I – Primitives de fonctions continues

1. Définition

Définition

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle . On appelle primitive de , toute fonction définie sur et qui vérifie pour tout : .

Note

Une primitive est toujours définie à une constante près.

En effet. On considère la fonction définie pour tout par .

Alors, est une primitive de la fonction (car ).

Mais n'est pas la seule primitive de !

On peut citer par exemple et qui sont également des primitives de .

C'est pour cette raison que l'ont dit que les primitives sont définies à une constante près (lorsque l'on dérive, la constante devient nulle).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d'une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur de la forme avec (où est une primitive de ).

Démonstration

2. Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Soit une constante réelle.

FonctionPrimitiveDomaine de définition de la primitive
avec et

3. Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Soit une fonction continue.

FonctionPrimitiveDomaine de définition de la primitive
En tout point où est définie.
En tout point où est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si est positive.
En tout point où est définie et est strictement positive.
avec et En tout point où est définie.
En tout point où est définie.
En tout point où est définie.

II – Équations différentielles

1. Qu'est-ce-qu'une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

  • Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue à ses dérivées successives (, , ...) contenant éventuellement d'autres fonctions connues.
  • Une solution d'une équation différentielle est une fonction vérifiant l'égalité décrite précédemment.

Exemple

La fonction logarithme est une solution de l'équation différentielle .

La fonction exponentielle est une solution de l'équation différentielle , mais aussi de l'équation différentielle , etc.

2. Résolution d'équations différentielles de la forme

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme .

Formule

On pose (où est un réel). Alors l'ensemble des solutions de est l'ensemble des fonctions .

Démonstration

Théorème

Pour tout réels et , il existe une unique fonction solution de l'équation différentielle telle que .

Exemple

Résolvons l'équation différentielle sous condition d'avoir .

Dans un premier temps, on écrit l'équation sous une meilleure forme : . On a donc . Les solutions de l'équation sont les fonctions définies .

Maintenant, il faut trouver la fonction qui vaut en . Soit donc une telle solution de . Alors :

. La solution recherchée est donc la fonction .

3. Résolution d'équations différentielles de la forme

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme .

Formule

On pose (où est un réel non-nul et est un réel). Alors l'ensemble des solutions de est l'ensemble des fonctions .

Théorème

Pour tout réels et , il existe une unique fonction solution de l'équation différentielle telle que .

Exemple

Résolvons l'équation différentielle sous condition d'avoir .

On a donc et . Les solutions de l'équation sont les fonctions définies .

Maintenant, il faut trouver la fonction qui vaut en . Soit donc une telle solution de . Alors :

. La solution recherchée est donc la fonction .

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