Primitives de fonctions continues

Définition

Soit $f$ un fonction définie et continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$, toute fonction $F$ définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ : $F'(x) = f(x)$.

Toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d'une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme $x \mapsto F_0(x) + c$ avec $c \in \mathbb{R}$ (où $F_0$ est une primitive de $f$).

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Soit $\lambda$ une constante réelle.

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$\lambda$	$\lambda x$	$\mathbb{R}$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\displaystyle{\frac{1}{x}}$	$\ln(x)$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$	$2\sqrt{x}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$x^a$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$	$\displaystyle{\frac{1}{a + 1} x^{a + 1}}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :

Soit $u$ une fonction continue.

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$u'e^u$	$e^u$	En tout point où $u$ est définie.
$\displaystyle{\frac{u'}{u}}$	$\ln(|u|)$	En tout point où $u$ est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si $u$ est positive.
$\displaystyle{\frac{u'}{\sqrt{u}}}$	$2\sqrt{u}$	En tout point où $u$ est définie et est strictement positive.
$u' (u)^a$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$	$\displaystyle{\frac{1}{a + 1} u^{a + 1}}$	En tout point où $u$ est définie.
$u' \sin(u)$	$-\cos(u)$	En tout point où $u$ est définie.
$u' \cos(u)$	$\sin(u)$	En tout point où $u$ est définie.

Équations différentielles

Qu'est-ce-qu'une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

• Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ à ses dérivées successives ($y'$, $y''$, ...) contenant éventuellement d'autres fonctions connues.
• Une solution d'une équation différentielle est une fonction vérifiant l'égalité décrite précédemment.

Résolution d'équations différentielles de la forme $y'=ay$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y' = ay$.

On pose $(E) : y'=ay$ (où $a$ est un réel). Alors l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{ax}$ où $c \in \mathbb{R}$.

Pour tout réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique fonction $y$ solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que $y(x_0) = y_0$.

Résolution d'équations différentielles de la forme $y'=ay+b$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y' = ay+b$.

On pose $(E) : y'=ay+b$ (où $a$ est un réel non-nul et $b$ est un réel). Alors l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{ax} - \frac{b}{a}$ où $c \in \mathbb{R}$.

Pour tout réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique fonction $y$ solution de l'équation différentielle $(E)$ telle que $y(x_0) = y_0$.