Terminale > Primitives et équations différentielles

Définition

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ , toute fonction $F$ définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ : $F^{'} (x) = f (x)$

Note

Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in R$ par $f (x) = 2 x$ . Alors, $F_{1} : x \mapsto x^{2} + 1$ est une primitive de la fonction $f$ (car pour tout $x$ , $F^{'} (x) = 2 x = f (x)$ ).

Mais $F_{1}$ n’est pas la seule primitive de $f$ ! On peut citer par exemple $F_{2} : x \mapsto x^{2} + 10$ et $F_{3} : x \mapsto x^{2} + 3$ qui sont également des primitives de $f$ .

C’est pour cette raison que l’on dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l’on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d’une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme $x \mapsto F_{0} (x) + c$ avec $c \in R$ (où $F_{0}$ est une primitive de $f$ ).

Démonstration

Infinité de primitives

Soit $F$ une autre primitive de $f$ sur $I$ . On a pour tout $x \in I$ :

$(F - F_{0})^{'} (x) = F^{'} (x) - F_{0}^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$ (car $F_{0}$ et $F$ sont deux primitives de $f$ ).

Donc il existe une constante réelle $c$ telle que $F - F_{0} = c$ . D’où pour tout $x \in I$ , $F (x) = F_{0} (x) + c$ : ce qu’il fallait démontrer.

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soient $λ$ et $a$ deux constantes réelles avec $a \neq = 1$ .

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$x \mapsto λ$	$x \mapsto λ x$	$R$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto ln (x)$	$R_{+}^{*}$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto 2 x$	$R_{+}^{*}$
$x \mapsto x^{a}$	$x \mapsto \frac{1}{a + 1} x^{a + 1}$	$R_{+}^{*}$
$x \mapsto sin (x)$	$x \mapsto - cos (x)$	$R$
$x \mapsto cos (x)$	$x \mapsto sin (x)$	$R$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit $u$ une fonction continue.

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$	En tout point où $u$ est définie.
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln (∣ u ∣)$	En tout point où $u$ est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si $u$ est positive.
$\frac{u ^{'}}{u}$	$2 u$	En tout point où $u$ est définie et est strictement positive.
$u^{'} (u)^{a}$ avec $a \in R$ et $a \neq = - 1$	$\frac{1}{a + 1} u^{a + 1}$	En tout point où $u$ est définie.
$u^{'} sin (u)$	$- cos (u)$	En tout point où $u$ est définie.
$u^{'} cos (u)$	$sin (u)$	En tout point où $u$ est définie.

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ à ses dérivées successives ( $y^{'}$ , $y^{''}$ , ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.
Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Exemple

La fonction logarithme est une solution de l’équation différentielle $y^{'} = \frac{1}{x}$ .

La fonction exponentielle est une solution de l’équation différentielle $y^{'} = y$ , mais aussi de l’équation différentielle $y^{''} = y$ , etc.

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$ .

Formule

On pose $(E) : y^{'} = a y$ (où $a$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{a x}$ où $c \in R$ .

Démonstration

Vérifions tout d’abord que les fonctions $x \mapsto k e^{a x}$ sont solutions de $(E)$ . Soit $c \in R$ , posons pour tout $x \in R$ , $y_{c} (x) = c e^{a x}$ .

Alors pour tout $x \in R$ , $y_{c}^{'} (x) = a c e^{a x}$ et $a y_{c} (x) = a c e^{a x}$ . Donc $y_{c}^{'} = a y_{c}$ : $y_{c}$ est bien solution de $(E)$ .

Montrons que les fonctions $y_{c}$ sont les seules solutions de $(E)$ . Soit $y$ une solution quelconque de $(E)$ sur $R$ . Pour tout $x \in R$ , on pose $z (x) = y (x) e^{- a x}$ . En dérivant :

$z^{'} (x) = y^{'} (x) e^{- a x} + y (x) (- a e^{- a x}) = e^{- a x} (y^{'} (x) - a y (x))$

De plus, comme $y$ est solution de $(E)$ , on a $y^{'} - a y = 0$ , donc $z^{'} = 0$ .

Ainsi, il existe une constante réelle $c$ telle que $z = c$ . C’est-à-dire que pour tout $x \in R$ :

$c = y (x) e^{- a x} ⟺ y (x) = c e^{a x}$ . Ce qui termine la preuve.

Théorème

Pour tout réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Exemple

Résolvons l’équation différentielle $(E) : y^{'} - 5 y = 0$ sous condition d’avoir $y (0) = 1$ .

Dans un premier temps, on écrit l’équation sous une meilleure forme : $y^{'} - 5 y = 0 ⟺ y^{'} = 5 y$ . On a donc $a = 5$ . Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions définies $x \mapsto c e^{5 x}$ où $c \in R$ .

Maintenant, il faut trouver la fonction $y$ qui vaut $1$ en $0$ . Soit donc $y$ une telle solution de $(E)$ . Alors :

$y (0) = 1 ⟺ c e^{5 \times 0} = 1 ⟺ c = e^{- 1}$ . La solution recherchée est donc la fonction $y : x \mapsto e^{- 1} e^{5 x}$ .

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$ .

Formule

On pose $(E) : y^{'} = a y + b$ (où $a$ est un réel non-nul et $b$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{a x} - \frac{b}{a}$ où $c \in R$ .

Théorème

Pour tout réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Exemple

Résolvons l’équation différentielle $(E) : y^{'} = 2 y - 1$ sous condition d’avoir $y (1) = 0$ .

On a donc $a = 2$ et $b = - 1$ . Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions définies $x \mapsto c e^{2 x} + \frac{1}{2}$ où $c \in R$ .

Maintenant, il faut trouver la fonction $y$ qui vaut $0$ en $1$ . Soit donc $y$ une telle solution de $(E)$ . Alors : $y (1) = 0 ⟺ c e^{2 \times 1} + \frac{1}{2} = 0 ⟺ c = - \frac{1}{2 e ^{2}}$ La solution recherchée est donc la fonction $y : x \mapsto - \frac{e ^{2 x}}{2 e ^{2}} + \frac{1}{2}$ .

Chapitre VI – Primitives et équations différentielles

Définition

Définition

Note

Infinité de primitives

Infinité de primitives

Primitive de fonctions usuelles

Opérations sur les primitives

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Définition

Exemple

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$

Formule

Théorème

Exemple

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$

Formule

Théorème

Exemple

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Primitives de fonctions continues

Définition

Définition

Note

Infinité de primitives

Infinité de primitives

Primitive de fonctions usuelles

Opérations sur les primitives

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Définition

Exemple

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ay

Formule

Théorème

Exemple

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ay+b

Formule

Théorème

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Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$

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