 0

  • zn=zn|z^n| = |z|^nnNn \in \mathbb{N}

Retrouver les formules

Ces propriétés peuvent sembler compliquées mais heureusement il est possible de les retrouver par le calcul. Par exemple, pour la quatrième propriété, en posant z=x+iyz = x+iy (et donc zˉ=xiy\bar{z} = x-iy) :

zzˉ=(x+iy)(xiy)=x2ixy+ixy+y2=x2+y2=(x2+y2)2=z2z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 - ixy + ixy + y^2 = x^2 + y^2 = \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 = |z|^2.

Polynômes dans C\mathbb{C}

Généralités sur les polynômes

Définition

Soit nn un entier. On dit que PP est un polynôme de degré nn si PP est une expression formelle de la forme : P(z)=a0+a1z+a2z2++anznP(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_n z^n.

En classe de Terminale, on peut remplacer expression formelle par fonction (un polynôme de degré nn sera donc la même chose qu’une fonction polynômiale de degré nn). Dans ce chapitre, ce seront des fonctions à valeurs complexes.

Il peut être intéressant pour vous de faire le lien avec les fonctions polynômiales du second degré vues en Première.

Racine d’un polynôme

On dit qu’un nombre complexe aa est une racine d’un polynôme PP si on a P(a)=0P(a) = 0.

On donne enfin la formule du binôme de Newton, qui peut s’avérer utile pour développer certaines expressions.

Formule du binôme de Newton

Soient aa et bb deux nombres complexes.

Alors pour tout nNn \in \mathbb{N}, (a+b)n=k=0n(kn)akbnk\displaystyle{(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{k}{n} a^k b^{n-k}}.

Démonstration

Si n=2n = 2, on retrouve (a+b)2=(02)a2b0+(12)a1b1+(22)a0b2=a2+2ab+b2\displaystyle{(a+b)^2 = \binom{0}{2} a^2 b^0 + \binom{1}{2}a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2} = a^2 + 2ab + b^2.

On admet de plus une propriété fondamentale de C\mathbb{C}.

Théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme non-nul de degré nn admet au plus nn racines complexes.

Résolution d’une équation du second degré

Il est possible d’étendre la résolution d’une équation du second degré du type ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 dans le cas ou le polynôme admet un discriminant est négatif. Nous allons voir ici une méthode de résolution.

Résolution d’une équation du second degré

On considère l’équation (E):az2+bz+c=0(E) : az^2 + bz + c = 0 (où aa, bb et cc sont trois réels et a0a \neq 0). On pose Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac, et alors les solutions de (E)(E) dépendent du signe de Δ\Delta :

  • Si Δ>0\Delta > 0, (E)(E) admet deux solutions réelles z1=bΔ2a\displaystyle{z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}} et z2=b+Δ2a\displaystyle{z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}.

  • Si Δ=0\Delta = 0, (E)(E) admet une solution réelle z0=b2a\displaystyle{z_0 = \frac{-b}{2a}}.

  • Si Δ<0\Delta < 0, (E)(E) admet deux solutions complexes conjuguées z1=biΔ2a\displaystyle{z_1 = \frac{-b - i\sqrt{\Delta}}{2a}} et z2=b+iΔ2a=z1ˉ\displaystyle{z_2 = \frac{-b + i\sqrt{\Delta}}{2a} = \bar{z_1}}.

Exemple

On souhaite résoudre l’équation 2z2+4z=10-2z^2 + 4z = 10 dans C\mathbb{C}.

1ère étape : On fait apparaître une équation du second degré : 2z2+4z10=0-2z^2 + 4z - 10 = 0.

2ème étape : On calcule le discriminant : Δ=b24ac=1680=64\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 80 = -64.

3ème étape : On transforme le discriminant négatif : Δ=64i2=(8i)2\Delta = 64i^2 = (8i)^2.

4ème étape : On trouve les solutions :

z1=bΔi2a=48i2×2=1+2iz_1 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \frac{-4 - 8i}{2 \times -2} = 1 + 2i et z2=b+Δi2a=4+8i2×2=12i=z1ˉz_2 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \frac{-4 + 8i}{2 \times -2} = 1 - 2i = \bar{z_1}

Relation avec les racines d’un polynôme

Résoudre une équation du type az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 (où aa, bb et cc sont trois réels et a0a \neq 0) revient à chercher les racines complexes du polynôme PP défini pour tout zCz \in \mathbb{C} par P(z)=az2+bz+cP(z) = az^2 + bz + c.

Factorisation par zaz-a

Factorisation par une racine

Soit PP un polynôme de degré nn et soit aa une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme QQ de degré n1n-1 tel que pour tout zCz \in \mathbb{C}, P(z)=(za)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z).

Exemple

Factorisons le polynôme PP défini pour tout zCz \in \mathbb{C} par P(z)=z3z2+z1P(z) = z^3 - z^2 + z - 1.

On remarque déjà que P(1)=11+11=0P(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0. Donc 11 est racine de PP, il existe donc un polynôme QQ de degré 22 tel que pour tout zCz \in \mathbb{C}, P(z)=(z1)Q(z)P(z) = (z-1)Q(z).

Essayons maintenant de déterminer QQ. Posons Q(z)=az2+bz+cQ(z) = az^2 + bz + c et déterminons les coefficients aa, bb et cc.

Pour tout zCz \in \mathbb{C}, P(z)=(z1)Q(z)=(z1)(az2+bz+c)=az3+bz2+czaz2bzc=az3+(ba)z2+(cb)zcP(z) = (z-1)Q(z) = (z-1)(az^2 + bz + c) = az^3 + bz^2 + cz - az^2 - bz - c = az^3 + (b-a)z^2 + (c-b)z - c.

Il suffit maintenant d’identifier les coefficients (dans la première expression de PP) :

{a=1ba=1cb=1c=1\begin{cases} a = 1 \\ b-a = -1 \\ c-b = 1 \\ -c = -1 \end{cases}

En résolvant le système d’équations :

{a=1b=0c=1\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases}

Finalement, on a pour tout zCz \in \mathbb{C}, Q(z)=z2+1Q(z) = z^2 + 1, donc P(z)=(z1)(z2+1)P(z) = (z-1)(z^2 + 1).

Pour terminer la factorisation, il faut également factoriser QQ. Pour cela on calcule son discriminant qui est donc Δ=4\Delta = -4 : on a deux racines complexes conjuguées qui sont z1=iz_1 = -i et z2=iz_2 = i.

Finalement, comme QQ est de degré 22 (et qu’on a trouvé deux racines), la factorisation est terminée : on a pour tout zCz \in \mathbb{C}, Q(z)=(zi)(z+i)Q(z) = (z-i)(z+i) donc P(z)=(z1)(zi)(z+i)P(z) = (z-1)(z-i)(z+i).

Une application possible de cette propriété est que tout polynôme PP de la forme P(z)=znanP(z) = z^n - a^n se factorise en P(z)=(za)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z) (où QQ est un polynôme de degré n1n-1) car aa est une racine de PP et que PP est un polynôme de degré nn.

Géométrie avec les nombres complexes

Formes trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe peut s’écrire sous trois formes la forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Forme trigonométrique

Pour obtenir la forme trigonométrique d’un nombre complexe z=x+iyz = x + iy, il faut tout d’abord obtenir son module. La forme trigonométrique de zz est ensuite donnée par : z=z(cos(θ)+isin(θ))z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta)).

Avec θ\theta l’argument de zz (noté arg(z)\operatorname{arg}(z)) qui doit vérifier :

  • cos(θ)=xz\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{x}{|z|}}

  • sin(θ)=yz\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{y}{|z|}}

Une fois la forme trigonométrique obtenue, on peut passer à la forme exponentielle.

Forme exponentielle / Formule d’Euler

Soit zz un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z=z(cos(θ)+isin(θ))z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta)). Alors z=zeiθz = |z| e^{i\theta}.

Exemple

On veut passer le nombre complexe z=1+iz = 1 + i sous forme exponentielle.

1ère étape : On calcule le module : z=12+12=2|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

2ème étape : On factorise par le module : z=2×(22+i22)z = \sqrt{2} \times (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}).

3ème étape : On calcule l’argument : cos(θ)=22\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} et sin(θ)=22\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}. On a donc θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} (car cos(π4)=sin(π4)=22\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}).

4ème étape : On passe à la forme exponentielle : z=2eiπ4z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}.

On peut étendre l’égalité entre nombres complexes donnée au début : deux nombres complexes sont égaux s’ils ont le même module et le même argument (modulo 2π2\pi, nous détaillerons ce point-ci plus tard).

Formules de Première

Il est possible de retrouver les formules trigonométriques vues en Première à l’aide des nombres de complexes. La démonstration suivante n’est pas à apprendre mais peut être utile pour retrouver ces formules.

On a ei×(a+b)=ei×a×ei×be^{i \times (a + b)} = e^{i \times a} \times e^{i \times b}.

En passant à la forme trigonométrique, cela donne : cos(a+b)+isin(a+b)=(cos(a)+isin(a))×(cos(b)+isin(b))\cos(a + b) + i\sin(a + b) = (\cos(a) + i\sin(a)) \times (\cos(b) + i\sin(b)).

Puis en développant : cos(a+b)+isin(a+b)=cos(a)cos(b)+icos(a)sin(b)+icos(b)sin(a)sin(a)sin(b)\cos(a + b) + i\sin(a + b) = \cos(a)\cos(b) + i\cos(a)\sin(b) + i\cos(b)\sin(a) - \sin(a)\sin(b).

Il reste à travailler un petit peu l’expression : cos(a+b)+isin(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)+i(cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a))\cos(a + b) + i\sin(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) + i(\cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a)).

Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres sont égales, cela donne :

{cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)sin(a+b)=cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a)\begin{cases} \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \\ \sin(a + b) = \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) \end{cases}

Les formules vues en Première ont donc bien été retrouvées.

Propriétés de l’argument

Propriétés

Soit zz un nombre complexe.

  • zz est un réel si et seulement si arg(z)=k×π\operatorname{arg}(z) = k \times \pikZk \in \mathbb{Z}

  • zz est un imaginaire pur si et seulement si arg(z)=k×π2\operatorname{arg}(z) = k \times \frac{\pi}{2}kZk \in \mathbb{Z}

Pour conclure cette partie, nous allons donner quelques formules permettant de calculer des arguments.

Formules

Soient zz et zz' deux nombres complexes.

  • arg(zˉ)=arg(z)mod2π\operatorname{arg}(\bar{z}) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi

  • arg(z)=arg(z)+πmod2π\operatorname{arg}(- z) = - \operatorname{arg}(z) + \pi \mod 2\pi

  • arg(z×z)=arg(z)+arg(z)mod2π\operatorname{arg}(z \times z') = \operatorname{arg}(z) + \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi

  • arg(1z)=arg(z)mod2π\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{1}{z}\right) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi}

  • arg(zz)=arg(z)arg(z)mod2π\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z}{z'}\right) = \operatorname{arg}(z) - \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi}

  • arg(zn)=n×arg(z)mod2π\operatorname{arg}(z^n) = n \times \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi pour tout nNn \in \mathbb{N}

Le mod2π\mod 2\pi signifie simplement que l’on se place modulo 2π2\pi. Dans cette configuration, on a π=πmod2π-\pi = \pi \mod 2\pi, mais aussi π2=3π2mod2π-\frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2} \mod 2\pi, ou encore π=3πmod2π\pi = 3\pi \mod 2\pi.

Affixe et représentation

Dans tout ce qui suit, le plan sera muni d’un repère (O;i;j)(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}).

Affixe d’un point

Un nombre complexe z=x+iyz = x+iy peut être représenté dans le plan par un point MM de coordonnées (x;y)(x; y). zz est alors appelé affixe du point MM (et réciproquement le point MM est l’image de zz).

Un nombre complexe z=zeθz' = |z'| e^{\theta} peut être représenté dans le plan par un point MM' situé sur le cercle d’origine OO et de rayon z|z'|. Le point MM' est alors situé à l’angle de θ\theta radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l’argument est un angle.

Exemple

On souhaite représenter le point MM d’affixe z=1+iz = 1 + i dans le plan. On a les coordonnées de MM qui sont x=1x = 1 et y=1y = 1 :

Exemple

On souhaite représenter le point MM' d’affixe z=2eiπ4z' = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} dans le plan. On a le module de zz' : z=2|z'| = \sqrt{2}, et un argument de zz' : θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}. On va donc tracer le cercle de centre OO et de rayon 2\sqrt{2} ainsi qu’un segment passant par OO et intersectant le cercle en faisant un angle de π4\frac{\pi}{4} radians avec l’axe des abscisses. Leur intersection sera le point MM' :

On voit à l’aide de ces deux représentations que z=zz = z' (où zz est le nombre complexe de l’exemple précédent), comme cela a été démontré dans l’exemple de la première partie.

Lien Géométrie - Nombres complexes

Une propriété remarquable des nombres complexes est qu’il est possible de les utiliser pour faire de la géométrie ! Cela peut sembler surprenant, mais cela repose sur le fait que tout nombre complexe zz s’écrit x+iyx + iy (avec xx la partie réelle de zz et yy sa partie imaginaire), et que, comme dit dans la partie précédente, on peut y associer le point de coordonnées (x;y)(x; y).

Voici, de manière plus formelle, quelques propriétés de géométrie reposant sur l’utilisation des nombres complexes. On rappelle que l’on se place dans un repère (O;i;j)(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}).

Affixe d’un vecteur

Soient AA et BB deux points d’affixes respectives zAz_A et zBz_B. Alors on associe au vecteur AB\overrightarrow{AB} son affixe qui est le complexe zBzAz_B - z_A.

Lien avec l’affixe d’un point

En fait, pour faire le lien avec la partie précédente, l’affixe d’un point AA est tout simplement l’affixe du vecteur OA\overrightarrow{OA}.

Propriétés

Soient AA, BB, CC et DD des points d’affixes respectives zAz_A, zBz_B, zCz_C et zDz_D.

  • La longueur ABAB est : le module du complexe zBzAz_B - z_A (i.e. zBzA|z_B - z_A|). Il s’agit également de la norme du vecteur AB\overrightarrow{AB}.

  • Le milieu du segment [AB][AB] est : le point MM d’affixe zM=zA+zB2\displaystyle{z_{M} = \frac{z_A + z_B}{2}}.

  • L’angle (i;AB)(\overrightarrow{i}; \overrightarrow{AB}) est : l’argument du complexe zBzAz_B - z_A (i.e. arg(zBzA)\operatorname{arg}(z_B - z_A), modulo 2π2\pi).

  • L’angle (AB;CD)(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}) est : l’argument du complexe (zCzDzBzA)\displaystyle{\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)} (i.e. arg(zCzDzBzA)\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}, modulo 2π2\pi).

L’ensemble U\mathbb{U} et les racines nn-ièmes de l’unité

L’ensemble U\mathbb{U}

On note par U\mathbb{U} l’ensemble des nombres complexes de module 11.

Stabilité de U\mathbb{U}

Soient zz, zUz' \in \mathbb{U}. Alors z×zUz \times z' \in \mathbb{U} et 1zU\frac{1}{z} \in \mathbb{U}.

En fait, l’ensemble U\mathbb{U} permet de décrire tous les points du cercle trigonométrique.

Passons maintenant à l’étude de certains sous-ensembles de U\mathbb{U}.

Racines nn-ièmes de l’unité

Soit zz un nombre complexe. On dit que zz est une racine nn-ième de l’unité si zn=1z^n = 1.

De plus, en notant par Un\mathbb{U}_n l’ensemble des racines nn-ièmes de l’unité, on a Un={e2i×0n,e2i×1n,e2i×2n,,e2i×(n1)n}\displaystyle{\mathbb{U}_n = \left\{ e^{\frac{2i \times 0}{n}}, e^{\frac{2i \times 1}{n}}, e^{\frac{2i \times 2}{n}}, \dots, e^{\frac{2i \times (n-1)}{n}} \right\}}.

Démonstration

L’ensemble Un\mathbb{U}_n décrit exactement le polynôme régulier à nn côtés inscrit dans le cercle trigonométrique ayant pour sommet 11.

Par exemple, U3\mathbb{U}_3 est l’ensemble des sommets du triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique (dont un sommet est 11).

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Anonyme

je suis ravis

30/12/2020 07:20:11
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Skyost Modérateur

Pas de soucis 😉

08/05/2020 22:32:09
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Anonyme

Merci

08/05/2020 20:46:12