I – L'ensemble des nombres complexes
1. Qu'est-ce que l'ensemble ?
L'ensemble
Il existe un ensemble de nombres noté
Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes et obéit aux mêmes règles de calcul que l'ensemble
Schéma
Il peut être dur de se représenter l'ensemble des nombres complexes, voici un schéma représentant les ensembles de nombres déjà connus :
Comme on peut le voir ici, l'ensemble
2. Forme algébrique d'un nombre complexe
Forme algébrique
Tout nombre complexe
est la partie réelle de (notée ). est la partie imaginaire de (notée ).
Le nombre
3. Égalité entre nombres complexes
Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire
Deux nombres complexes
Ainsi, pour que deux nombres complexes soient égaux, leur partie réelle et leur partie imaginaire doivent toutes deux être égales.
Attention !
Il n'y pas de relation d'ordre dans l'ensemble
4. Conjugué
Définition
Tout nombre complexe
On donne également quelques formules permettant de calculer plus facilement des conjugués de nombres complexes.
Relations
Soient
où où
Enfin, on a plusieurs propriétés intéressantes que l'on peut dégager.
Propriétés
Soit
est un réel si et seulement si est un imaginaire pur si et seulement si
5. Module
Définition
On appelle module d'un nombre complexe
Le module possède des propriétés intéressantes (à la manière de la valeur absolue pour les réels).
Formules
Soient
pour tout (en particulier, ) où où
Retrouver les formules
Ces propriétés peuvent sembler compliquées mais heureusement il est possible de les retrouver par le calcul. Par
exemple, pour la quatrième propriété, en posant
II – Polynômes dans
1. Qu'est-ce qu'un polynôme ?
Définition
Soit
En classe de Terminale, on peut remplacer expression formelle par fonction (un polynôme de degré
Il peut être intéressant pour vous de faire le lien avec les fonctions polynômiales du second degré vues en Première.
Racine d'un polynôme
On dit qu'un nombre complexe
On donne enfin la formule du binôme de Newton, qui peut s'avérer utile pour développer certaines expressions.
Formule du binôme de Newton
Soient
Alors pour tout
Si
On admet de plus une propriété fondamentale de
Théorème fondamental de l'algèbre
Tout polynôme non-nul de degré
2. Résolution d'une équation du second degré
Il est possible d'étendre la résolution d'une équation du second degré du type
Résolution d'une équation du second degré
On considère l'équation
- Si
, admet deux solutions réelles et . - Si
, admet une solution réelle . - Si
, admet deux solutions complexes conjuguées et .
Exemple
On souhaite résoudre l'équation
1ère étape : On fait apparaître une équation du second degré :
2ème étape : On calcule le discriminant :
3ème étape : On transforme le discriminant négatif :
4ème étape : On trouve les solutions :
Relation avec les racines d'un polynôme
Résoudre une équation du type
3. Factorisation par
Factorisation par une racine
Soit
Exemple
Factorisons le polynôme
On remarque déjà que
Essayons maintenant de déterminer
Pour tout
Il suffit maintenant d'identifier les coefficients (dans la première expression de
En résolvant le système d'équations :
Finalement, on a pour tout
Pour terminer la factorisation, il faut également factoriser
Finalement, comme
Une application possible de cette propriété est que tout polynôme
III – Géométrie avec les nombres complexes
1. Formes trigonométrique et exponentielle
Tout nombre complexe peut s'écrire sous trois formes la forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.
Forme trigonométrie
Pour obtenir la forme trigonométrique d'un nombre complexe
Avec
Une fois la forme trigonométrique obtenue, on peut passer à la forme exponentielle.
Forme exponentielle / Formule d'Euler
Soit
Exemple
On veut passer le nombre complexe
1ère étape : On calcule le module :
2ème étape : On factorise par le module :
3ème étape : On calcule l'argument :
4ème étape : On passe à la forme exponentielle :
On peut étendre l'égalité entre nombres complexes donnée au début : deux nombres
complexes sont égaux s'ils ont le même module et le même argument (modulo
Formules de Première
Il est possible de retrouver les formules trigonométriques vues en Première à l'aide des nombres de complexes. La démonstration suivante n'est pas à apprendre mais peut être utile pour retrouver ces formules.
On a
En passant à la forme trigonométrique, cela donne :
Puis en développant :
Il reste à travailler un petit peu l'expression :
Or deux nombres complexes sont égaux si et seulement si la partie réelle et la partie imaginaire de ces deux nombres sont égales, cela donne :
Les formules vues en Première ont donc bien été retrouvées.
2. Propriétés de l'argument
Propriétés
Soit
est un réel si et seulement si où est un imaginaire pur si et seulement si où
Pour conclure cette partie, nous allons donner quelques formules permettant de calculer des arguments.
Formules
Soient
pour tout
Le
3. Affixe et représentation
Dans tout ce qui suit, le plan sera muni d'un repère
Affixe d'un point
Un nombre complexe
Un nombre complexe
Exemple
On souhaite représenter le point
Exemple
On souhaite représenter le point
On voit à l'aide de ces deux représentations que
4. Lien Géométrie - Nombres complexes
Une propriété remarquable des nombres complexes est qu'il est possible de les utiliser pour faire de la géométrie ! Cela
peut sembler surprenant, mais cela repose sur le fait que tout nombre complexe
Voici, de manière plus formelle, quelques propriétés de géométrie reposant sur l'utilisation des nombres complexes. On
rappelle que l'on se place dans un repère
Affixe d'un vecteur
Soient
Lien avec l'affixe d'un point
En fait, pour faire le lien avec la partie précédente, l'affixe d'un point
Propriétés
Soient
- La longueur
est : le module du complexe (i.e. ). Il s'agit également de la norme du vecteur . - Le milieu du segment
est : le point d'affixe . - L'angle
est : l'argument du complexe (i.e. , modulo ). - L'angle
est : l'argument du complexe (i.e. , modulo ).
5. L'ensemble et les racines -ièmes de l'unité
L'ensemble
On note par
Stabilité de
Soient
En fait, l'ensemble
Passons maintenant à l'étude de certains sous-ensembles de
Racines -ièmes de l'unité
Soit
De plus, en notant par
L'ensemble
Par exemple,