Définition

Il y a plusieurs manières de définir une suite :

• Par récurrence : On donne le premier terme de la suite ainsi que le terme au rang $n+1$.

• Par son terme général : On donne le $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Exemple

On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ainsi :

• $u_n=n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ ($(u_n)$ est définie par son terme général).

• $(v_n)=\{\begin{array}{l}{v}_0=0\\ v_{n+1}=v_n+1\text{ pour tout }n\ge 1\end{array}$ ($(v_n)$ est définie par récurrence).

On remarque que bien que définies différemment, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont égales.

Définition

Soit $(u_n)$ une suite.

• $(u_n)$ est croissante si on a $u_{n+1}\ge u_n$ (ou $u_{n+1}-u_n\ge 0$) pour tout $n\in \mathbb{N}$.

• $(u_n)$ est décroissante si on a $u_{n+1}\le u_n$ (ou $u_{n+1}-u_n\le 0$) pour tout $n\in \mathbb{N}$.

• $(u_n)$ est dite constante s’il existe $c\in \mathbb{R}$ tel que $u_n=c$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Convergence

On dit qu’une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $ϵ>0$, l’intervalle ouvert $]\ell -ϵ,\ell +ϵ[$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d’un certain rang. On note alors : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$.

Cette définition est un peu abstraite mais elle signifie simplement que $u_n$ se rapproche autant que l’on veut de $\ell$ pourvu que $n$ soit assez grand.

Divergence vers $+\infty$

On dit qu’une suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si :

Pour tout $A>0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\ge N$, $v_n>A$. On note alors : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

Divergence vers $-\infty$

Dire que $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ signifie que :

Pour tout $A>0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\ge N$, $v_n<-A$. On note alors : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.

À noter que l’on n’étudie les limites des suites que quand $n$ tend vers $+\infty$, et qu’il est possible qu’une suite n’admette pas de limite. On dit alors que cette suite diverge. Par contre, si une suite converge vers une limite, alors cette limite est unique.

Limites de suites usuelles

Limite de suites géométriques

Soit $(v_n)$ une suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $v_n=q^n$ (où $q$ est un nombre réel). Alors, on peut donner la limite de la suite $(v_n)$ en fonction de $q$ :

Le réel $q$ est la raison de la suite : si $q>1$, $(v_n)$ est strictement croissante, si $0<q<1$, $(v_n)$ est strictement décroissante et si $q=1$ ou $0$, $(v_n)$ est constante.

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Limite d’un quotient

Formes indéterminées

À noter qu’il n’existe que 4 formes indéterminées : $+\infty -\infty$, $0\times \pm \infty$, $\frac{\pm \infty }{\pm \infty }$ et $\frac{0}{0}$.

Définition

Soient une suite $(u_n)$ et deux réels $m$ et $M$ :

• On dit que $m$ est un minorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n>m$.

• On dit que $M$ est un majorant de $(u_n)$ si pour tout $n$ : $u_n<M$.

• On dit que $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème

• Si $(u_n)$ est croissante et est majorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas majorée, $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

• Si $(u_n)$ est décroissante et est minorée, alors elle est convergente. Si elle n’est pas minorée, $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.

Il faut savoir montrer que toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$. C’est ce que nous allons faire ici. Soit donc $(u_n)$ une telle suite. Soit $A>0$, on cherche un rang $N$ tel que pour tout $n\ge N$, $u_n>A$.

Or, comme $(u_n)$ est non majorée, il existe $N$ tel que $u_N>A$. De plus, comme $(u_n)$ est croissante, alors $A<u_N\le u_{N+1}\le u_{N+2}\le \dots$

Donc on a bien trouvé notre rang $N$ vérifiant la définition de la divergence vers $+\infty$.

Toute suite convergente est également bornée.

Théorèmes de comparaison

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que $u_n<v_n$ à partir d’un certain rang $N$. On a :

• Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$.

• Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\infty$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.

• Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n={\ell }^{\prime }$ alors $\ell <{\ell }^{\prime }$.

Il peut être utile de savoir démontrer le premier point dans le cas $N=0$ (les autres points se démontrent de manière semblable). Supposons $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$. Soit $A>0$, on cherche un rang $p$ tel que pour tout $n\ge p$, $v_n>A$.

Comme $u_n$ diverge vers $+\infty$, il existe un rang $q$ tel que pour tout $n\ge q$, $u_n>A$. Donc on a : $A<u_q<v_q$, mais aussi $A<u_{q+1}<v_{q+1}$, etc.

Donc il suffit de poser $p=q$ et on a bien notre rang vérifiant la définition de la divergence vers $+\infty$.

Théorème des gendarmes

Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On suppose que $u_n<v_n<w_n$ à partir d’un certain rang et que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le réel $\ell$.

Alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\ell$.

Raisonnement par récurrence

Initialisation : On teste la propriété au rang $p$. Si elle est vérifiée, on passe à l’étape suivante.

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n\ge p$. Puis on montre qu’elle reste vraie au rang $n+1$.

Conclusion : On explique que l’on vient de démontrer la propriété au rang $n+1$ et que comme celle-ci est initialisée et héréditaire, alors elle est vraie à partir du rang $p$.

Exemple

Soit une suite $(u_n)$ définie par $(u_n)=\{\begin{array}{l}{u}_0=4\\ u_{n+1}=\frac{4u_n+17}{u_n+4}\end{array}$. On souhaite montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $4\le u_n\le 5$.

On note ${\mathcal{P}}_n$ la propriété définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par ${\mathcal{P}}_n$ : $4\le u_n\le 5$.

On constate que $u_{n+1}=\frac{4u_n+17}{u_n+4}=\frac{4(u_n+4)+1}{u_n+4}=4+\frac{1}{u_n+4}$.

Initialisation : On teste la propriété au rang $0$ : $4\le u_0\le 5⟺4\le 4\le 5$. C’est vrai : la propriété ${\mathcal{P}}_0$ est vraie.

Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang $n\in \mathbb{N}$ et vérifions qu’elle est vraie au rang $n+1$.

D’après ${\mathcal{P}}_n$ : $4\le u_n\le 5$. Donc on a : $$\begin{array}{rl}4\le u_n\le 5& ⟺4+4\le u_n+4\le 5+4\\ & ⟺\frac{1}{9}\le \frac{1}{u_n+4}\le \frac{1}{8}\\ & ⟺4+\frac{1}{9}\le 4+\frac{1}{u_n+4}\le 4+\frac{1}{8}\end{array}$$ Or $4+\frac{1}{9}\approx 4,111>4$ et $4+\frac{1}{8}=4,125<5$. On a donc bien : $$4\le u_{n+1}\le 5$$ Conclusion : La propriété est initialisée au rang $0$ et est héréditaire. Ainsi, ${\mathcal{P}}_n$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.