Primitives de fonctions continues

Définition

Définition

Soit ff une fonction définie et continue sur un intervalle II. On appelle primitive de ff, toute fonction FF définie sur II et qui vérifie pour tout xIx \in I : F(x)=f(x)F'(x) = f(x).

Note

Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. On considère la fonction ff définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=2xf(x) = 2x. Alors, F1:xx2+1F_{1} : x \mapsto x^2 + 1 est une primitive de la fonction ff (car pour tout xx, F(x)=2x=f(x)F'(x) = 2x = f(x)).

Mais F1F_{1} n’est pas la seule primitive de ff ! On peut citer par exemple F2:xx2+10F_{2} : x \mapsto x^2 + 10 et F3:xx2+3F_{3} : x \mapsto x^2 + 3 qui sont également des primitives de ff.

C’est pour cette raison que l’on dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l’on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d’une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue ff sur un intervalle II admet une infinité de primitives sur II de la forme xF0(x)+cx \mapsto F_0(x) + c avec cRc \in \mathbb{R} (où F0F_0 est une primitive de ff).

Démonstration

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Primitive Domaine de définition de la primitive
λ\lambda λx\lambda x R\mathbb{R}
exe^x exe^x R\mathbb{R}
1x\displaystyle{\frac{1}{x}} ln(x)\ln(x) R+\mathbb{R}^{*}_{+}
1x\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}} 2x2\sqrt{x} R+\mathbb{R}^{*}_{+}
xax^a avec aRa \in \mathbb{R} et a1a \neq -1 1a+1xa+1\displaystyle{\frac{1}{a + 1} x^{a + 1}} R+\mathbb{R}^{*}_{+}
sin(x)\sin(x) cos(x)-\cos(x) R\mathbb{R}
cos(x)\cos(x) sin(x)\sin(x) R\mathbb{R}

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit uu une fonction continue.

Fonction Primitive Domaine de définition de la primitive
ueuu'e^u eue^u En tout point où uu est définie.
uu\displaystyle{\frac{u'}{u}} ln(u)\ln(|u|) En tout point où uu est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si uu est positive.
uu\displaystyle{\frac{u'}{\sqrt{u}}} 2u2\sqrt{u} En tout point où uu est définie et est strictement positive.
u(u)au' (u)^a avec aRa \in \mathbb{R} et a1a \neq -1 1a+1ua+1\displaystyle{\frac{1}{a + 1} u^{a + 1}} En tout point où uu est définie.
usin(u)u' \sin(u) cos(u)-\cos(u) En tout point où uu est définie.
ucos(u)u' \cos(u) sin(u)\sin(u) En tout point où uu est définie.

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

  • Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue yy à ses dérivées successives (yy', yy'', ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.

  • Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Exemple

La fonction logarithme est une solution de l’équation différentielle y=1xy' = \frac{1}{x}.

La fonction exponentielle est une solution de l’équation différentielle y=yy' = y, mais aussi de l’équation différentielle y=yy'' = y, etc.

Résolution d’équations différentielles de la forme y=ayy'=ay

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme y=ayy' = ay.

Formule

On pose (E):y=ay(E) : y'=ay (où aa est un réel). Alors l’ensemble des solutions de (E)(E) est l’ensemble des fonctions xceaxx \mapsto c e^{ax}cRc \in \mathbb{R}.

Démonstration

Théorème

Pour tout réels x0x_0 et y0y_0, il existe une unique fonction yy solution de l’équation différentielle (E)(E) telle que y(x0)=y0y(x_0) = y_0.

Exemple

Résolvons l’équation différentielle (E):y5y=0(E) : y' - 5y = 0 sous condition d’avoir y(0)=1y(0) = 1.

Dans un premier temps, on écrit l’équation sous une meilleure forme : y5y=0    y=5yy' - 5y = 0 \iff y' = 5y. On a donc a=5a = 5. Les solutions de l’équation (E)(E) sont les fonctions définies xce5xx \mapsto c e^{5x}cRc \in \mathbb{R}.

Maintenant, il faut trouver la fonction yy qui vaut 11 en 00. Soit donc yy une telle solution de (E)(E). Alors :

y(0)=1    ce5×0=1    c=e1y(0) = 1 \iff c e^{5 \times 0} = 1 \iff c = e^{-1}. La solution recherchée est donc la fonction y:xe1e5xy : x \mapsto e^{-1} e^{5x}.

Résolution d’équations différentielles de la forme y=ay+by'=ay+b

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme y=ay+by' = ay+b.

Formule

On pose (E):y=ay+b(E) : y'=ay+b (où aa est un réel non-nul et bb est un réel). Alors l’ensemble des solutions de (E)(E) est l’ensemble des fonctions xceaxbax \mapsto c e^{ax} - \frac{b}{a}cRc \in \mathbb{R}.

Théorème

Pour tout réels x0x_0 et y0y_0, il existe une unique fonction yy solution de l’équation différentielle (E)(E) telle que y(x0)=y0y(x_0) = y_0.

Exemple

Résolvons l’équation différentielle (E):y=2y1(E) : y'=2y-1 sous condition d’avoir y(1)=0y(1) = 0.

On a donc a=2a = 2 et b=1b = -1. Les solutions de l’équation (E)(E) sont les fonctions définies xce2x+12x \mapsto c e^{2x} + \frac{1}{2}cRc \in \mathbb{R}.

Maintenant, il faut trouver la fonction yy qui vaut 00 en 11. Soit donc yy une telle solution de (E)(E). Alors :

y(1)=0    ce2×1+12=0    c=12e2y(1) = 0 \iff c e^{2 \times 1} + \frac{1}{2} = 0 \iff c = -\frac{1}{2e^2}. La solution recherchée est donc la fonction y:xe2x2e2+12y : x \mapsto -\frac{e^{2x}}{2e^2} + \frac{1}{2}.

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Skyost Modérateur

C'est corrigé, merci !

01/02/2021 15:52:21
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Anonyme

c’est bien mais impossible d’enregistrer comme pdf

01/02/2021 01:38:13
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Anonyme

j'appris cette applications

04/11/2020 18:34:46