I – Primitives de fonctions continues

1. Définition

Définition

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle . On appelle primitive de , toute fonction définie sur et qui vérifie pour tout : .

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d'une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives sur de la forme avec (où est une primitive de ).

2. Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Soit une constante réelle.

FonctionPrimitiveDomaine de définition de la primitive
avec et

3. Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Soit une fonction continue.

FonctionPrimitiveDomaine de définition de la primitive
En tout point où est définie.
En tout point où est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si est positive.
En tout point où est définie et est strictement positive.
avec et En tout point où est définie.
En tout point où est définie.
En tout point où est définie.

II – Équations différentielles

1. Qu'est-ce-qu'une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

  • Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue à ses dérivées successives (, , ...) contenant éventuellement d'autres fonctions connues.
  • Une solution d'une équation différentielle est une fonction vérifiant l'égalité décrite précédemment.

2. Résolution d'équations différentielles de la forme

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme .

Formule

On pose (où est un réel). Alors l'ensemble des solutions de est l'ensemble des fonctions .

Théorème

Pour tout réels et , il existe une unique fonction solution de l'équation différentielle telle que .

3. Résolution d'équations différentielles de la forme

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme .

Formule

On pose (où est un réel non-nul et est un réel). Alors l'ensemble des solutions de est l'ensemble des fonctions .

Théorème

Pour tout réels et , il existe une unique fonction solution de l'équation différentielle telle que .