Chapitre XIII – Les nombres complexes (Maths expertes)

Terminale Terminale Complexe

L'ensemble des nombres complexes est créé comme extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre dit imaginaire tel quel, mis au carré, ce nombre donne -1. Dans ce cours un peu abstrait, nous étudierons cet ensemble : ses propriétés, ses règles, ... Nous verrons également qu'il est possible de faire de la géométrie à l'aide des complexes !

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I – L'ensemble des nombres complexes

1. Qu'est-ce que l'ensemble ?

L'ensemble

Il existe un ensemble de nombres noté qui contient l'ensemble ainsi qu'un nombre vérifiant .

Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes et obéit aux mêmes règles de calcul que l'ensemble .

Schéma

Il peut être dur de se représenter l'ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus :

Ensemble des nombres complexes

Comme on peut le voir ici, l'ensemble contient l'ensemble mais également des nombres qui ne sont pas réels (, , etc.).

2. Forme algébrique d'un nombre complexe

Forme algébrique

Tout nombre complexe peut s'écrire où et sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de . On dit que :

  • est la partie réelle de (notée ).
  • est la partie imaginaire de (notée ).

Le nombre est dit réel si et il est dit imaginaire pur si .

3. Égalité entre nombres complexes

Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire

Deux nombres complexes et sont égaux si et seulement si et .

Ainsi, pour que deux nombres complexes soient égaux, leur partie réelle et leur partie imaginaire doivent toutes deux être égales.

Attention !

Il n'y pas de relation d'ordre dans l'ensemble . On ne pourra donc pas avoir de relation du type .

4. Conjugué

Définition

Tout nombre complexe admet un nombre complexe conjugué noté . Ce conjugué est le nombre complexe .

On donne également quelques formules permettant de calculer plus facilement des conjugués de nombres complexes.

Relations

Soient et deux nombres complexes.

  • où
  • où

Enfin, on a plusieurs propriétés intéressantes que l'on peut dégager.

Propriétés

Soit un nombre complexe.

  • est un réel si et seulement si
  • est un imaginaire pur si et seulement si

5. Module

Définition

On appelle module d'un nombre complexe (noté ) le réel .

Le module possède des propriétés intéressantes (à la manière de la valeur absolue pour les réels).

Formules

Soient et deux nombres complexes.

  • pour tout (en particulier, )
  • où
  • où

Retrouver les formules

Ces propriétés peuvent sembler compliquées mais heureusement il est possible de les retrouver par le calcul. Par exemple, pour la quatrième propriété, en posant (et donc ) :

.

II – Polynômes dans

1. Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Définition

Soit un entier. On dit que est un polynôme de degré si est une expression formelle de la forme : .

En classe de Terminale, on peut remplacer expression formelle par fonction (un polynôme de degré sera donc la même chose qu'une fonction polynômiale de degré ). Dans ce chapitre, ce seront des fonctions à valeurs complexes.

Il peut être intéressant pour vous de faire le lien avec les fonctions polynômiales du second degré vues en Première.

Racine d'un polynôme

On dit qu'un nombre complexe est une racine d'un polynôme si on a .

On donne enfin la formule du binôme de Newton, qui peut s'avérer utile pour développer certaines expressions.

Formule du binôme de Newton

Soient et deux nombres complexes.

Alors pour tout , .

Démonstration

Si , on retrouve .

On admet de plus une propriété fondamentale de .

Théorème fondamental de l'algèbre

Tout polynôme non-nul de degré admet au plus racines complexes.

2. Résolution d'une équation du second degré

Il est possible d'étendre la résolution d'une équation du second degré du type dans le cas ou le polynôme admet un discriminant est négatif. Nous allons voir ici une méthode de résolution.

Résolution d'une équation du second degré

On considère l'équation (où , et sont trois réels et ). On pose , et on a que les solutions de dépendent du signe de :

  • Si , admet deux solutions réelles et .
  • Si , admet une solution réelle .
  • Si , admet deux solutions complexes conjuguées et .

Exemple

On souhaite résoudre l'équation dans .

1ère étape : On fait apparaître une équation du second degré : .

2ème étape : On calcule le discriminant : .

3ème étape : On transforme le discriminant négatif : .

4ème étape : On trouve les solutions :

et

Relation avec les racines d'un polynôme

Résoudre une équation du type (où , et sont trois réels et ) revient à chercher les racines complexes du polynôme défini pour tout par .

3. Factorisation par

Factorisation par une racine

Soit un polynôme de degré et soit une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme de degré tel que pour tout , .

Exemple

Factorisons le polynôme défini pour tout par .

On remarque déjà que . Donc est racine de , il existe donc un polynôme de degré tel que pour tout , .

Essayons maintenant de déterminer . Posons et déterminons les coefficients , et .

Pour tout , .

Il suffit maintenant d'identifier les coefficients (dans la première expression de ) :

En résolvant le système d'équations :

Finalement, on a pour tout , , donc .

Pour terminer la factorisation, il faut également factoriser . Pour cela on calcule son discriminant qui est donc : on a deux racines complexes conjuguées qui sont et .

Finalement, comme est de degré (et qu'on a trouvé deux racines), la factorisation est terminée : on a pour tout , donc .

Une application possible de cette propriété est que tout polynôme de la forme se factorise en (où est un polynôme de degré ) car est une racine de et que est un polynôme de degré .

III – Géométrie avec les nombres complexes

1. Formes trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe peut s'écrire sous trois formes la forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Forme trigonométrie

Pour obtenir la forme trigonométrique d'un nombre complexe , il faut tout d'abord obtenir son module. La forme trigonométrique de est ensuite donnée par : .

Avec l'argument de (noté ) qui doit vérifier :

Une fois la forme trigonométrique obtenue, on peut passer à la forme exponentielle.

Forme exponentielle / Formule d'Euler

Soit un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique . Alors .

Exemple

On veut passer le nombre complexe sous forme exponentielle.

1ère étape : On calcule le module : .

2ème étape : On factorise par le module : .

3ème étape : On calcule l'argument : et . On a donc (car ).

4ème étape : On passe à la forme exponentielle : .

On peut étendre l'égalité entre nombres complexes donnée au début : deux nombres complexes sont égaux s'ils ont le même module et le même argument (modulo , nous détaillerons ce point-ci plus tard).

Formules de Première

Il est possible de retrouver les formules trigonométriques vues en Première à l'aide des nombres de complexes. La démonstration suivante n'est pas à apprendre mais peut être utile pour retrouver ces formules.

On a .

En passant à la forme trigonométrique, cela donne : .

Puis en développant : .

Il reste à travailler un petit peu l'expression : .

Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres sont égales, cela donne :

Les formules vues en Première ont donc bien été retrouvées.

2. Propriétés de l'argument

Propriétés

Soit un nombre complexe.

  • est un réel si et seulement si où
  • est un imaginaire pur si et seulement si où

Pour conclure cette partie, nous allons donner quelques formules permettant de calculer des arguments.

Formules

Soient et deux nombres complexes.

  • pour tout

Le signifie simplement que l'on se place modulo . Dans cette configuration, on a , mais aussi , ou encore .

3. Affixe et représentation

Dans tout ce qui suit, le plan sera muni d'un repère .

Affixe d'un point

Un nombre complexe peut être représenté dans le plan par un point de coordonnées . est alors appelé affixe du point (et réciproquement le point est l'image de ).

Un nombre complexe peut être représenté dans le plan par un point situé sur le cercle d'origine et de rayon

. Le point est alors situé à l'angle de radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l'argument est un angle.

Exemple

On souhaite représenter le point d'affixe dans le plan. On a les coordonnées de qui sont et :

Exemple

On souhaite représenter le point d'affixe dans le plan. On a le module de : , et un argument de : . On va donc tracer le cercle de centre et de rayon ainsi qu'un segment passant par et intersectant le cercle en faisant un angle de radians avec l'axe des abscisses. Leur intersection sera le point :

On voit à l'aide de ces deux représentations que (où est le nombre complexe de l'exemple précédent), comme cela a été démontré dans l'exemple de la première partie.

4. Lien Géométrie - Nombres complexes

Une propriété remarquable des nombres complexes est qu'il est possible de les utiliser pour faire de la géométrie ! Cela peut sembler surprenant, mais cela repose sur le fait que tout nombre complexe s'écrit (avec la partie réelle de et sa partie imaginaire), et que, comme dit dans la partie précédente, on peut y associer le point de coordonnées .

Voici, de manière plus formelle, quelques propriétés de géométrie reposant sur l'utilisation des nombres complexes. On rappelle que l'on se place dans un repère .

Affixe d'un vecteur

Soient et deux points d'affixes respectives et . Alors on associe au vecteur son affixe qui est le complexe .

Lien avec l'affixe d'un point

En fait, pour faire le lien avec la partie précédente, l'affixe d'un point est tout simplement l'affixe du vecteur .

Propriétés

Soient , , et des points d'affixes respectives , , et .

  • La longueur est : le module du complexe (i.e. ). Il s'agit également de la norme du vecteur .
  • Le milieu du segment est : le point d'affixe .
  • L'angle est : l'argument du complexe (i.e. , modulo ).
  • L'angle est : l'argument du complexe (i.e. , modulo ).

5. L'ensemble et les racines -ièmes de l'unité

L'ensemble

On note par l'ensemble des nombres complexes de module .

Stabilité de

Soient , . Alors et .

En fait, l'ensemble permet de décrire tous les points du cercle trigonométrique.

Passons maintenant à l'étude de certains sous-ensembles de .

Racines -ièmes de l'unité

Soit un nombre complexe. On dit que est une racine -ième de l'unité si .

De plus, en notant par l'ensemble des racines -ièmes de l'unité, on a .

Démonstration

L'ensemble décrit exactement le polynôme régulier à côtés inscrit dans le cercle trigonométrique ayant pour sommet .

Par exemple, est l'ensemble des sommets du triangle équilatéral inscrit dans le cercle trigonométrique (dont un sommet est ).

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