Chapitre VI – Primitives et équations différentielles

Fiche résumée

Terminale Terminale Moyen

Une primitive d'une fonction d'une variable réelle définie sur un intervalle est une autre fonction, définie et dérivable sur cet intervalle, et dont la dérivée et notre fonction de départ.
Ce cours contient essentiellement (en plus de la définition d'une primitive) que les tableaux à connaître pour pouvoir trouver les primitives des fonctions usuelles, mais également des méthodes de résolution pour certaines équations différentielles !

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Primitives de fonctions continues

Définition

Définition

Soit ff une fonction définie et continue sur un intervalle II. On appelle primitive de ff, toute fonction FF définie sur II et qui vérifie pour tout x∈Ix \in I : F′(x)=f(x)F'(x) = f(x).

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d’une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue ff sur un intervalle II admet une infinité de primitives sur II de la forme x↦F0(x)+cx \mapsto F_0(x) + c avec c∈Rc \in \mathbb{R} (où F0F_0 est une primitive de ff).

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit λ\lambda une constante réelle.

Fonction Primitive Domaine de définition de la primitive
λ\lambda λx\lambda x R\mathbb{R}
exe^x exe^x R\mathbb{R}
1x\displaystyle{\frac{1}{x}} ln⁡(x)\ln(x) R+∗\mathbb{R}^{*}_{+}
1x\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}} 2x2\sqrt{x} R+∗\mathbb{R}^{*}_{+}
xax^a avec a∈Ra \in \mathbb{R} et a≠−1a \neq -1 1a+1xa+1\displaystyle{\frac{1}{a + 1} x^{a + 1}} R+∗\mathbb{R}^{*}_{+}
sin⁡(x)\sin(x) −cos⁡(x)-\cos(x) R\mathbb{R}
cos⁡(x)\cos(x) sin⁡(x)\sin(x) R\mathbb{R}

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit uu une fonction continue.

Fonction Primitive Domaine de définition de la primitive
u′euu'e^u eue^u En tout point où uu est définie.
u′u\displaystyle{\frac{u'}{u}} ln⁡(∣u∣)\ln(|u|) En tout point où uu est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si uu est positive.
u′u\displaystyle{\frac{u'}{\sqrt{u}}} 2u2\sqrt{u} En tout point où uu est définie et est strictement positive.
u′(u)au' (u)^a avec a∈Ra \in \mathbb{R} et a≠−1a \neq -1 1a+1ua+1\displaystyle{\frac{1}{a + 1} u^{a + 1}} En tout point où uu est définie.
u′sin⁡(u)u' \sin(u) −cos⁡(u)-\cos(u) En tout point où uu est définie.
u′cos⁡(u)u' \cos(u) sin⁡(u)\sin(u) En tout point où uu est définie.

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

  • Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue yy à ses dérivées successives (y′y', y′′y'', ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.

  • Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ayy'=ay

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme y′=ayy' = ay.

Formule

On pose (E):y′=ay(E) : y'=ay (où aa est un réel). Alors l’ensemble des solutions de (E)(E) est l’ensemble des fonctions x↦ceaxx \mapsto c e^{ax} où c∈Rc \in \mathbb{R}.

Théorème

Pour tout réels x0x_0 et y0y_0, il existe une unique fonction yy solution de l’équation différentielle (E)(E) telle que y(x0)=y0y(x_0) = y_0.

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ay+by'=ay+b

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme y′=ay+by' = ay+b.

Formule

On pose (E):y′=ay+b(E) : y'=ay+b (où aa est un réel non-nul et bb est un réel). Alors l’ensemble des solutions de (E)(E) est l’ensemble des fonctions x↦ceax−bax \mapsto c e^{ax} - \frac{b}{a} où c∈Rc \in \mathbb{R}.

Théorème

Pour tout réels x0x_0 et y0y_0, il existe une unique fonction yy solution de l’équation différentielle (E)(E) telle que y(x0)=y0y(x_0) = y_0.