Terminale > Chapitre VI – Primitives et équations différentielles > Fiche résumée

Primitives de fonctions continues

Définition

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ , toute fonction $F$ définie sur $I$ et qui vérifie pour tout $x \in I$ : $F'(x) = f(x)$

Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d’une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :

Infinité de primitives

Une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ admet une infinité de primitives sur $I$ de la forme $x \mapsto F_0(x) + c$ avec $c \in \mathbb{R}$ (où $F_0$ est une primitive de $f$ ).

Primitive de fonctions usuelles

Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soient $\lambda$ et $a$ deux constantes réelles avec $a \neq 1$ .

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$x \mapsto \lambda$	$x \mapsto \lambda x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto e^x$	$x \mapsto e^x$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto \ln(x)$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$	$x \mapsto 2\sqrt{x}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$x \mapsto x^a$	$x \mapsto \frac{1}{a + 1} x^{a + 1}$	$\mathbb{R}^{*}_{+}$
$x \mapsto \sin(x)$	$x \mapsto -\cos(x)$	$\mathbb{R}$
$x \mapsto \cos(x)$	$x \mapsto \sin(x)$	$\mathbb{R}$

Opérations sur les primitives

Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l’envers) :

Soit $u$ une fonction continue.

Fonction	Primitive	Domaine de définition de la primitive
$u'e^u$	$e^u$	En tout point où $u$ est définie.
$\frac{u'}{u}$	$\ln(\|u\|)$	En tout point où $u$ est définie et est non-nulle. On peut retirer la valeur absolue si $u$ est positive.
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	En tout point où $u$ est définie et est strictement positive.
$u' (u)^a$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $a \neq -1$	$\frac{1}{a + 1} u^{a + 1}$	En tout point où $u$ est définie.
$u' \sin(u)$	$-\cos(u)$	En tout point où $u$ est définie.
$u' \cos(u)$	$\sin(u)$	En tout point où $u$ est définie.

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Commençons cette partie par quelques définitions.

Définition

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ à ses dérivées successives ( $y'$ , $y''$ , ...) contenant éventuellement d’autres fonctions connues.
Une solution d’une équation différentielle est une fonction vérifiant l’égalité décrite précédemment.

Résolution d’équations différentielles de la forme $y'=ay$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y' = ay$ .

Formule

On pose $(E) : y'=ay$ (où $a$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{ax}$ où $c \in \mathbb{R}$ .

Théorème

Pour tout réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y(x_0) = y_0$ .

Résolution d’équations différentielles de la forme $y'=ay+b$

Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme $y' = ay+b$ .

Formule

On pose $(E) : y'=ay+b$ (où $a$ est un réel non-nul et $b$ est un réel). Alors l’ensemble des solutions de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto c e^{ax} - \frac{b}{a}$ où $c \in \mathbb{R}$ .

Théorème

Pour tout réels $x_0$ et $y_0$ , il existe une unique fonction $y$ solution de l’équation différentielle $(E)$ telle que $y(x_0) = y_0$ .

Primitives de fonctions continues

Définition

Définition

Infinité de primitives

Primitive de fonctions usuelles

Opérations sur les primitives

Équations différentielles

Qu’est-ce-qu’une équation différentielle ?

Définition

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ayy'=ayy′=ay

Formule

Théorème

Résolution d’équations différentielles de la forme y′=ay+by'=ay+by′=ay+b

Formule

Théorème

Résolution d’équations différentielles de la forme $y'=ay$

Résolution d’équations différentielles de la forme $y'=ay+b$