L’ensemble des nombres complexes C\mathbb{C}

L’ensemble C\mathbb{C}

L’ensemble C\mathbb{C}

Il existe un ensemble de nombres noté C\mathbb{C} qui contient l’ensemble R\mathbb{R} ainsi qu’un nombre iCi \in \mathbb{C} vérifiant i2=1i^2 = -1.

Cet ensemble est appelé ensemble des nombres complexes et obéit aux mêmes règles de calcul que l’ensemble R\mathbb{R}.

Forme algébrique d’un nombre complexe

Forme algébrique

Tout nombre complexe zz peut s’écrire z=x+iyz = x+iyxx et yy sont deux réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de zz. On dit que :

  • xx est la partie réelle de zz (notée Re(z)\operatorname{Re}(z)).

  • yy est la partie imaginaire de zz (notée Im(z)\operatorname{Im}(z)).

Égalité entre nombres complexes

Lien entre égalité et parties réelle et imaginaire

Deux nombres complexes zz et zz' sont égaux si et seulement si Re(z)=Re(z)\operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z') et Im(z)=Im(z)\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z').

Ainsi, pour que deux nombres complexes soient égaux, leur partie réelle et leur partie imaginaire doivent toutes deux être égales.

Conjugué

Définition

Tout nombre complexe z=x+iyz = x+iy admet un nombre complexe conjugué noté zˉ\bar{z}. Ce conjugué est le nombre complexe zˉ=xiy\bar{z} = x-iy.

On donne également quelques formules permettant de calculer plus facilement des conjugués de nombres complexes.

Relations

Soient zz et zz' deux nombres complexes.

  • z+z=zˉ+zˉ\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}

  • (zz)=zˉzˉ\displaystyle{\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{z'}}}z0z' \neq 0

  • zn=(zˉ)n\overline{z^n} = (\bar{z})^nnNn \in \mathbb{N}

  • z×z=zˉ×zˉ\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}

Enfin, on a plusieurs propriétés intéressantes que l’on peut dégager.

Propriétés

Soit zz un nombre complexe.

  • zˉˉ=z\bar{\bar{z}} = z

  • z+zˉ=2Re(z)z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)

  • zzˉ=2iIm(z)z - \bar{z} = 2i \operatorname{Im}(z)

  • zz est un réel si et seulement si z=zˉz = \bar{z}

  • zz est un imaginaire pur si et seulement si z=zˉz = -\bar{z}

Module

Définition

On appelle module d’un nombre complexe z=x+iyz = x + iy (noté z|z|) le réel z=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Le module possède des propriétés intéressantes (à la manière de la valeur absolue pour les réels).

Formules

Soient zz et zz' deux nombres complexes.

  • z0|z| \geq 0

  • z=0    z=0|z| = 0 \iff z = 0

  • αz=α2z|\alpha z| = \sqrt{\alpha^2} |z| pour tout αR\alpha \in \mathbb{R} (en particulier, z=z|-z| = |z|)

  • zzˉ=z2z\bar{z} = |z|^2

  • z=zˉ|z| = |\bar{z}|

  • zz=z×z|zz'| = |z| \times |z'|

  • zz=zz\displaystyle{\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}}z0z' \neq 0

  • zn=zn|z^n| = |z|^nnNn \in \mathbb{N}

Polynômes dans C\mathbb{C}

Généralités sur les polynômes

Définition

Soit nn un entier. On dit que PP est un polynôme de degré nn si PP est une expression formelle de la forme : P(z)=a0+a1z+a2z2++anznP(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_n z^n.

En classe de Terminale, on peut remplacer expression formelle par fonction (un polynôme de degré nn sera donc la même chose qu’une fonction polynômiale de degré nn). Dans ce chapitre, ce seront des fonctions à valeurs complexes.

Racine d’un polynôme

On dit qu’un nombre complexe aa est une racine d’un polynôme PP si on a P(a)=0P(a) = 0.

On donne enfin la formule du binôme de Newton, qui peut s’avérer utile pour développer certaines expressions.

Formule du binôme de Newton

Soient aa et bb deux nombres complexes.

Alors pour tout nNn \in \mathbb{N}, (a+b)n=k=0n(kn)akbnk\displaystyle{(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{k}{n} a^k b^{n-k}}.

On admet de plus une propriété fondamentale de C\mathbb{C}.

Théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme non-nul de degré nn admet au plus nn racines complexes.

Résolution d’une équation du second degré

Il est possible d’étendre la résolution d’une équation du second degré du type ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 dans le cas ou le polynôme admet un discriminant est négatif. Nous allons voir ici une méthode de résolution.

Résolution d’une équation du second degré

On considère l’équation (E):az2+bz+c=0(E) : az^2 + bz + c = 0 (où aa, bb et cc sont trois réels et a0a \neq 0). On pose Δ=b24ac\Delta = b^2 - 4ac, et alors les solutions de (E)(E) dépendent du signe de Δ\Delta :

  • Si Δ>0\Delta > 0, (E)(E) admet deux solutions réelles z1=bΔ2a\displaystyle{z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}} et z2=b+Δ2a\displaystyle{z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}.

  • Si Δ=0\Delta = 0, (E)(E) admet une solution réelle z0=b2a\displaystyle{z_0 = \frac{-b}{2a}}.

  • Si Δ<0\Delta < 0, (E)(E) admet deux solutions complexes conjuguées z1=biΔ2a\displaystyle{z_1 = \frac{-b - i\sqrt{\Delta}}{2a}} et z2=b+iΔ2a=z1ˉ\displaystyle{z_2 = \frac{-b + i\sqrt{\Delta}}{2a} = \bar{z_1}}.

Factorisation par zaz-a

Factorisation par une racine

Soit PP un polynôme de degré nn et soit aa une racine de ce polynôme. Alors il existe un polynôme QQ de degré n1n-1 tel que pour tout zCz \in \mathbb{C}, P(z)=(za)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z).

Une application possible de cette propriété est que tout polynôme PP de la forme P(z)=znanP(z) = z^n - a^n se factorise en P(z)=(za)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z) (où QQ est un polynôme de degré n1n-1) car aa est une racine de PP et que PP est un polynôme de degré nn.

Géométrie avec les nombres complexes

Formes trigonométrique et exponentielle

Tout nombre complexe peut s’écrire sous trois formes la forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Forme trigonométrique

Pour obtenir la forme trigonométrique d’un nombre complexe z=x+iyz = x + iy, il faut tout d’abord obtenir son module. La forme trigonométrique de zz est ensuite donnée par : z=z(cos(θ)+isin(θ))z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta)).

Avec θ\theta l’argument de zz (noté arg(z)\operatorname{arg}(z)) qui doit vérifier :

  • cos(θ)=xz\displaystyle{\cos(\theta) = \frac{x}{|z|}}

  • sin(θ)=yz\displaystyle{\sin(\theta) = \frac{y}{|z|}}

Une fois la forme trigonométrique obtenue, on peut passer à la forme exponentielle.

Forme exponentielle / Formule d’Euler

Soit zz un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z=z(cos(θ)+isin(θ))z = |z| (\cos(\theta) + i\sin(\theta)). Alors z=zeiθz = |z| e^{i\theta}.

On peut étendre l’égalité entre nombres complexes donnée au début : deux nombres complexes sont égaux s’ils ont le même module et le même argument (modulo 2π2\pi, nous détaillerons ce point-ci plus tard).

Propriétés de l’argument

Propriétés

Soit zz un nombre complexe.

  • zz est un réel si et seulement si arg(z)=k×π\operatorname{arg}(z) = k \times \pikZk \in \mathbb{Z}

  • zz est un imaginaire pur si et seulement si arg(z)=k×π2\operatorname{arg}(z) = k \times \frac{\pi}{2}kZk \in \mathbb{Z}

Pour conclure cette partie, nous allons donner quelques formules permettant de calculer des arguments.

Formules

Soient zz et zz' deux nombres complexes.

  • arg(zˉ)=arg(z)mod2π\operatorname{arg}(\bar{z}) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi

  • arg(z)=arg(z)+πmod2π\operatorname{arg}(- z) = - \operatorname{arg}(z) + \pi \mod 2\pi

  • arg(z×z)=arg(z)+arg(z)mod2π\operatorname{arg}(z \times z') = \operatorname{arg}(z) + \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi

  • arg(1z)=arg(z)mod2π\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{1}{z}\right) = - \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi}

  • arg(zz)=arg(z)arg(z)mod2π\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z}{z'}\right) = \operatorname{arg}(z) - \operatorname{arg}(z') \mod 2\pi}

  • arg(zn)=n×arg(z)mod2π\operatorname{arg}(z^n) = n \times \operatorname{arg}(z) \mod 2\pi pour tout nNn \in \mathbb{N}

Affixe et représentation

Dans tout ce qui suit, le plan sera muni d’un repère (O;i;j)(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}).

Affixe d’un point

Un nombre complexe z=x+iyz = x+iy peut être représenté dans le plan par un point MM de coordonnées (x;y)(x; y). zz est alors appelé affixe du point MM (et réciproquement le point MM est l’image de zz).

Un nombre complexe z=zeθz' = |z'| e^{\theta} peut être représenté dans le plan par un point MM' situé sur le cercle d’origine OO et de rayon z|z'|. Le point MM' est alors situé à l’angle de θ\theta radians sur ce cercle. Le module est donc une distance et l’argument est un angle.

Lien Géométrie - Nombres complexes

Une propriété remarquable des nombres complexes est qu’il est possible de les utiliser pour faire de la géométrie ! Cela peut sembler surprenant, mais cela repose sur le fait que tout nombre complexe zz s’écrit x+iyx + iy (avec xx la partie réelle de zz et yy sa partie imaginaire), et que, comme dit dans la partie précédente, on peut y associer le point de coordonnées (x;y)(x; y).

Voici, de manière plus formelle, quelques propriétés de géométrie reposant sur l’utilisation des nombres complexes. On rappelle que l’on se place dans un repère (O;i;j)(O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}).

Affixe d’un vecteur

Soient AA et BB deux points d’affixes respectives zAz_A et zBz_B. Alors on associe au vecteur AB\overrightarrow{AB} son affixe qui est le complexe zBzAz_B - z_A.

Propriétés

Soient AA, BB, CC et DD des points d’affixes respectives zAz_A, zBz_B, zCz_C et zDz_D.

  • La longueur ABAB est : le module du complexe zBzAz_B - z_A (i.e. zBzA|z_B - z_A|). Il s’agit également de la norme du vecteur AB\overrightarrow{AB}.

  • Le milieu du segment [AB][AB] est : le point MM d’affixe zM=zA+zB2\displaystyle{z_{M} = \frac{z_A + z_B}{2}}.

  • L’angle (i;AB)(\overrightarrow{i}; \overrightarrow{AB}) est : l’argument du complexe zBzAz_B - z_A (i.e. arg(zBzA)\operatorname{arg}(z_B - z_A), modulo 2π2\pi).

  • L’angle (AB;CD)(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}) est : l’argument du complexe (zCzDzBzA)\displaystyle{\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)} (i.e. arg(zCzDzBzA)\displaystyle{\operatorname{arg}\left(\frac{z_C - z_D}{z_B - z_A}\right)}, modulo 2π2\pi).

L’ensemble U\mathbb{U} et les racines nn-ièmes de l’unité

L’ensemble U\mathbb{U}

On note par U\mathbb{U} l’ensemble des nombres complexes de module 11.

Stabilité de U\mathbb{U}

Soient zz, zUz' \in \mathbb{U}. Alors z×zUz \times z' \in \mathbb{U} et 1zU\frac{1}{z} \in \mathbb{U}.

En fait, l’ensemble U\mathbb{U} permet de décrire tous les points du cercle trigonométrique.

Passons maintenant à l’étude de certains sous-ensembles de U\mathbb{U}.

Racines nn-ièmes de l’unité

Soit zz un nombre complexe. On dit que zz est une racine nn-ième de l’unité si zn=1z^n = 1.

De plus, en notant par Un\mathbb{U}_n l’ensemble des racines nn-ièmes de l’unité, on a Un={e2i×0n,e2i×1n,e2i×2n,,e2i×(n1)n}\displaystyle{\mathbb{U}_n = \left\{ e^{\frac{2i \times 0}{n}}, e^{\frac{2i \times 1}{n}}, e^{\frac{2i \times 2}{n}}, \dots, e^{\frac{2i \times (n-1)}{n}} \right\}}.