Primitives de fonctions continues

Définition

Définition

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle . On appelle primitive de , toute fonction définie sur et qui vérifie pour tout :

Note

Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. On considère la fonction définie pour tout par . Alors, est une primitive de la fonction (car pour tout , ).

Mais n’est pas la seule primitive de ! On peut citer par exemple et qui sont également des primitives de .

C’est pour cette raison que l’on dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l’on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d’une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur de la forme avec (où est une primitive de ).

Infinité de primitives

Soit une autre primitive de sur . On a pour tout : car et sont deux primitives de . Donc il existe une constante réelle telle que . D’où pour tout , : ce qu’il fallait démontrer.

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soient et deux constantes réelles avec .

Fonction Primitive Domaine de définition de la primitive

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit une fonction continue.

Fonction Primitive Domaine de définition de la primitive
En tout point où est définie.
En tout point où est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si est positive.
En tout point où est définie et est strictement positive.
avec et En tout point où est définie.
En tout point où est définie.
En tout point où est définie.

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

  • Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue à ses dérivées successives (, , ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.

  • Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Exemple

La fonction logarithme est une solution de l’équation différentielle .

La fonction exponentielle est une solution de l’équation différentielle , mais aussi de l’équation différentielle , etc.

Résolution d’équations différentielles de la forme

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme .

Formule

On pose (où est un réel). Alors l’ensemble des solutions de est l’ensemble des fonctions .

Vérifions tout d’abord que les fonctions sont solutions de . Soit , posons pour tout , .

Alors pour tout , et . Donc : est bien solution de .

Montrons que les fonctions sont les seules solutions de . Soit une solution quelconque de sur . Pour tout , on pose . En dérivant : De plus, comme est solution de , on a , donc .

Ainsi, il existe une constante réelle telle que . C’est-à-dire que pour tout :

. Ce qui termine la preuve.

Théorème

Pour tout réels et , il existe une unique fonction solution de l’équation différentielle telle que .

Exemple

Résolvons l’équation différentielle sous condition d’avoir .

Dans un premier temps, on écrit l’équation sous une meilleure forme : . On a donc . Les solutions de l’équation sont les fonctions définies .

Maintenant, il faut trouver la fonction qui vaut en . Soit donc une telle solution de . Alors :

. La solution recherchée est donc la fonction .

Résolution d’équations différentielles de la forme

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme .

Formule

On pose (où est un réel non-nul et est un réel). Alors l’ensemble des solutions de est l’ensemble des fonctions .

Théorème

Pour tout réels et , il existe une unique fonction solution de l’équation différentielle telle que .

Exemple

Résolvons l’équation différentielle sous condition d’avoir .

On a donc et . Les solutions de l’équation sont les fonctions définies .

Maintenant, il faut trouver la fonction qui vaut en . Soit donc une telle solution de . Alors : La solution recherchée est donc la fonction .

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Skyost

Skyost Modérateur

C'est corrigé, merci !

01/02/2021 15:52:21
Anonyme

Anonyme

c’est bien mais impossible d’enregistrer comme pdf

01/02/2021 1:38:13
Anonyme

Anonyme

j'appris cette applications

04/11/2020 18:34:46