Définition

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x\in I$ : $$F^{\prime }(x)=f(x)$$

Note

Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in \mathbb{R}$ par $f(x)=2x$. Alors, $F_1:x\mapsto x^2+1$ est une primitive de la fonction $f$ (car pour tout $x$, $F^{\prime }(x)=2x=f(x)$).

Mais $F_1$ n’est pas la seule primitive de $f$ ! On peut citer par exemple $F_2:x\mapsto x^2+10$ et $F_3:x\mapsto x^2+3$ qui sont également des primitives de $f$.

C’est pour cette raison que l’on dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l’on dérive, la constante devient nulle).

Infinité de primitives

Une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme $x\mapsto F_0(x)+c$ avec $c\in \mathbb{R}$ (où $F_0$ est une primitive de $f$).

Infinité de primitives

Soit $F$ une autre primitive de $f$ sur $I$. On a pour tout $x\in I$ : $$(F-F_0{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-F_0^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$$ car $F_0$ et $F$ sont deux primitives de $f$. Donc il existe une constante réelle $c$ telle que $F-F_0=c$. D’où pour tout $x\in I$, $F(x)=F_0(x)+c$ : ce qu’il fallait démontrer.

Soient $\lambda$ et $a$ deux constantes réelles avec $a\ne 1$.

Soit $u$ une fonction continue.

Définition

• Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ à ses dérivées successives ($y^{\prime }$, $y^{\prime \prime }$, ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.

• Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Exemple

La fonction logarithme est une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{1}{x}$.

La fonction exponentielle est une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }=y$, mais aussi de l’équation différentielle $y^{\prime \prime }=y$, etc.

Formule

On pose $(E):y^{\prime }=ay$ (où $a$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x\mapsto c{e}^{ax}$ où $c\in \mathbb{R}$.

Vérifions tout d’abord que les fonctions $x\mapsto k{e}^{ax}$ sont solutions de $(E)$. Soit $c\in \mathbb{R}$, posons pour tout $x\in \mathbb{R}$, $y_c(x)=c{e}^{ax}$.

Alors pour tout $x\in \mathbb{R}$, $y_c^{\prime }(x)=ac{e}^{ax}$ et $a{y}_c(x)=ac{e}^{ax}$. Donc $y_c^{\prime }=a{y}_c$ : $y_c$ est bien solution de $(E)$.

Montrons que les fonctions $y_c$ sont les seules solutions de $(E)$. Soit $y$ une solution quelconque de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on pose $z(x)=y(x)e^{-ax}$. En dérivant : $$z^{\prime }(x)=y^{\prime }(x)e^{-ax}+y(x)(-a{e}^{-ax})=e^{-ax}(y^{\prime }(x)-ay(x))$$ De plus, comme $y$ est solution de $(E)$, on a $y^{\prime }-ay=0$, donc $z^{\prime }=0$.

Ainsi, il existe une constante réelle $c$ telle que $z=c$. C’est-à-dire que pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

$c=y(x)e^{-ax}⟺y(x)=c{e}^{ax}$. Ce qui termine la preuve.

Théorème

Pour tout réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y(x_0)=y_0$.

Exemple

Résolvons l’équation différentielle $(E):y^{\prime }-5y=0$ sous condition d’avoir $y(0)=1$.

Dans un premier temps, on écrit l’équation sous une meilleure forme : $y^{\prime }-5y=0⟺y^{\prime }=5y$. On a donc $a=5$. Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions définies $x\mapsto c{e}^{5x}$ où $c\in \mathbb{R}$.

Maintenant, il faut trouver la fonction $y$ qui vaut $1$ en $0$. Soit donc $y$ une telle solution de $(E)$. Alors :

$y(0)=1⟺c{e}^{5\times 0}=1⟺c=e^{-1}$. La solution recherchée est donc la fonction $y:x\mapsto e^{-1}{e}^{5x}$.

Formule

On pose $(E):y^{\prime }=ay+b$ (où $a$ est un réel non-nul et $b$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x\mapsto c{e}^{ax}-\frac{b}{a}$ où $c\in \mathbb{R}$.

Théorème

Pour tout réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y(x_0)=y_0$.

Exemple

Résolvons l’équation différentielle $(E):y^{\prime }=2y-1$ sous condition d’avoir $y(1)=0$.

On a donc $a=2$ et $b=-1$. Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions définies $x\mapsto c{e}^{2x}+\frac{1}{2}$ où $c\in \mathbb{R}$.

Maintenant, il faut trouver la fonction $y$ qui vaut $0$ en $1$. Soit donc $y$ une telle solution de $(E)$. Alors : $$y(1)=0⟺c{e}^{2\times 1}+\frac{1}{2}=0⟺c=-\frac{1}{2e^2}$$ La solution recherchée est donc la fonction $y:x\mapsto -\frac{e^{2x}}{2e^2}+\frac{1}{2}$.