L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$

Qu'est-ce que l'ensemble $\mathbb{C}$ ?

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ qui contient l'ensemble $\mathbb{R}$ ainsi qu'un nombre $i \in \mathbb{C}$ vérifiant $i^2 = -1$.

Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes et obéit aux mêmes règles de calcul que l'ensemble $\mathbb{R}$.

Il peut être dur de se représenter l'ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus :

Comme on peut le voir ici, l'ensemble $\mathbb{C}$ contient l'ensemble $\mathbb{R}$ mais également des nombres qui ne sont pas réels ($i$, $1 + i$, etc...).

Forme algébrique d'un nombre complexe

Tout nombre complexe $z$ peut s'écrire $z = x+iy$ où $x$ et $y$ sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de $z$. On dit que :

• $x$ est la partie réelle de $z$ (notée $\operatorname{Re}(z)$).
• $y$ est la partie imaginaire de $z$ (notée $\operatorname{Im}(z)$).

Le nombre $z$ est dit réel si $y = 0$ et il est dit imaginaire pur si $x = 0$.

Égalité entre nombres complexes

Deux nombres complexes $z$ et $z'$ sont égaux si et seulement si $\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z')$ et $\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z')$.

Ainsi, pour que deux nombres complexes soient égaux, leur partie réelle et leur partie imaginaire doivent toutes deux être égales.

Il n'y pas de relation d'ordre dans l'ensemble $\mathbb{C}$. On ne pourra donc pas avoir de relation du type $z \leq z'$.

Conjugué

Tout nombre complexe $z = x+iy$ admet un nombre complexe conjugué noté $\bar{z}$. Ce conjugué est le nombre complexe $\bar{z} = x-iy$.

On donne également quelques formules permettant de calculer plus facilement des conjugués de nombres complexes.

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
• $\displaystyle{\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}}$ où $z' \neq 0$
• $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ où $n \in \mathbb{N}$
• $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$

Enfin, on a plusieurs propriétés intéressantes que l'on peut dégager.

Soit $z$ un nombre complexe.

• $\bar{\bar{z}} = z$
• $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$
• $z - \bar{z} = 2i \operatorname{Im}(z)$
• $z$ est un réel si et seulement si $z = \bar{z}$
• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z = -\bar{z}$

Module

On appelle module d'un nombre complexe $z = x + iy$ (noté $|z|$) le réel $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Le module possède des propriétés intéressantes (à la manière de la valeur absolue pour les réels).

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

• $|z| \geq 0$
• $|z| = 0 \iff z = 0$
• $|\alpha z| = \sqrt{\alpha^2} |z|$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ (en particulier, $|-z| = |z|$)
• $z\bar{z} = |z|^2$
• $|z| = |\bar{z}|$
• $|zz'| = |z| \times |z'|$
• $\displaystyle{\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}}$ où $z' \neq 0$
• $|z^n| = |z|^n$ où $n \in \mathbb{N}$

Ces propriétés peuvent sembler compliquées mais heureusement il est possible de les retrouver par le calcul. Par exemple, pour la quatrième propriété, en posant $z = x+iy$ (et donc $\bar{z} = x-iy$) :

$z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 - ixy + ixy + y^2 = x^2 + y^2 = \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 = |z|^2$.

Polynômes dans $\mathbb{C}$

Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Soit $n$ un entier. On dit que $P$ est un polynôme de degré $n$ si $P$ est une expression formelle de la forme : $P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \text{ ... } + a_n z^n$.

En classe de Terminale, on peut remplacer expression formelle par fonction (un polynôme de degré $n$ sera donc la même chose qu'une fonction polynômiale de degré $n$). Dans ce chapitre, ce seront des fonctions à valeurs complexes.

Il peut être intéressant pour vous de faire le lien avec les fonctions polynômiales du second degré vues en Première.

On dit qu'un nombre complexe $a$ est une racine d'un polynôme $P$ si on a $P(a) = 0$.

On donne enfin la formule du binôme de Newton, qui peut s'avérer utile pour développer certaines expressions.

Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes.

Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle{(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{k}{n} a^k b^{n-k}}$.

Nous allons prouver cette propriété en utilisant le dénombrement, mais il est tout-à-fait possible de le faire par récurrence (c'est d'ailleurs un très bon exercice !)

Ainsi, on a $(a+b)^n = \underbrace{(a + b) \times (a + b) \text{ ... } (a + b)}_{n \text{ fois}}$.

En développant cette expression on obtenir une somme de termes de la forme $a^k b^j$ où :

• $k$ représente le nombre de fois où l'on a choisi $a$ en développant.
• $j$ représente le nombre de fois où l'on a choisi $b$ en développant.

Ainsi, forcément, $i = n-k$ (car si on ne choisit pas $a$, alors on choisit $b$ ; choisir $k$ fois $a$ revient donc à choisir $n-k$ fois $b$).

De plus, il y a $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ manières de choisir $k$ fois $a$ parmi les $n$ expressions $(a+b)$, alors l'expression $a^k b^{n-k}$ apparait $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ lors du développement. Notre somme de termes devient donc :

$(a+b)^n = \displaystyle{\underbrace{(a^0b^{n-0} + \text{ ... } + a^0b^{n-0})}_{\binom{n}{0} \text{ termes}}}$

$\displaystyle{+ \text{ ... } + \underbrace{(a^kb^{n-k} + \text{ ... } + a^kb^{n-k})}_{\binom{n}{k} \text{ termes}}}$

$\displaystyle{+ \text{ ... } + \underbrace{(a^nb^{n-n} + \text{ ... } + a^nb^{n-n})}_{\binom{n}{n} \text{ termes}}}$.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si $n = 2$, on retrouve $\displaystyle{(a+b)^2 = \binom{0}{2} a^2 b^0 + \binom{1}{2}a^1 b^1 + \binom{2}{2} a^0 b^2} = a^2 + 2ab + b^2$.

On admet de plus une propriété fondamentale de $\mathbb{C}$.

Tout polynôme non-nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines complexes.

Résolution d'une équation du second degré

Il est possible d'étendre la résolution d'une équation du second degré du type $ax^2 + bx + c = 0$ dans le cas ou le polynôme admet un discriminant est négatif. Nous allons voir ici une méthode de résolution.

On considère l'équation $(E) : az^2 + bz + c = 0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a \neq 0$). On pose $\Delta = b^2 - 4ac$, et on a que les solutions de $(E)$ dépendent du signe de $\Delta$ :

• Si $\Delta \gt 0$, $(E)$ admet deux solutions réelles $\displaystyle{z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $\displaystyle{z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$.
• Si $\Delta = 0$, $(E)$ admet une solution réelle $\displaystyle{z_0 = \frac{-b}{2a}}$.
• Si $\Delta \lt 0$, $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées $\displaystyle{z_1 = \frac{-b - i\sqrt{\Delta}}{2a}}$ et $\displaystyle{z_2 = \frac{-b + i\sqrt{\Delta}}{2a} = \bar{z_1}}$.

On souhaite résoudre l'équation $-2z^2 + 4z = 10$ dans $\mathbb{C}$.

1^ère étape : On fait apparaître une équation du second degré : $-2z^2 + 4z - 10 = 0$.

2^ème étape : On calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 80 = -64$.

3^ème étape : On transforme le discriminant négatif : $\Delta = 64i^2 = (8i)^2$.

4^ème étape : On trouve les solutions :

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \frac{-4 - 8i}{2 \times -2} = 1 + 2i$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \frac{-4 + 8i}{2 \times -2} = 1 - 2i = \bar{z_1}$

Résoudre une équation du type $az^2 + bz + c = 0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a \neq 0$) revient à chercher les racines complexes du polynôme $P$ défini pour tout $z \in \mathbb{C}$ par $P(z) = az^2 + bz + c$.

Factorisation par $z-a$

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et soit $a$ une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que pour tout $z \in \mathbb{C}$, $P(z) = (z-a)Q(z)$.

Factorisons le polynôme $P$ défini pour tout $z \in \mathbb{C}$ par $P(z) = z^3 - z^2 + z - 1$.

On remarque déjà que $P(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$. Donc $1$ est racine de $P$, il existe donc un polynôme $Q$ de degré $2$ tel que pour tout $z \in \mathbb{C}$, $P(z) = (z-1)Q(z)$.

Essayons maintenant de déterminer $Q$. Posons $Q(z) = az^2 + bz + c$ et déterminons les coefficients $a$, $b$ et $c$.

Pour tout $z \in \mathbb{C}$, $P(z) = (z-1)Q(z) = (z-1)(az^2 + bz + c) = az^3 + bz^2 + cz - az^2 - bz - c = az^3 + (b-a)z^2 + (c-b)z - c$.

Il suffit maintenant d'identifier les coefficients (dans la première expression de $P$) :

$\begin{cases} a = 1 \\ b-a = -1 \\ c-b = 1 \\ -c = -1 \end{cases}$

En résolvant le système d'équations :

$\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases}$

Finalement, on a pour tout $z \in \mathbb{C}$, $Q(z) = z^2 + 1$, donc $P(z) = (z-1)(z^2 + 1)$.

Pour terminer la factorisation, il faut également factoriser $Q$. Pour cela on calcul son discriminant qui est donc $\Delta = -4$ : on a deux racines complexes conjuguées qui sont $z_1 = -i$ et $z_2 = i$.

Finalement, comme $Q$ est de degré $2$ (et qu'on a trouvé deux racines), la factorisation est terminée : on a pour tout $z \in \mathbb{C}$, $Q(z) = (z-i)(z+i)$ donc $P(z) = (z-1)(z-i)(z+i)$.

Une application possible de cette propriété est que tout polynôme $P$ de la forme $P(z) = z^n - a^n$ se factorise en $P(z) = (z-a)Q(z)$ (où $Q$ est un polynôme de degré $n-1$) car $a$ est une racine de $P$ et que $P$ est un polynôme de degré $n$.

Géométrie avec les nombres complexes

Formes trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe peut s'écrire sous trois formes la forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Pour obtenir la forme trigonométrique d'un nombre complexe $z = x + iy$, il faut tout d'abord obtenir son module. La forme trigonométrique de $z$ est ensuite donnée par : $z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$.

Avec $\theta$ l'argument de $z$ (noté $\operatorname{arg}(z)$) qui doit vérifier :

• $\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{x}{|z|}}$
• $\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{y}{|z|}}$

Une fois la forme trigonométrique obtenue, on peut passer à la forme exponentielle.

Soit $z$ un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique $z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$. Alors $z = |z| e^{i\theta}$.

On veut passer le nombre complexe $z = 1 + i$ sous forme exponentielle.

1^ère étape : On calcule le module : $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2^ème étape : On factorise par le module : $z = \sqrt{2} \times (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.

3^ème étape : On calcule l'argument : $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. On a donc $\theta = \frac{\pi}{4}$ (car $\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

4^ème étape : On passe à la forme exponentielle : $z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$.

On peut étendre l'égalité entre nombres complexes donnée au début : deux nombres complexes sont égaux s'ils ont le même module et le même argument (modulo $2\pi$, nous détaillerons ce point-ci plus tard).

Il est possible de retrouver les formules trigonométriques vues en Première à l'aide des nombres de complexes. La démonstration suivante n'est pas à apprendre mais peut être utile pour retrouver ces formules.

On a $e^{i \times (a + b)} = e^{i \times a} \times e^{i \times b}$.

En passant à la forme trigonométrique, cela donne : $\cos(a + b) + i\sin(a + b) = (\cos(a) + i\sin(a)) \times (\cos(b) + i\sin(b))$.

Puis en développant : $\cos(a + b) + i\sin(a + b) = \cos(a)\cos(b) + i\cos(a)\sin(b) + i\cos(b)\sin(a) - \sin(a)\sin(b)$.

Il reste à travailler un petit peu l'expression : $\cos(a + b) + i\sin(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) + i(\cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a))$.

Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres sont égales, cela donne :

$\begin{cases} \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \\ \sin(a + b) = \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a) \end{cases}$

Les formules vues en Première ont donc bien été retrouvées.

Propriétés de l'argument

Soit $z$ un nombre complexe.

• $z$ est un réel si et seulement si $\operatorname{arg}(z) = k \times \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$
• $z$ est un imaginaire pur si et seulement si $\operatorname{arg}(z) = k \times \frac{\pi}{2}$ où $k \in \mathbb{Z}$

Pour conclure cette partie, nous allons donner quelques formules permettant de calculer des arguments.

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes.

• $\operatorname{arg}(\bar{z}) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi$
• $\operatorname{arg}(- z) = - \operatorname{arg}(z) + \pi \mod 2\pi$
• $\operatorname{arg}(z \times z') = \operatorname{arg}(z) + \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi$
• $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{1}{z}\right) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi}$
• $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z}{z'}\right) = \operatorname{arg}(z) - \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi}$
• $\operatorname{arg}(z^n) = n \times \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi$ pour tout $n \in \mathbb{N}$

Le $\mod 2\pi$ signifie simplement que l'on se place modulo $2\pi$. Dans cette configuration, on a $-\pi = \pi \mod 2\pi$, mais aussi $-\frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2} \mod 2\pi$, ou encore $\pi = 3\pi \mod 2\pi$.

Affixe et représentation

Dans tout ce qui suit, le plan sera muni d'un repère $(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})$.

Un nombre complexe $z = x+iy$ peut être représenté dans le plan par un point $M$ de coordonnées $(x; y)$. $z$ est alors appelé affixe du point $M$ (et réciproquement le point $M$ est l'image de $z$).

Un nombre complexe $z' = |z'| e^{\theta}$ peut être représenté dans le plan par un point $M'$ situé sur le cercle d'origine $O$ et de rayon

$|z'|$. Le point $M'$ est alors situé à l'angle de $\theta$ radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l'argument est un angle.

On souhaite représenter le point $M$ d'affixe $z = 1 + i$ dans le plan. On a les coordonnées de $M$ qui sont $x = 1$ et $y = 1$ :

On souhaite représenter le point $M'$ d'affixe $z' = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ dans le plan. On a le module de $z'$ : $|z'| = \sqrt{2}$, et un argument de $z'$ : $\theta = \frac{\pi}{4}$. On va donc tracer le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{2}$ ainsi qu'un segment passant par $O$ et intersectant le cercle en faisant un angle de $\frac{\pi}{4}$ radians avec l'axe des abscisses. Leur intersection sera le point $M'$ :

On voit à l'aide de ces deux représentation que $z = z'$ (où $z$ est le nombre complexe de l'exemple précédent), comme cela a été démontré dans l'exemple de la première partie.

Lien Géométrie - Nombres complexes

Une propriété remarquable des nombres complexes est qu'il est possible de les utiliser pour faire de la géométrie ! Cela peut sembler surprenant, mais cela repose sur le fait que tout nombre complexe $z$ s'écrit $x + iy$ (avec $x$ la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire), et que, comme dit dans la partie précédente, on peut y associer le point de coordonnées $(x; y)$.

Voici, de manière plus formelle, quelques propriétés de géométrie reposant sur l'utilisation des nombres complexes. On rappelle que l'on se place dans un repère $(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})$.

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors on associe au vecteur $\overrightarrow{AB}$ son affixe qui est le complexe $z_B - z_A$.

En fait, pour faire le lien avec la partie précédente, l'affixe d'un point $A$ est tout simplement l'affixe du vecteur $\overrightarrow{OA}$.

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$.

• La longueur $AB$ est : le module du complexe $z_B - z_A$ (i.e. $|z_B - z_A|$). Il s'agit également de la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
• Le milieu du segment $[AB]$ est : le point $M$ d'affixe $\displaystyle{z_{M} = \frac{z_A + z_B}{2}}$.
• L'angle $(\overrightarrow{i}; \overrightarrow{AB})$ est : l'argument du complexe $z_B - z_A$ (i.e. $\operatorname{arg}(z_B - z_A)$, modulo $2\pi$).
• L'angle $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD})$ est : l'argument du complexe $\displaystyle{\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}$ (i.e. $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}$, modulo $2\pi$).

L'ensemble $\mathbb{U}$ et les racines $n$-ièmes de l'unité

On note par $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$.

Soient $z$, $z' \in \mathbb{U}$. Alors $z \times z' \in \mathbb{U}$ et $\frac{1}{z} \in \mathbb{U}$.

En fait, l'ensemble $\mathbb{U}$ permet de décrire tous les points du cercle trigonométrique.

Passons maintenant à l'étude de certains sous-ensembles de $\mathbb{U}$.

Soit $z$ un nombre complexe. On dit que $z$ est une racine $n$-ième de l'unité si $z^n = 1$.

De plus, en notant par $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, on a $\displaystyle{\mathbb{U}_n = \left\{ e^{\frac{2i \times 0}{n}}, e^{\frac{2i \times 1}{n}}, e^{\frac{2i \times 2}{n}}, \text{ ... }, e^{\frac{2i \times (n-1)}{n}} \right\}}$.

Soit $z \in \mathbb{U}_n$. On a $z^n = 1$, donc $|z^n| = |z|^n = 1$. Ainsi, on a $|z| = 1$. En écrivant $z$ sous forme exponentielle, il existe $\theta \in [0; 2\pi[$ tel que $z = e^{i\theta}$.

Ainsi, $z^n = 1 \iff e^{i n \theta} = 1 = e^{i 0}$. Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont le même module et le même argument. On doit donc avoir $k \in \mathbb{Z}$ tel que $n \theta = 0 + 2 k \pi$ i.e. $\theta = \frac{2 k \pi}{n}$.

Et comme par le théorème fondamental de l'algèbre, l'équation $z^n - 1 = 0$ admet au plus $n$ solutions, on a donc trouvé toutes les solutions.

L'ensemble $\mathbb{U}_n$ décrit exactement le polynôme régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique ayant pour sommet $1$.

Par exemple, $\mathbb{U}_3$ est l'ensemble des sommets du triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique (dont un sommet est $1$).