Chapitre VIII – Les nombres complexes

Niveau : Terminale S Difficulté du cours :

L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$

Qu'est-ce que l'ensemble $\mathbb{C}$ ?

Il existe un ensemble de nombres noté $\mathbb{C}$ qui contient l'ensemble $\mathbb{R}$ ainsi qu'un nombre $i \in \mathbb{C}$ vérifiant la propriété suivante :

$i^2 = -1$

Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes et obéit aux mêmes règles de calcul que l'ensemble $\mathbb{R}$.

Il peut être dur de se représenter l'ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus :

Nombres complexes

Comme on peut le voir ici, l'ensemble $\mathbb{C}$ contient l'ensemble $\mathbb{R}$ mais également des nombres qui ne sont pas réels ($i$, $1 + i$, etc...).

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Soient $x$ et $y$ deux réels. Le nombre complexe $z$ correspondant peut s'écrire sous cette forme :

$z = x+iy$

Cette écriture est appelée forme algébrique. On note $x = \operatorname{Re}(z)$ (la partie réelle de $z$) et $y = \operatorname{Im}(z)$ (la partie imaginaire de $z$).

Le nombre $z$ est dit réel si $y = 0$ et il est dit imaginaire pur si $x = 0$.

Égalité entre nombres complexes

Soient deux nombres complexes $z$ et $z'$. Ces deux nombres sont dits égaux si et seulement si :

$\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z')$ et $\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z')$

La partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres doivent toutes deux être égales.

Attention ! Il n'y pas de relation d'ordre dans l'ensemble $\mathbb{C}$. On ne pourra donc pas avoir de relation du type $z \leq z'$.

Propriétés

Conjugué

Tout nombre complexe $z = x+iy$ admet un nombre complexe conjugué noté $\bar{z}$. Ce conjugué est le nombre complexe suivant :

$\bar{z} = x-iy$

Plusieurs propriétés peuvent se dégager à l'aide des conjugués. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes :

  • $\bar{\bar{z}} = z$
  • $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$
  • $\displaystyle{\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}}$ avec $z' \neq 0$
  • $\bar{z^n} = (\bar{z})^n$ avec $n \in \mathbb{N}$
  • $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ :

  • $z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}(z)$
  • $z - \bar{z} = 2i \times \operatorname{Im}(z)$

Module d'un nombre complexe

On appelle module (noté $|z|$) d'un nombre complexe $z = x + iy$ le réel :

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Et on a les relations suivantes pour $z, z' \in \mathbb{C}$ :

  • $z\bar{z} = |z|^2$
  • $|z| = |\bar{z}| = |-z|$
  • $|zz'| = |z| \times |z'|$
  • $\displaystyle{\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}}$ avec $z' \neq 0$
  • $|z^n| = |z|^n$ avec $n \in \mathbb{N}$

Ces propriétés peuvent sembler compliquées mais heureusement il est possible de les retrouver par le calcul. Par exemple, pour la première propriété du second encadré :

On pose $z = x+iy$, on a $\bar{z} = x-iy$ :

$z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 - ixy + ixy + y^2 = x^2 + y^2 = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = |z|^2$.

Forme trigonométrique et exponentielle

Un nombre complexe $z = x+iy$ peut s'écrire sous trois formes la forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle. Pour obtenir la forme trigonométrique du nombre complexe, il faut tout d'abord obtenir le module. La forme trigonométrique est ensuite donnée par la formule suivante :

$z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$

Avec $\theta$ l'argument de $z$ (noté $\operatorname{arg}(z)$) qui doit vérifier les deux conditions suivantes :

$\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{x}{|z|}}$ et $\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{y}{|z|}}$

Une fois la forme trigonométrique obtenue, on peut passer à la forme exponentielle, qui est :

$z = |z| e^{i\theta}$

Exemple : On veut passer le nombre complexe $z = 1 + i$ sous forme exponentielle.

1ère étape : On calcule le module : $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

2nde étape : On factorise par le module : $z = \sqrt{2} \times (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$.

3ème étape : On calcule un argument : $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. On a donc $\theta = \frac{\pi}{4}$ (car $\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

4ème étape : On passe à la forme exponentielle : $z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$.

On peut étendre l'égalité entre nombres complexes donnée au début : deux nombres complexes sont égaux s'ils ont le même module et le même argument (modulo $2\pi$).

Affixe et représentation

Un nombre complexe $z = x+iy$ peut être représenté dans le plan par un point $M$ de coordonnées $M(x; y)$. $z$ est alors appelé affixe du point $M$ (et réciproquement le point $M$ est l'image de $z$).

Un nombre complexe $z' = |z'| \times e^{\theta}$ peut être représenté dans le plan par un point $M'$ situé sur le cercle d'origine $O = (0; 0)$ et de rayon $|z'|$. Le point $M'$ est alors situé à l'angle $\theta$ sur ce cercle.
Le module est donc une distance et l'argument est un angle.

Dans tout ce qui suit, le plan sera muni d'un repère $(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})$.

Exemple 1 : On souhaite représenter le point $M$ d'affixe $z = 1 + i$ dans le plan. On a les coordonnées de $M$ qui sont $x = 1$ et $y = 1$ :

Exemple 2 : On souhaite représenter le point $M'$ d'affixe $z' = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ dans le plan. On a le module de $z$ : $|z'| = \sqrt{2}$, et un argument de $z'$ : $\theta = \frac{\pi}{4}$. On va donc tracer le cercle de rayon $\sqrt{2}$ ainsi qu'une droite faisant un angle de $\frac{\pi}{4}$ radians avec l'axe des abscisses et leur intersection sera le point $M'$ :

On voit à l'aide de ces deux représentation que $z = z'$ (démontré dans l'exemple de la partie précédente).

Calculs particuliers

Résolution d'équations du second degré

Pour tout $z \in \mathbb{C}$, on définit la fonction du second degré $P$ par $P(z) = az^2 + bz + c$ (avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$). On souhaite résoudre $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et les solutions dépendent du signe de delta :

Si $\Delta \gt 0$, il existe deux solution réelles :

$\displaystyle{z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\displaystyle{z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}$

Si $\Delta = 0$, il existe une solution réelle :

$\displaystyle{z = \frac{-b}{2a}}$

Si $\Delta \lt 0$, il existe deux solutions complexes conjuguées :

$\displaystyle{z_1 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a}}$

$\displaystyle{z_2 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \bar{z_1}}$

Exemple : On souhaite résoudre l'équation $-2z^2 + 4z = 10$ dans $\mathbb{C}$.

1ère étape : On fait apparaître une équation du second degré : $-2z^2 + 4z - 10 = 0$.

2nde étape : On calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 80 = -64$.

3ème étape : On transforme le discriminant négatif : $\Delta = 64i^2 = (8i)^2$.

4ème étape : On trouve les solutions :

$z_1 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \frac{-4 - 8i}{2 \times -2} = 1 + 2i$
$z_2 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a} = \frac{-4 + 8i}{2 \times -2} = 1 - 2i$

Géométrie avec les nombres complexes

Il est possible de réaliser de la géométrie avec les nombres complexes. Ainsi, soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. On se place dans un repère $(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j})$ :

La longueur $AB$ est : $|z_B - z_A|$.

Le milieu du segment $[AB]$ est : le point $M$ d'affixe $\displaystyle{z_{M} = \frac{z_A + z_B}{2}}$.

L'angle $(\overrightarrow{i}; \overrightarrow{AB})$ est : $\operatorname{arg}(z_B - z_A)$ (modulo $2\pi$).

L'angle $(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD})$ est : $\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}$ (modulo $2\pi$).

Complément : formules trigonométriques

Il est possible de retrouver les formules trigonométriques vues en Première à l'aide des nombres de complexes. La démonstration suivante n'est pas requise mais peut être utile pour retrouver ces formules.

On part de $e^{i \times (a + b)}$ :

$e^{i \times (a + b)} = e^{i \times a} \times e^{i \times b}$ (opérations sur les exposants)

$\iff \cos(a + b) + i\sin(a + b) = (\cos(a) + i\sin(a)) \times (\cos(b) + i\sin(b))$ (on passe à la forme trigonométrique)

$\iff \cos(a + b) + i\sin(a + b) = \cos(a)\cos(b) + i\cos(a)\sin(b) + i\cos(b)\sin(a) - \sin(a)\sin(b)$ (on développe)

$\iff \cos(a + b) + i\sin(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) + i(\cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a))$ (on travaille un peu l'expression)

Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres sont égales, cela donne :

  • $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
  • $\sin(a + b) = \cos(a)\sin(b) + \cos(b)\sin(a)$

Les formules vues en Première ont donc bien été retrouvées.

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