I – Primitives de fonctions continues
1. Définition
Définition
Soit
Ainsi, toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives d'une forme particulière sur cet intervalle. Plus formellement :
Infinité de primitives
Une fonction continue
2. Primitive de fonctions usuelles
Le tableau suivant est à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
Soit
Fonction | Primitive | Domaine de définition de la primitive |
---|---|---|
3. Opérations sur les primitives
Le tableau suivant est également à connaître (mais il peut être obtenu en prenant celui des dérivées usuelles à l'envers) :
Soit
Fonction | Primitive | Domaine de définition de la primitive |
---|---|---|
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où | ||
En tout point où |
II – Équations différentielles
1. Qu'est-ce-qu'une équation différentielle ?
Commençons cette partie par quelques définitions.
Définition
- Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue
à ses dérivées successives ( , , ...) contenant éventuellement d'autres fonctions connues. - Une solution d'une équation différentielle est une fonction vérifiant l'égalité décrite précédemment.
2. Résolution d'équations différentielles de la forme
Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme
Formule
On pose
Théorème
Pour tout réels
3. Résolution d'équations différentielles de la forme
Nous allons donner une formule permettant de résoudre des équations différentielles de la forme
Formule
On pose
Théorème
Pour tout réels