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Primitives de fonctions continues

Définition

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ , toute fonction $F$ définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ : $F^{'} (x) = f (x)$

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d’une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme $x \mapsto F_{0} (x) + c$ avec $c \in R$ (où $F_{0}$ est une primitive de $f$ ).

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soient $λ$ et $a$ deux constantes réelles avec $a \neq = 1$ .

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$x \mapsto λ$	$x \mapsto λ x$	$R$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto ln (x)$	$R_{+}^{*}$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto 2 x$	$R_{+}^{*}$
$x \mapsto x^{a}$	$x \mapsto \frac{1}{a + 1} x^{a + 1}$	$R_{+}^{*}$
$x \mapsto sin (x)$	$x \mapsto - cos (x)$	$R$
$x \mapsto cos (x)$	$x \mapsto sin (x)$	$R$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit $u$ une fonction continue.

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$	En tout point où $u$ est définie.
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln (∣ u ∣)$	En tout point où $u$ est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si $u$ est positive.
$\frac{u ^{'}}{u}$	$2 u$	En tout point où $u$ est définie et est strictement positive.
$u^{'} (u)^{a}$ avec $a \in R$ et $a \neq = - 1$	$\frac{1}{a + 1} u^{a + 1}$	En tout point où $u$ est définie.
$u^{'} sin (u)$	$- cos (u)$	En tout point où $u$ est définie.
$u^{'} cos (u)$	$sin (u)$	En tout point où $u$ est définie.

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ à ses dérivées successives ( $y^{'}$ , $y^{''}$ , ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.
Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$ .

Formule

On pose $(E) : y^{'} = a y$ (où $a$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{a x}$ où $c \in R$ .

Théorème

Pour tout réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$ .

Formule

On pose $(E) : y^{'} = a y + b$ (où $a$ est un réel non-nul et $b$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{a x} - \frac{b}{a}$ où $c \in R$ .

Théorème

Pour tout réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Primitives de fonctions continues

Définition

Définition

Infinité de primitives

Primitive de fonctions usuelles

Opérations sur les primitives

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Définition

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ay

Formule

Théorème

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ay+b

Formule

Théorème

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y$

Résolution d’équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$