I – Primitives de fonctions continues
1. Définition
Définition
Soit
Note
Une primitive est toujours définie à une constante près.
En effet. On considère la fonction
Alors,
Mais
On peut citer par exemple
C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).
Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d'une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :
Infinité de primitives
Une fonction continue
2. Primitive de fonctions usuelles
Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
Soit
Fonction | Primitive | Domaine de définition de la primitive |
---|---|---|
3. Opérations sur les primitives
Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
Soit
Fonction | Primitive | Domaine de définition de la primitive |
---|---|---|
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où |
II – Équations différentielles
1. Qu'est-ce-qu'une équation différentielle ?
Commençons cette partie par quelques définitions.
Définition
- Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue
à ses dérivées successives ( , , ...) contenant éventuellement d'autres fonctions connues. - Une solution d'une équation différentielle est une fonction vérifiant l'égalité décrite précédemment.
Exemple
La fonction logarithme est une solution de l'équation différentielle
La fonction exponentielle est une solution de l'équation différentielle
2. Résolution d'équations différentielles de la forme
Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme
Formule
On pose
Théorème
Pour tout réels
Exemple
Résolvons l'équation différentielle
Dans un premier temps, on écrit l'équation sous une meilleure forme :
Maintenant, il faut trouver la fonction
3. Résolution d'équations différentielles de la forme
Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme
Formule
On pose
Théorème
Pour tout réels
Exemple
Résolvons l'équation différentielle
On a donc
Maintenant, il faut trouver la fonction