L’ensemble $\mathbb{C}$

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ qui contient l’ensemble $\mathbb{R}$ ainsi qu’un nombre $i \in \mathbb{C}$ vérifiant $i^2 = -1$.

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z$ peut s’écrire $z = x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de $z$. On dit que :

• $x$ est la partie réelle de $z$ (notée $\operatorname{Re}(z)$).

• $y$ est la partie imaginaire de $z$ (notée $\operatorname{Im}(z)$).

Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire

Deux nombres complexes $z$ et $z'$ sont égaux si et seulement si $\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z')$ et $\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z')$.

Définition

Tout nombre complexe $z = x+iy$ admet un nombre complexe conjugué noté $\bar{z}$. Ce conjugué est le nombre complexe $\bar{z} = x-iy$.

Relations

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$

• $\displaystyle{\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}}$ où $z' \neq 0$

• $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ où $n \in \mathbb{N}$

• $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$

Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe.

• $\bar{\bar{z}} = z$

• $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$

• $z - \bar{z} = 2i \operatorname{Im}(z)$

• $z$ est un réel si et seulement si $z = \bar{z}$

• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z = -\bar{z}$

Définition

On appelle module d’un nombre complexe $z = x + iy$ (noté $|z|$) le réel $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Formules

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

• $|z| \geq 0$

• $|z| = 0 \iff z = 0$

• $|\alpha z| = \sqrt{\alpha^2} |z|$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ (en particulier, $|-z| = |z|$)

• $z\bar{z} = |z|^2$

• $|z| = |\bar{z}|$

• $|zz'| = |z| \times |z'|$

• $\displaystyle{\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}}$ où $z' \neq 0$

• $|z^n| = |z|^n$ où $n \in \mathbb{N}$

Définition

Soit $n$ un entier. On dit que $P$ est un polynôme de degré $n$ si $P$ est une expression formelle de la forme : $P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_n z^n$.

Racine d’un polynôme

On dit qu’un nombre complexe $a$ est une racine d’un polynôme $P$ si on a $P(a) = 0$.

Formule du binôme de Newton

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes.

Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle{(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{k}{n} a^k b^{n-k}}$.

Théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme non-nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines complexes.

Résolution d’une équation du second degré

On considère l’équation $(E) : az^2 + bz + c = 0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a \neq 0$). On pose $\Delta = b^2 - 4ac$, et alors les solutions de $(E)$ dépendent du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta > 0$, $(E)$ admet deux solutions réelles $\displaystyle{z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $\displaystyle{z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$.

• Si $\Delta = 0$, $(E)$ admet une solution réelle $\displaystyle{z_0 = \frac{-b}{2a}}$.

• Si $\Delta < 0$, $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées $\displaystyle{z_1 = \frac{-b - i\sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $\displaystyle{z_2 = \frac{-b + i\sqrt{\Delta}}{2a} = \bar{z_1}}$.

Factorisation par une racine

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et soit $a$ une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que pour tout $z \in \mathbb{C}$, $P(z) = (z-a)Q(z)$.

Forme trigonométrique

Pour obtenir la forme trigonométrique d’un nombre complexe $z = x + iy$, il faut tout d’abord obtenir son module. La forme trigonométrique de $z$ est ensuite donnée par : $z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$.

Avec $\theta$ l’argument de $z$ (noté $\operatorname{arg}(z)$) qui doit vérifier :

• $\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{x}{|z|}}$

• $\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{y}{|z|}}$

Forme exponentielle / Formule d’Euler

Soit $z$ un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique $z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$. Alors $z = |z| e^{i\theta}$.

Propriétés

Soit $z$ un nombre complexe.

• $z$ est un réel si et seulement si $\operatorname{arg}(z) = k \times \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$

• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\operatorname{arg}(z) = k \times \frac{\pi}{2}$ où $k \in \mathbb{Z}$

Formules

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

• $\operatorname{arg}(\bar{z}) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi$

• $\operatorname{arg}(- z) = - \operatorname{arg}(z) + \pi \mod 2\pi$

• $\operatorname{arg}(z \times z') = \operatorname{arg}(z) + \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi$

• $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{1}{z}\right) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi}$

• $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z}{z'}\right) = \operatorname{arg}(z) - \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi}$

• $\operatorname{arg}(z^n) = n \times \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

Affixe d’un point

Un nombre complexe $z = x+iy$ peut être représenté dans le plan par un point $M$ de coordonnées $(x; y)$. $z$ est alors appelé affixe du point $M$ (et réciproquement le point $M$ est l’image de $z$).

Un nombre complexe $z' = |z'| e^{\theta}$ peut être représenté dans le plan par un point $M'$ situé sur le cercle d’origine $O$ et de rayon $|z'|$. Le point $M'$ est alors situé à l’angle de $\theta$ radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l’argument est un angle.

Affixe d’un vecteur

Soient $A$ et $B$ deux points d’affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors on associe au vecteur $\overrightarrow{AB}$ son affixe qui est le complexe $z_B - z_A$.

Propriétés

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points d’affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

• La longueur $AB$ est : le module du complexe $z_B - z_A$ (i.e. $|z_B - z_A|$). Il s’agit également de la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

• Le milieu du segment $[AB]$ est : le point $M$ d’affixe $\displaystyle{z_{M} = \frac{z_A + z_B}{2}}$.

• L’angle $(\overrightarrow{i}; \overrightarrow{AB})$ est : l’argument du complexe $z_B - z_A$ (i.e. $\operatorname{arg}(z_B - z_A)$, modulo $2\pi$).

• L’angle $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD})$ est : l’argument du complexe $\displaystyle{\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}$ (i.e. $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}$, modulo $2\pi$).

L’ensemble $\mathbb{U}$

On note par $\mathbb{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$.

Stabilité de $\mathbb{U}$

Soient $z$, $z' \in \mathbb{U}$. Alors $z \times z' \in \mathbb{U}$ et $\frac{1}{z} \in \mathbb{U}$.

Racines $n$-ièmes de l’unité

Soit $z$ un nombre complexe. On dit que $z$ est une racine $n$-ième de l’unité si $z^n = 1$.

De plus, en notant par $\mathbb{U}_n$ l’ensemble des racines $n$-ièmes de l’unité, on a $\displaystyle{\mathbb{U}_n = \left\{ e^{\frac{2i \times 0}{n}}, e^{\frac{2i \times 1}{n}}, e^{\frac{2i \times 2}{n}}, \dots, e^{\frac{2i \times (n-1)}{n}} \right\}}$.